命题 7.2.1.
设\(\phi\)是\(n\)维线性空间\(V\)的线性变换，\(U\)是\(V\)的\(\phi\)-子空间。若\(\phi\)可逆，则：
-
\(\phi|_{U}\)可逆；
-
\((\phi|_{U})^{-1}=\phi^{-1}|_{U}\)。
节 7.2 不变子空间
建设中！
子节 7.2.1 基础知识回顾
练习 7.2.2 练习
基础题.
1.
2.
设\(V\)是4维线性空间，\(V\)上线性变换\(\phi\)在基\((\xi_1,\xi_2,\xi_3,\xi_4)\)下的矩阵为
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
1&0&2&-1\\
0&1&4&-2\\
2&-1&0&1\\
2&-1&-1&2
\end{pmatrix},
\end{equation*}
解答.
-
根据已知条件，有\begin{equation*} \left\{\begin{array}{l} \phi (\xi_1)=\xi_1+2 \xi_3+2 \xi_4,\\ \phi (\xi_2)=\xi_2- \xi_3- \xi_4,\\ \phi (\xi_3)=2\xi_1+4 \xi_2- \xi_4,\\ \phi (\xi_4)=-\xi_1-2 \xi_2+\xi_3+2 \xi_4,\\ \end{array}\right. \end{equation*}则\begin{equation*} \phi (\xi_1+2 \xi_2)=\phi (\xi_1)+2 \phi(\xi_2)=\xi_1+2 \xi_2\in U, \end{equation*}\begin{equation*} \phi (\xi_2+ \xi_3+2 \xi_4) =\phi (\xi_2)+\phi (\xi_3)+2 \phi(\xi_4) =\xi_2+\xi_3+2 \xi_4\in U, \end{equation*}因此\(U\)是\(\phi\)-子空间。
-
由于\begin{equation*} \begin{array}{c} \phi|_U(\xi_1+2 \xi_2)=\phi(\xi_1+2 \xi_2)=\xi_1+2 \xi_2,\\ \phi|_U(\xi_2+ \xi_3+2 \xi_4)=\phi(\xi_2+\xi_3+2 \xi_4)=\xi_2+\xi_3+2 \xi_4, \end{array} \end{equation*}即\begin{equation*} \phi(\xi_1+2 \xi_2,\xi_2+\xi_3+2 \xi_4)=(\xi_1+2 \xi_2,\xi_2+\xi_3+2 \xi_4)\begin{pmatrix} 1&0\\0&1 \end{pmatrix}, \end{equation*}所以\(\phi|_U\)在基\((\xi_1+2 \xi_2, \xi_2+\xi_3+2 \xi_4)\)下的矩阵为\(\begin{pmatrix} 1&0\\0&1 \end{pmatrix}\)。
提高题.
3.
设\(\phi\)是数域\(\mathbb{F}\)上\(n\)维线性空间\(V\)上的线性变换，取定\(\lambda\in\mathbb{F}\)，记
\begin{equation*}
V_\lambda^{(\phi)}=\{\alpha\in V\ |\ \phi (\alpha)=\lambda \alpha\},
\end{equation*}
证明：\(V_\lambda^{(\phi)}\)是\(\phi\)-不变子空间。
解答.
因
\begin{equation*}
\phi(0_V)=0_V=\lambda 0_V,
\end{equation*}
所以\(0_V\in V_\lambda\)，\(V_\lambda\)是\(V\)的非空子集。对任意\(\alpha,\beta\in V_\lambda,a,b\in\mathbb{F}\)，有
\begin{equation*}
\phi (\alpha)=\lambda \alpha,\phi(\beta)=\lambda \beta,
\end{equation*}
则
\begin{equation*}
\phi (a \alpha+b \beta)=a\phi(\alpha)+b\phi(\beta)=a(\lambda \alpha)+b(\lambda \beta)=\lambda(a \alpha+b \beta)\mbox{。}
\end{equation*}
因此\(V_\lambda\)是\(V\)的子空间。又
\begin{equation*}
\phi (\alpha)=\lambda \alpha\in V_\lambda,
\end{equation*}
故\(V_ \lambda\)是\(\phi\)-不变子空间。
4.
-
若\(\phi^2=\phi\)，证明：\({\rm Ker}\phi\)与\({\rm Im}\phi\)都是\(\psi\)-不变子空间的充分必要条件是\(\phi\psi=\psi\phi\)。
解答.
