定理 4.4.1 扩基定理.
设\(V\)是\(n\)维线性空间，\(\alpha_1,\dots,\alpha_r\)是\(V\)中\(r(r<n)\)个线性无关向量， 又\((\xi_1,\dots,\xi_n)\)是\(V\)的一个基， 则必可在\(\xi_1,\dots,\xi_n\)中选出\(n-r\)个向量， 使其和\(\alpha_1,\dots,\alpha_r\)一起凑成\(V\)的一个基。
节 4.4 \(\F^m\)的子空间、基与维数
建设中！
子节 4.4.1 基础知识回顾
定理 4.4.2.
设\({\dim V=n}\)，\(\xi_1,\dots,\xi_n\in V\)，则以下几点是等价的：
-
\((\xi_1,\dots,\xi_n)\)是\(V\)的一个基；
-
\(\xi_1,\dots,\xi_n\)线性无关且\(V\)中任一向量均可由\(\xi_1,\dots,\xi_n\)线性表出；
-
\(\xi_1,\dots,\xi_n\)线性无关且\(V\)中任一向量添加到\(\xi_1,\dots,\xi_n\)所得的新向量组线性相关；
-
\(\xi_1,\dots,\xi_n\)线性无关；
-
\(V\)中任一向量均可由\(\xi_1,\dots,\xi_n\)线性表出；
-
\(V\)中任一向量均可由\(\xi_1,\dots,\xi_n\)线性表出，且表示法唯一。
练习 4.4.2 练习
基础题.
1.
判断下列\(\mathbb{R}^m\)的子集是否为\(\mathbb{R}^m\)的子空间，说明理由。
-
\(V_1=\{(a_1,\ldots,a_m)^T|a_i\geq 0,i=1,\ldots,m\}\)；
-
\(V_2=\{(a_1,\ldots,a_m)^T|a_1a_2\cdots a_m\geq 0\}\)；
-
\(V_3=\{(a_1,\ldots,a_n,0,\ldots,0)^T|a_1,\ldots,a_n\in\mathbb{R}\}\)。
2.
判断下列数域\(\mathbb{F}\)上\(n\)元方程的解集是否为\(\mathbb{F}^n\)的子空间：
-
\(\sum\limits_{i=1}^n a_ix_i=0\)；
-
\(\sum\limits_{i=1}^n a_ix_i=1\)；
-
\(\sum\limits_{i=1}^n x_i^2=0\)。
3.
设\(\alpha_1,\ldots,\alpha_s,\beta_1,\ldots,\beta_t\in\F^m\)，证明：
\begin{equation*}
\langle\alpha_1,\ldots,\alpha_s\rangle +\langle\beta_1,\ldots,\beta_t\rangle =\langle\alpha_1,\ldots,\alpha_s,\beta_1,\ldots,\beta_t\rangle .
\end{equation*}
4.
设\(V_1\)、\(V_2\)是\(\F^m\)的子空间且\(V_1\subseteq V_2\)。证明：\(V_1=V_2\)的充分必要条件是\(\dim V_1=\dim V_2\)。
5.
在线性空间\(\mathbb{F}^m\)中，证明：
-
存在\(\mathbb{F}^m\)的非零子空间\(V\)，使得\(V\)中任一非零向量的分量均不为零；
-
若\(\mathbb{F}^m\)的非零子空间\(U\)中任一非零向量的分量均不为零，则\(\dim U=1\)。
6.
求由向量\(\alpha_i\)生成的子空间与由向量\(\beta_i\)生成的子空间的交与和空间的基与维数： \(\left\{\begin{array}{c}
\alpha_1=(1,2,1,0)^T,\\
\alpha_2=(-1,1,1,1)^T,
\end{array} \right.\quad\left\{\begin{array}{c}
\beta_1=(2,-1,0,1)^T,\\
\beta_2=(1,-1,3,7)^T.
\end{array}\right.\)
7.
设\(V_1,V_2,V_3\)是列向量空间\(V\)的子空间，举例说明：
\begin{equation*}
V_1\cap (V_2 +V_3)=(V_1\cap V_2)+(V_1\cap V_3)
\end{equation*}
未必成立。
8.
设\((\xi_1,\ldots,\xi_n)\)是列向量空间\(V\)的一个基，证明：对任意\(1\leq i\leq n-1\)，有
\begin{equation*}
V=\langle\xi_1,\ldots,\xi_i\rangle\oplus\langle\xi_{i+1},\ldots,\xi_n\rangle .
\end{equation*}
提高题.
9.
设\(V_1\)、\(V_2\)是列向量空间\(V\)的子空间。证明：\(V_1\cup V_2\)是\(V\)的子空间的充分必要条件为\(V_1\subseteq V_2\)或\(V_2\subseteq V_1\)。
10.
设\(A\in\mathbb{F}^{m\times n}\)且\(A=(\alpha_1,\dots ,\alpha_n)\)，其中\(\alpha_i\in\mathbb{F}^m(1\leq i\leq n)\)。记
\begin{equation*}
V=\{\ AX\ |\ X\in\mathbb{F}^n\ \}.
\end{equation*}
证明：
-
\(V\)是\(\mathbb{F}^m\)的子空间；
-
\(V=\langle \alpha_1,\dots ,\alpha_n\rangle\)；
-
\(\dim V=r(A)\)。
11.
写出\(\F^m\)的\(s(s\geq 2)\)个子空间\(V_1,\dots ,V_s\)相应的维数公式，并予以证明。
12.
设
\begin{equation*}
U=\{(a_1,\ldots,a_m)^T\in\F^m|a_1=\cdots=a_m\},
\end{equation*}
\begin{equation*}
V=\{(a_1,\ldots,a_m)^T\in\F^m|a_1+\cdots +a_m=0\},
\end{equation*}
证明：
-
\(U,V\)是\(\F^m\)的子空间；
-
\(\mathbb{F}^m=U\oplus V\)。
13.
设\(V_1\)、\(V_2\)是列向量空间\(V\)的子空间，且\(\dim V_1=\dim V_2\)。证明：存在\(V\)的子空间\(U\)，使得\(V=U\oplus V_1=U\oplus V_2\)。
挑战题.
14.
设\(V\)是\(\F^m\)的子空间，且\(V\)中每个非零向量的零分量个数不超过\(r\)，证明：\(\dim V\leq r+1\)。
