主要内容

高等代数教学辅导

刘月, 唐丽丹, 周宏

节 7.6 \(\lambda\)-矩阵相抵与矩阵相似

建设中！
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子节 7.6.1 基础知识回顾

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练习 7.6.2 练习

基础题.

1.
下列矩阵是否满秩？是否可逆？若可逆，求其逆矩阵。
  1. \(\begin{pmatrix} 1&\lambda&1\\\lambda&1&2\\1&0&1 \end{pmatrix}\)；
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  2. \(\begin{pmatrix} 1&\lambda&3\\\lambda&1&\lambda\\-1&\lambda&1 \end{pmatrix}\)。
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解答.
  1. 记\(A(\lambda)=\begin{pmatrix} 1&\lambda&1\\\lambda&1&2\\1&0&1 \end{pmatrix}\)。因为\(\det A(\lambda)=2\lambda-\lambda^2\)是非零多项式，但不是非零常数，所以\(A(\lambda)\)满秩但不可逆。
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  2. 记\(A(\lambda)=\begin{pmatrix} 1&\lambda&3\\\lambda&1&\lambda\\-1&\lambda&1 \end{pmatrix}\)。因为\(\det A(\lambda)=4\)是非零常数，所以\(A(\lambda)\)满秩、可逆且
    \begin{equation*} A(\lambda)^{-1}=\frac{1}{\det A(\lambda)}{\rm adj }A(\lambda)=\frac{1}{4} \begin{pmatrix} 1-\lambda^2&2\lambda&\lambda^2-3\\ -2\lambda&4&2\lambda\\ \lambda^2+1&-2\lambda&1-\lambda^2 \end{pmatrix}. \end{equation*}
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2.
若\(A(\lambda)\simeq B(\lambda),\ C(\lambda)\simeq D(\lambda)\)，证明：
\begin{equation*} \begin{pmatrix} A(\lambda)&0\\0&C(\lambda) \end{pmatrix}\simeq \begin{pmatrix} B(\lambda)&0\\0&D(\lambda) \end{pmatrix}. \end{equation*}
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解答.
因为\(A(\lambda)\simeq B(\lambda),\ C(\lambda)\simeq D(\lambda)\)，所以存在可逆\(\lambda\)-矩阵\(P(\lambda),Q(\lambda),R(\lambda),S(\lambda)\)，使得
\begin{equation*} B(\lambda)=P(\lambda)A(\lambda)Q(\lambda),\ D(\lambda)=R(\lambda)C(\lambda)S(\lambda)\mbox{。} \end{equation*}
令
\begin{equation*} U(\lambda)=\begin{pmatrix} P(\lambda)&0\\0&R(\lambda) \end{pmatrix},V(\lambda)=\begin{pmatrix} Q(\lambda)&0\\0&S(\lambda) \end{pmatrix}, \end{equation*}
则\(U(\lambda),V(\lambda)\)可逆，且
\begin{equation*} \begin{pmatrix} B(\lambda)&0\\0&D(\lambda) \end{pmatrix}=U(\lambda)\begin{pmatrix} A(\lambda)&0\\0&C(\lambda) \end{pmatrix}V(\lambda)\mbox{。} \end{equation*}
因此
\begin{equation*} \begin{pmatrix} A(\lambda)&0\\0&C(\lambda) \end{pmatrix}\simeq \begin{pmatrix} B(\lambda)&0\\0&D(\lambda) \end{pmatrix}\mbox{。} \end{equation*}
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提高题.