-
对任意\(\alpha\in{\rm Ker}\phi\)， 有\(\phi(\alpha)=0\)。因为\(\phi\psi =\psi\phi\)，所以\begin{equation*} \phi(\psi(\alpha))=\psi(\phi (\alpha))=\psi (0)=0, \end{equation*}即\(\psi (\alpha)\in{\rm Ker}\phi\)。因此，\({\rm Ker}\phi\)是\(\psi\)-子空间。对任意\(\beta\in{\rm Im}\phi\)，存在\(\alpha\in V\)，使得\(\beta=\phi(\alpha)\)。因为\(\phi\psi=\psi\phi\)，所以\begin{equation*} \psi(\beta)=\psi\phi(\alpha)=\phi(\psi(\alpha))\in{\rm Im}\phi, \end{equation*}故\({\rm Im}\phi\)是\(\psi\)-子空间。
-
由\((1)\)，充分性成立。下证必要性。对任意\(\alpha\in V\)，有\(\phi^2(\alpha)-\phi(\alpha)=0\)，即\(\phi(\alpha)-\alpha\in {\rm Ker}\phi\)。因为\({\rm Ker}\phi\)是\(\psi\)-不变子空间，所以\(\psi(\phi(\alpha)-\alpha)\in{\rm Ker}\phi\)，即\(\phi\left(\psi(\phi(\alpha)-\alpha)\right)=0\)，故\begin{equation} \phi\psi(\alpha)=\phi\psi\phi(\alpha).\tag{7.2.1} \end{equation}注意到\({\rm Im}\phi\)是\(\psi\)-不变子空间，且\(\phi(\alpha)\in{\rm Im}\phi\)，所以\(\psi \left(\phi(\alpha)\right)\in {\rm Im}\phi\)，即存在\(\beta\in V\)使得\(\psi \left(\phi(\alpha)\right)=\phi(\beta)\)。于是，\begin{equation} \phi\psi\phi(\alpha)=\phi\left(\phi(\beta)\right)=\phi^2(\beta)=\phi(\beta)=\psi \left(\phi(\alpha)\right).\tag{7.2.2} \end{equation}
5.
解答.
若\(\phi=c{\rm id}_V\)是数乘变换，对\(V\)的任意一维子空间\(U=\langle\alpha\rangle\)，由
\begin{equation*}
\phi(\alpha)=c{\rm id}_V(\alpha)=c\alpha\in U
\end{equation*}
可知\(U\)是\(\phi\)-不变子空间。
反之，当\(V\)的任意一维子空间均为\(\phi\)-不变子空间时，设\(\xi_1,\dots,\xi_n\)是\(V\)的一个基，则对任意\(1\leq k\leq n\) ，\(\langle\xi_k\rangle\)是\(\phi\)-不变子空间。于是存在\(c_k\in\F\)使得
\begin{equation}
\phi(\xi_k)=c_k\xi_k.\tag{7.2.3}
\end{equation}
对任意\(1\leq j\neq k\leq n\)，根据题设，\(\langle\xi_j+\xi_k\rangle\)也是\(\phi\)-不变子空间，故存在\(c_{jk}\in\F\)使得
\begin{equation}
\phi(\xi_j+\xi_k)=c_{jk}(\xi_j+\xi_k).\tag{7.2.4}
\end{equation}
而由(7.2.3)知
\begin{equation}
\phi(\xi_j+\xi_k)=\phi(\xi_j)+\phi(\xi_k)=c_j\xi_j+c_k\xi_k,\tag{7.2.5}
\end{equation}
\begin{equation*}
(c_j-c_{jk})\xi_j+(c_k-c_{jk})\xi_k=0,
\end{equation*}
注意到\(\xi_j,\xi_k\)线性无关，故\(c_j-c_{jk}=c_k-c_{jk}=0\)，则\(c_j=c_k=c_{jk}\)，因此存在\(c\in\F\)使得
\begin{equation*}
\phi(\xi_k)=c\xi_k,\ k=1,\dots ,n.
\end{equation*}
从而\(\phi=c{\rm id}_V\)是数乘变换。
6.
解答.
