主要内容\(\newcommand{\Ima}{\rm Im }
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\)
节 7.6 \(\lambda\)-矩阵相抵与矩阵相似
练习 练习
基础题.
1.
-
\(\begin{pmatrix}
1&\lambda&1\\\lambda&1&2\\1&0&1
\end{pmatrix}\)；
-
\(\begin{pmatrix}
1&\lambda&3\\\lambda&1&\lambda\\-1&\lambda&1
\end{pmatrix}\)。
2.
若\(A(\lambda)\simeq B(\lambda),\ C(\lambda)\simeq D(\lambda)\)，证明：
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
A(\lambda)&0\\0&C(\lambda)
\end{pmatrix}\simeq \begin{pmatrix}
B(\lambda)&0\\0&D(\lambda)
\end{pmatrix}.
\end{equation*}
提高题.
3.
设
\(A(\lambda)=A_s\lambda^s+A_{s-1}\lambda^{s-1}+\cdots+A_1\lambda+A_0\)且
\(\deg A(\lambda)=s>0\)。证明：若
\(A(\lambda)\)可逆，则
\(\det A_s=0\)且
\(\det A_0\neq 0\)。
挑战题.
4.
设\(A,B\in\F^{n\times n},M(\lambda),N(\lambda)\)是\(n\)阶\(\lambda\)-矩阵，且满足
\begin{equation*}
M(\lambda)(\lambda E-A)=(\lambda E-B)N(\lambda).
\end{equation*}
证明：
-
存在\(R\in\F^{n\times n}\)及\(\lambda\)-矩阵\(Q(\lambda)\)，使得
\begin{equation*}
M(\lambda)=(\lambda E-B)Q(\lambda)+R,\ N(\lambda)=Q(\lambda)(\lambda E-A)+R;
\end{equation*}
-
\(M(\lambda)\)可逆的充要条件是
\(N(\lambda)\)可逆，此时
\(R\)可逆，进而
\(A\)相似于
\(B\)。
