主要内容

高等代数教学辅导

刘月, 唐丽丹, 周宏

节 7.2 不变子空间

建设中！
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练习 练习

基础题.

1.
设\(\varphi:\mathbb{F}^2\rightarrow\mathbb{F}^2,\ (a,b)^T\mapsto (b,a)^T\)，试求所有非平凡的\(\varphi\)-不变子空间。
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2.
设\(V\)是4维线性空间，\(V\)上线性变换\(\varphi\)在基\(\xi_1,\xi_2,\xi_3,\xi_4\)下的矩阵为
\begin{equation*} \begin{pmatrix} 1&0&2&-1\\ 0&1&4&-2\\ 2&-1&0&1\\ 2&-1&-1&2 \end{pmatrix}, \end{equation*}
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  1. 证明：\(U=\langle \xi_1+2 \xi_2, \xi_2+\xi_3+2 \xi_4\rangle\)是\(\varphi\)-不变子空间；
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  2. 求\(\varphi|_U\)在基\(\xi_1+2 \xi_2, \xi_2+\xi_3+2 \xi_4\)下的矩阵。
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提高题.

3.
设\(\varphi\)是数域\(\mathbb{F}\)上\(n\)维线性空间\(V\)上的线性变换，取定\(\lambda\in\mathbb{F}\)，记
\begin{equation*} V_ \lambda^{(\varphi)}=\{\alpha\in V\ |\ \varphi (\alpha)=\lambda \alpha\}, \end{equation*}
证明：\(V_ \lambda^{(\varphi)}\)是\(\varphi\)-不变子空间。
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4.
设\(\varphi ,\psi\)是\(n\)维线性空间\(V\)上线性变换，
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  1. 若\(\varphi\psi=\psi\varphi\)，证明：\({\rm Ker}\varphi\)与\({\rm Im}\varphi\)都是\(\psi\)-不变子空间；
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  2. 若\(\varphi^2=\varphi\)，证明：\({\rm Ker}\varphi\)与\({\rm Im}\varphi\)都是\(\psi\)-不变子空间的充分必要条件是\(\varphi\psi=\psi\varphi\)。
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挑战题.

5.
设\(\varphi\)是\(n\)维线性空间\(V\)上的线性变换，\(\varphi\)在基\(\xi_1,\xi_2,\cdots ,\xi_n\)下的矩阵是
\begin{equation*} \begin{pmatrix} a&0&0&\cdots&0&0\\ 1&a&0&\cdots&0&0\\ 0&1&a&\cdots&0&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&&\vdots&\vdots\\ 0&0&0&\cdots&a&0\\ 0&0&0&\cdots&1&a \end{pmatrix}, \end{equation*}
证明：
  1. 设\(U\)是\(\varphi\)-子空间，且\(\xi_1\in U\)，则\(U=V\)；
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  2. 对于任意非零\(\varphi\)-子空间\(U\)，总有\(\xi_n\in U\)；
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  3. \(V\)不能分解为两个非平凡的\(\varphi\)-子空间的直和；
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  4. 求\(\varphi\)的所有不变子空间。
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6.
设\(\varphi\)是\(n\)维线性空间\(V\)上的线性变换，证明：
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  1. \({\rm Ker}\varphi\subseteq{\rm Ker}\varphi^2\subseteq{\rm Ker}\varphi^3\subseteq\cdots\subseteq{\rm Ker}\varphi^n\subseteq\cdots\)；
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  2. \({\rm Im}\varphi\supseteq{\rm Im}\varphi^2\supseteq{\rm Im}\varphi^3\supseteq\cdots\supseteq{\rm Im}\varphi^n\supseteq\cdots\)；
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  3. 存在正整数\(s\)，使得\({\rm Ker}\varphi^s={\rm Ker}\varphi^{s+1}\)；
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  4. 存在正整数\(t\)，使得\({\rm Im}\varphi^t={\rm Im}\varphi^{t+1}\)；
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  5. 若\({\rm Ker}\varphi^s={\rm Ker}\varphi^{s+1}\)，则对于任意正整数\(i\)，有\({\rm Ker}\varphi^s={\rm Ker}\varphi^{s+i}\)；
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  6. 若\({\rm Im}\varphi^t={\rm Im}\varphi^{t+1}\)，则对于任意正整数\(i\)，有\({\rm Im}\varphi^t={\rm Im}\varphi^{t+i}\)；
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  7. \({\rm Ker}\varphi^s={\rm Ker}\varphi^{s+1}\)的充分必要条件是\({\rm Im}\varphi^s={\rm Im}\varphi^{s+1}\)；
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  8. 若\({\rm Ker}\varphi^s={\rm Ker}\varphi^{s+1}\)，那么\(V={\rm Ker}\varphi^s\oplus{\rm Im}\varphi^s\)。
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7.
设\(\varphi\)是\(n\)维线性空间\(V\)上的线性变换，满足\(\dim {\rm Im}\varphi^2=\dim{\rm Im}\varphi\)，证明：\({\rm Im}\varphi\bigcap{\rm Ker}\varphi=0\)。
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