-
因为\(U\)是\(\phi\)-子空间，所以\(\phi(U)\subseteq U\)。又因为\(\phi\)可逆，所以\(\phi(U)= U\)。于是\(\phi^{-1}(U)=\phi^{-1}(\phi(U))=U\)，因此\(U\)是\(\phi^{-1}\)-子空间。
-
其次，对任意\(\alpha\in U\)，由于\(\phi\)可逆且\(U\)是\(\phi\)-子空间，所以存在唯一的\(\beta\in U\)使得\(\phi(\beta)=\alpha\)，因此\begin{align*} (\phi|_U)^{-1}(\alpha)\amp =(\phi|_U)^{-1}(\phi(\beta)) \\ \amp =(\phi|_U)^{-1}(\phi|_U(\beta)) \\ \amp=\beta=\phi^{-1}(\alpha)=\phi^{-1}|_U(\alpha). \end{align*}
7.
设\(\phi\)是\(n\)维线性空间\(V\)上的线性变换，\(\phi\)在基\((\xi_1,\dots ,\xi_n)\)下的矩阵是
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
a&0&0&\cdots&0&0\\
1&a&0&\cdots&0&0\\
0&1&a&\cdots&0&0\\
\vdots&\vdots&\vdots&&\vdots&\vdots\\
0&0&0&\cdots&a&0\\
0&0&0&\cdots&1&a
\end{pmatrix},
\end{equation*}
证明：
解答.
-
依题意，\begin{equation*} \phi(\xi_1)=a\xi_1+\xi_2, \end{equation*}\begin{equation*} \phi(\xi_2)=a\xi_2+\xi_3, \end{equation*}\begin{equation*} \cdots\cdots \end{equation*}\begin{equation*} \phi(\xi_{n-1})=a\xi_{n-1}+\xi_n, \end{equation*}\begin{equation*} \phi(\xi_n)=a\xi_n. \end{equation*}因\(U\)是\(V\)的\(\phi\)-不变子空间，且\(\xi_1\in U\)，所以\begin{equation*} \phi(\xi_1)-a\xi_1\in U, \end{equation*}即\(\xi_2\in U\)。于是\begin{equation*} \xi_3=\phi(\xi_2)-a\xi_2\in U. \end{equation*}依此类推，得\(\xi_1,\xi_2,\dots ,\xi_n\in U\)。因此\(U=V\)。
-
因为\(U\)是\(V\)的非零\(\phi\)-子空间，所以存在\(\alpha\in U\)，满足\(\alpha\neq 0\)。设\(\alpha=a_1\xi_1+\dots +a_n\xi_n\)，这里\(a_1,\dots ,a_n\)不全为零。假设\(a_i\)是\(a_1,\dots ,a_n\)中第一个不为零的数，此时\begin{equation*} \alpha=a_i\xi_i+a_{i+1}\xi_{i+1}+\dots +a_n\xi_n\in U. \end{equation*}根据\(\phi(\alpha)-a \alpha\in U\)得\begin{equation*} a_i \xi_{i+1}+a_{i+1}\xi_{i+2}+\dots +a_{n-1}\xi_n\in U. \end{equation*}记 \(\beta=a_i \xi_{i+1}+a_{i+1}+\xi_{i+2}+\cdots +a_{n-1}\xi_n\)，根据\(\phi(\beta)-a \beta\in U\)得\begin{equation*} a_i\xi_{i+2}+a_{i+1}\xi_{i+3}+\cdots +a_{n-2}\xi_n\in U. \end{equation*}依此类推，我们有\(a_i\xi_n\in U\)，由\(a_i\neq 0\)得\(\xi_n=\frac{1}{a_i}(a_i \xi_n)\in U\)。
-
根据上题，任意两个非平凡\(\phi\)-不变子空间\(V_1,V_2\)必含\(\xi_n\)，故\(V_1\bigcap V_2\neq \{0\}\)。从而\(V\)不能分解成两个非平凡\(\phi\)-不变子空间的直和。
8.
设\(\phi\)是\(n\)维线性空间\(V\)上的线性变换，证明：
-
\({\rm Ker}\phi\subseteq{\rm Ker}\phi^2\subseteq{\rm Ker}\phi^3\subseteq\cdots\subseteq{\rm Ker}\phi^n\subseteq\cdots\)；
-
\({\rm Im}\phi\supseteq{\rm Im}\phi^2\supseteq{\rm Im}\phi^3\supseteq\cdots\supseteq{\rm Im}\phi^n\supseteq\cdots\)；
解答.
