1.
-
\(V_1=\{(a_1,\ldots,a_m)^T|a_i\geq 0,i=1,\ldots,m\}\)；
-
\(V_2=\{(a_1,\ldots,a_m)^T|a_1a_2\cdots a_m\geq 0\}\)；
-
\(V_3=\{(a_1,\ldots,a_n,0,\ldots,0)^T|a_1,\ldots,a_n\in\mathbb{R}\}\)。
节 4.4 \(\F^m\)的子空间、基与维数
建设中！
练习 练习
基础题.
2.
-
\(\sum\limits_{i=1}^n a_ix_i=0\)；
-
\(\sum\limits_{i=1}^n a_ix_i=1\)；
-
\(\sum\limits_{i=1}^n x_i^2=0\)。
3.
设\(\alpha_1,\ldots,\alpha_s,\beta_1,\ldots,\beta_t\in\F^m\)，证明：
\begin{equation*}
\langle\alpha_1,\ldots,\alpha_s\rangle +\langle\beta_1,\ldots,\beta_t\rangle =\langle\alpha_1,\ldots,\alpha_s,\beta_1,\ldots,\beta_t\rangle .
\end{equation*}
4.
5.
在线性空间\(\mathbb{F}^m\)中，证明：
6.
求由向量\(\alpha_i\)生成的子空间与由向量\(\beta_i\)生成的子空间的交与和空间的基与维数： \(\left\{\begin{array}{c}
\alpha_1=(1,2,1,0)^T,\\
\alpha_2=(-1,1,1,1)^T,
\end{array} \right.\quad\left\{\begin{array}{c}
\beta_1=(2,-1,0,1)^T,\\
\beta_2=(1,-1,3,7)^T.
\end{array}\right.\)
7.
设\(V_1,V_2,V_3\)是列向量空间\(V\)的子空间，举例说明：
\begin{equation*}
V_1\cap (V_2 +V_3)=(V_1\cap V_2)+(V_1\cap V_3)
\end{equation*}
未必成立。
提高题.
8.
设\(V_1\)、\(V_2\)是列向量空间\(V\)的子空间。证明：\(V_1\cup V_2\)是\(V\)的子空间的充分必要条件为\(V_1\subseteq V_2\)或\(V_2\subseteq V_1\)。
9.
设\(A\in\mathbb{F}^{m\times n}\)且\(A=(\alpha_1,\dots ,\alpha_n)\)，其中\(\alpha_i\in\mathbb{F}^m(1\leq i\leq n)\)。记
\begin{equation*}
V=\{\ AX\ |\ X\in\mathbb{F}^n\ \}.
\end{equation*}
证明：
-
\(V=\langle \alpha_1,\dots ,\alpha_n\rangle\)；
-
\(\dim V=r(A)\)。
10.
11.
设
\begin{equation*}
U=\{(a_1,\ldots,a_m)^T\in\F^m|a_1=\cdots=a_m\},
\end{equation*}
\begin{equation*}
V=\{(a_1,\ldots,a_m)^T\in\F^m|a_1+\cdots +a_m=0\},
\end{equation*}
证明：
-
\(\mathbb{F}^m=U\oplus V\)。
12.
设\(V_1\)、\(V_2\)是列向量空间\(V\)的子空间，且\(\dim V_1=\dim V_2\)。证明：存在\(V\)的子空间\(U\)，使得\(V=U\oplus V_1=U\oplus V_2\)。