3.
设\(A(\lambda)=A_s\lambda^s+A_{s-1}\lambda^{s-1}+\cdots+A_1\lambda+A_0\)且\(\deg A(\lambda)=s>0\)。证明：若\(A(\lambda)\)可逆，则\(\det A_s=0\)且\(\det A_0\neq 0\)。
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解答.
因为\(A(\lambda)\)可逆，所以存在\(\lambda\)-矩阵\(B(\lambda)\)，使得\(A(\lambda)B(\lambda)=E\)。设
\begin{equation*} B(\lambda)=B_t\lambda^t+B_{t-1}\lambda^{t-1}+\cdots +B_1\lambda+B_0, \end{equation*}
其中\(B_0,B_1,\cdots ,B_t\in\mathbb{F}^{n\times n}\)且\(B_t\neq 0\)，则
\begin{equation*} \left(A_sB_t\right)\lambda^{s+t}+\left(A_sB_{t-1}+A_{s-1}B_t\right)\lambda^{s+t-1}+\cdots +\left(A_1B_0+A_0B_1\right)\lambda+A_0B_0=E. \end{equation*}
因为\(s+t>0\)，所以比较系数，有
\begin{equation*} A_sB_t=0,A_0B_0=E. \end{equation*}
由\(A_0B_0=E\)可知\(A_0\)可逆，所以\(\det A_0\neq 0\)。假设\(\det A_s\neq 0\)，则\(A_s\)可逆。由\(A_sB_t=0\)可推出\(B_t=0\)，与题设矛盾。因此\(\det A_s=0\)。
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挑战题.

4.
设\(A,B\in\F^{n\times n},M(\lambda),N(\lambda)\)是\(n\)阶\(\lambda\)-矩阵，且满足
\begin{equation} M(\lambda)(\lambda E-A)=(\lambda E-B)N(\lambda).\tag{7.6.3} \end{equation}
证明：
  1. 存在\(R\in\F^{n\times n}\)及\(\lambda\)-矩阵\(Q(\lambda)\)，使得
    \begin{equation*} M(\lambda)=(\lambda E-B)Q(\lambda)+R,\ N(\lambda)=Q(\lambda)(\lambda E-A)+R; \end{equation*}
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  2. \(M(\lambda)\)可逆的充要条件是\(N(\lambda)\)可逆，此时\(R\)可逆，进而\(A\)相似于\(B\)。
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解答.
  1. 由 引理 7.6.1， 存在\(\lambda\)-矩阵\(Q(\lambda)\)以及数字矩阵\(R\in\mathbb{F}^{n\times n}\)，使得
    \begin{equation*} M(\lambda)=(\lambda E-B)Q(\lambda)+R, \end{equation*}
    代入\(M(\lambda)(\lambda E-A)=(\lambda E-B)N(\lambda)\)，整理得
    \begin{equation*} R(\lambda E-A)=(\lambda E-B)\left[N(\lambda)-Q(\lambda)(\lambda E-A)\right]. \end{equation*}
    上式左边是一次多项式，所以右式中\(N(\lambda)-Q(\lambda)(\lambda E-A)\)必须是零次的，即为数字矩阵，记为\(P\)，则有\(R(\lambda E-A)=(\lambda E-B)P\)，即
    \begin{equation} \lambda R-RA=\lambda P-BP,\tag{7.6.4} \end{equation}
    比较系数，有\(P=R\)，即
    \begin{equation*} N(\lambda)-Q(\lambda)(\lambda E-A)=R, \end{equation*}
    故\(N(\lambda)=Q(\lambda)(\lambda E-A)+R\)。
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  2. (7.6.3)两端同时取行列式得
    \begin{equation*} \det M(\lambda)\cdot \chi_A(\lambda)=\chi_B(\lambda)\cdot\det N(\lambda). \end{equation*}
    因为\(\chi_A(\lambda),\chi_B(\lambda)\)均为\(n\)次首一多项式，所以 \(\det M(\lambda)\)为非0常数的充要条件是\(\det N(\lambda)\)为非0常数，即\(M(\lambda)\)可逆的充要条件是\(N(\lambda)\)可逆。
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    根据 定理 7.6.2的证明可知，当\(M(\lambda)\)可逆时，\(R\)可逆，进而\(A\)相似于\(B\)。
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