-
对任意\(m\in\mathbb{Z}^+,\alpha\in{ \rm Ker}\phi^m\)，有\(\phi^m(\alpha)=0\)，则\begin{equation*} \phi^{m+1}(\alpha)=\phi(\phi^m(\alpha))=\phi(0)=0. \end{equation*}故\({ \rm Ker}\phi^m\subseteq{ \rm Ker}\phi^{m+1}\)。
-
对任意\(m\in\mathbb{Z}^+\)，下证\({\rm Im}\phi^m\supseteq{\rm Im}\phi^{m+1}\)。对任意\(\beta\in{\rm Im}\phi^{m+1}\)，存在\(\alpha\in V\)，使得\(\beta=\phi^{m+1}(\alpha)\)，则\begin{equation*} \beta=\phi^m(\phi(\alpha))\in{\rm Im}\phi^m. \end{equation*}从而\({\rm Im}\phi^m\supseteq{\rm Im}\phi^{m+1}\)。
-
\({\rm Ker}\phi^m\neq{\rm Ker}\phi^{m+1}\)的充要条件是\(\dim{\rm Ker}\phi^m<\dim{\rm Ker}\phi^{m+1}\)。因为\(V\)是有限维线性空间，所以项 7.2.2.8.a的包含关系不可能全部是真包含。故存在正整数\(s\)，使得\({\rm Ker}\phi^s={\rm Ker}\phi^{s+1}\)。
-
\({\rm Im}\phi^m\neq{\rm Im}\phi^{m+1}\)的充要条件是\(\dim{\rm Im}\phi^m>\dim{\rm Im}\phi^{m+1}\)。因为\(V\)是有限维线性空间，所以项 7.2.2.8.b中的包含关系不可能全部是真包含。故存在正整数\(t\)，使得\({\rm Im}\phi^t={\rm Im}\phi^{t+1}\)。
-
我们只需证明对任意\(j>s\)，总有\({\rm Ker}\phi^j={\rm Ker}\phi^{j+1}\)。事实上，对任意\(\alpha\in{\rm Ker}\phi^{j+1}\)，有\(\phi^{j+1}(\alpha)=0\)，即\(\phi^{s+1}(\phi^{j-s}(\alpha))=0\)，则\(\phi^{j-s}(\alpha)\in{\rm Ker}\phi^{s+1}\)。注意到\({\rm Ker}\phi^s={\rm Ker}\phi^{s+1}\)，所以\(\phi^{j-s}(\alpha)\in{\rm Ker}\phi^s\)。因而\begin{equation*} 0=\phi^s(\phi^{j-s}(\alpha))=\phi^j(\alpha), \end{equation*}这说明\(\alpha\in\phi^j\)，即\({\rm Ker}\phi^{j+1}\subseteq{\rm Ker}\phi^j\)。由项 7.2.2.8.a，有\({\rm Ker}\phi^{j}\subseteq{\rm Ker}\phi^{j+1}\)，因此\({\rm Ker}\phi^j={\rm Ker}\phi^{j+1}\)。从而，\begin{equation*} {\rm Ker}\phi^s={\rm Ker}\phi^{s+1}={\rm Ker}\phi^{s+2}=\dots={\rm Ker}\phi^{s+i}=\cdots . \end{equation*}
-
我们只需证明对任意\(j>t\)，总有\({\rm Im}\phi^j={\rm Im}\phi^{j+1}\)。事实上，对任意\(\alpha\in{\rm Im}\phi^{j}\)，存在\(\beta\in V\)，使得\(\alpha=\phi^{j}(\beta)\)，即\(\alpha=\phi^{j-t}(\phi^t(\beta))\)。注意到\(\phi^t(\beta)\in{\rm Im}\phi^t\)且\({\rm Im}\phi^{t}={\rm Im}\phi^{t+1}\)，所以存在\(\gamma\in V\)，使得\(\phi^t(\beta)=\phi^{t+1}(\gamma)\)。因而\begin{equation*} \alpha=\phi^{j-t}(\phi^{t+1}(\gamma))=\phi^{j+1}(\gamma)\in{\rm Im}\phi^{j+1}, \end{equation*}这说明\({\rm Im}\phi^{j}\subseteq{\rm Im}\phi^{j+1}\)。由项 7.2.2.8.b，有\({\rm Im}\phi^{j+1}\subseteq{\rm Im}\phi^{j}\)，因此\({\rm Im}\phi^j={\rm Im}\phi^{j+1}\)。从而，\begin{equation*} {\rm Im}\phi^t={\rm Im}\phi^{t+1}={\rm Im}\phi^{t+2}=\cdots={\rm Im}\phi^{t+i}=\cdots . \end{equation*}
-
根据维数公式\begin{equation*} \dim{\rm Ker}\phi^s+\dim{\rm Im}\phi^s=\dim V=\dim{\rm Ker}\phi^{s+1}+\dim{\rm Im}\phi^{s+1}, \end{equation*}结合\({\rm Ker}\phi^s\subseteq{\rm Ker}\phi^{s+1}\)和\({\rm Im}\phi^s\supseteq{\rm Im}\phi^{s+1}\)，得到\begin{equation*} \begin{array}{ccl}{\rm Ker}\phi^s={\rm Ker}\phi^{s+1}&\Leftrightarrow&\dim{\rm Ker}\phi^s=\dim{\rm Ker}\phi^{s+1}\\ &\Leftrightarrow&\dim{\rm Im}\phi^s=\dim{\rm Im}\phi^{s+1}\\ &\Leftrightarrow&{\rm Im}\phi^s={\rm Im}\phi^{s+1}. \end{array} \end{equation*}
-
\begin{equation*} {\rm Ker}\phi^s={\rm Ker}\phi^{2s},{\rm Im}\phi^s={\rm Im}\phi^{2s}. \end{equation*}对任意\(\alpha\in V\)，\(\phi ^s(\alpha)\in{\rm Im}\phi^s\)，所以存在\(\beta\in V\)使得\(\phi ^s(\alpha)=\phi^{2s}(\beta)\)，则\begin{equation*} \alpha=\phi^s(\beta)+(\alpha-\phi^s(\beta)), \end{equation*}这里\begin{equation*} \phi^s(\alpha-\phi^s(\beta))=\phi^s(\alpha)-\phi^{2s}(\beta)=0, \end{equation*}即\(\alpha-\phi^s(\beta)\in{\rm Ker}\phi^s\)。而\(\phi^s(\beta)\in{\rm Im}\phi^s\)，故\(V={\rm Ker}\phi^s+{\rm Im}\phi^s\)。对任意\(\alpha\in{\rm Ker}\phi^s\bigcap{\rm Im}\phi^s\)，存在\(\beta\in V\)使得\(\alpha=\phi^s(\beta)\)。又\(\phi^s(\alpha)=0\)，所以\begin{equation*} 0=\phi^s(\phi^s(\beta))=\phi^{2s}(\beta), \end{equation*}即\(\beta\in{\rm Ker}\phi^{2s}={\rm Ker}\phi^{s}\)。于是\(\alpha=\phi^s(\beta)=0\)，即\({\rm Ker}\phi^s\bigcap{\rm Im}\phi^s=0\)。综上，\(V={\rm Ker}\phi^s\oplus{\rm Im}\phi^s\)。
9.
设\(\phi\)是\(n\)维线性空间\(V\)上的线性变换，满足\(\dim {\rm Im}\phi^2=\dim{\rm Im}\phi\)，证明：\({\rm Im}\phi\bigcap{\rm Ker}\phi=0\)。
解答.
对任意\(\alpha\in{\rm Im}\phi\bigcap{\rm Ker}\phi\)，存在\(\beta\in V\)使得\(\alpha=\phi(\beta)\)。因\(\phi(\alpha)=0\)，所以\(\phi^2(\beta)=0\)，即\(\beta\in{\rm Ker}\phi^2\)。由条件\(\dim {\rm Im}\phi^2=\dim{\rm Im}\phi\)、\({\rm Im}\phi^2\subseteq{\rm Im}\phi\)，得\({\rm Im}\phi^2={\rm Im}\phi\)。根据 项 7.2.2.8.g ，\({\rm Ker}\phi^2={\rm Ker}\phi\)。故\(\beta\in{\rm Ker}\phi\)，即
\begin{equation*}
\alpha=\phi(\beta)=0.
\end{equation*}
因此\({\rm Im}\phi\bigcap{\rm Ker}\phi=0\)。
挑战题.
10.
设\(\phi\)是\(n\)维线性空间\(V\)上的线性变换，\(\phi\)在基\((\xi_1,\dots ,\xi_n)\)下的矩阵是
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
a&0&0&\cdots&0&0\\
1&a&0&\cdots&0&0\\
0&1&a&\cdots&0&0\\
\vdots&\vdots&\vdots&&\vdots&\vdots\\
0&0&0&\cdots&a&0\\
0&0&0&\cdots&1&a
\end{pmatrix},
\end{equation*}
求\(\phi\)的所有不变子空间。
解答.
依题意知，对任意\(1\leq i\leq n\)，子空间\(0,U_i=\langle \xi_i,\xi_{i+1},\dots ,\xi_n\rangle\)是\(\phi\)-不变子空间。下证\(V\)的\(\phi\)-不变子空间有且只有以上这些。设\(U\)是\(V\)的非零\(\phi\)-不变子空间，记
\begin{equation*}
i_0=\min\{i\ |\ a_i\neq 0\mbox{且}a_i \xi_i+a_{i+1} \xi_{i+1}+\dots +a_n \xi_n\in U\},
\end{equation*}
则\(U\subseteq\langle \xi_{i_0},\xi_{i_0+1},\dots ,\xi_n\rangle\)。我们断言\(U=\langle \xi_{i_0},\xi_{i_0+1},\dots ,\xi_n\rangle\)。事实上，由\(i_0\)的定义知：存在\(a_{i_0},a_{i_0+1},\dots ,a_n\in\mathbb{F}\)使得\(a_{i_0}\xi_{i_0}+a_{i_0+1}\xi_{i_0+1}+\dots +a_n \xi_n\in U\)，其中\(a_{i_0}\neq 0\)。由项 7.2.2.7.b 知\(\xi_n\in U\)，所以
\begin{equation*}
(a_{i_0}\xi_{i_0}+a_{i_0+1}\xi_{i_0+1}+\cdots +a_n \xi_n)-a_n \xi_n\in U.
\end{equation*}
记\(\beta_1\triangleq a_{i_0}\xi_{i_0}+a_{i_0+1}\xi_{i_0+1}+\cdots +a_{n-1} \xi_{n-1}\)，则\(\beta_1\in U\)，于是 \(\phi(\beta_1)-a \beta_1-a_{n-1}\xi_n\in U\)， 即
\begin{equation*}
\gamma_1\triangleq a_{i_0}\xi_{i_0+1}+a_{i_0+1}\xi_{i_0+2}+\cdots +a_{n-2} \xi_{n-1}\in U,
\end{equation*}
再根据\(\phi(\gamma_1)-a \gamma_1-a_{n-2}\xi_n\in U\)得
\begin{equation*}
\gamma_2\triangleq a_{i_0}\xi_{i_0+2}+a_{i_0+1}\xi_{i_0+3}+\cdots +a_{n-3} \xi_{n-1}\in U,
\end{equation*}
依此类推，有\(a_{i_0}\xi_{n-1}\in U\)。由\(a_{i_0}\neq 0\)可知\(\xi_{n-1}\in U\)。于是，
\begin{equation*}
\beta_2\triangleq\beta_1-a_{n-1}\xi_{n-1}= a_{i_0} \xi_{i_0}+a_{i_0+1}\xi_{i_0+1}+\cdots +a_{n-2}\xi_{n-2}\in U.
\end{equation*}
同理，我们有
\begin{equation*}
\phi(\beta_2)-a\beta_2-a_{n-2}\xi_{n-1}\in U,
\end{equation*}
即
\begin{equation*}
\eta_1\triangleq a_{i_0}\xi_{i_0+1}+a_{i_0+1}\xi_{i_0+2}+\cdots +a_{n-3}\xi_{n-2}\in U.
\end{equation*}
再由\(\phi(\eta_1)-a\eta_1-a_{n-3}\xi_{n-1}\in U\)，得
\begin{equation*}
\eta_2\triangleq a_{i_0}\xi_{i_0+2}+a_{i_0+1}\xi_{i_0+3}+\cdots +a_{n-4}\xi_{n-3}\in U.
\end{equation*}
依此类推，\(a_{i_0}\xi_{n-2}\in U\)。由\(a_{i_0}\neq 0\)可知\(\xi_{n-2}\in U\)。于是，
\begin{equation*}
\beta_3\triangleq\beta_2-a_{n-2}\xi_{n-2}= a_{i_0} \xi_{i_0}+a_{i_0+1}\xi_{i_0+1}+\cdots +a_{n-3}\xi_{n-3}\in U.
\end{equation*}
重复上述步骤，最后有\(a_{i_0}\xi_{i_0}\in U\)。由\(a_{i_0}\neq 0\)得\(\xi_{i_0}\in U\)。因此
\begin{equation*}
U=\langle \xi_{i_0},\xi_{i_0+1},\cdots ,\xi_n\rangle .
\end{equation*}
