主要内容\(\newcommand{\Ima}{\rm Im }
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\)
节 8.5 奇异值分解——酉相抵标准型
练习 习题
基础题.
1.
求下列矩阵的奇异值分解：
-
\(\begin{pmatrix}
1 & 1\\
1 & 1\\
-1 & -1
\end{pmatrix}\)；
-
\(\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 0 & 1
\end{pmatrix}\)；
-
\(\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
1 & 0 & -1\\
1 & -2 & 1\\
1 & 1 & 1
\end{pmatrix}\)。
2.
设
\(A=U\Sigma V^H\)是
\(m\times n\)阶矩阵
\(A\)的奇异值分解，求
\(A^H\)的奇异值分解。
提高题.
3.
设\(A=U\Sigma V^H\)是\(m\times n\)阶矩阵\(A\)的奇异值分解，\(\sigma_1,\ldots,\sigma_r\)是\(A\)的所有非零奇异值。用\(u_j\)、\(v_j\)分别表示\(U\)和\(V\)的第\(j\)列。证明：
-
\(\{u_1,\ldots,u_r\}\)是
\({\rm Im}(A)\)的一组标准正交基；
-
\(\{u_{r+1},\ldots,u_m\}\)是
\({\rm Ker}(A^H)\)的一组标准正交基；
-
\(\{v_1,\ldots,v_r\}\)是
\({\rm Im}(A^H)\)的一组标准正交基；
-
\(\{v_{r+1},\ldots,v_n\}\)是
\({\rm Ker}(A)\)的一组标准正交基。
4.
设
\(A\)是
\(n\)阶复方阵，求证：
\(AA^H\)与
\(A^HA\)相似。
5.
设
\(P\)是
\(m\)阶酉矩阵，
\(A\in \C^{m\times n} \)，证明
\(A\)与
\(PA\)有相同的奇异值。
6.
设\(\sigma_1,\ldots,\sigma_r\)是复矩阵\(A\)的所有非零奇异值。证明
\begin{equation*}
{\rm tr}(A^HA)= \sigma_1^2+\cdots+\sigma_r^2.
\end{equation*}
7.
若
\(A\)是Hermite矩阵，则
\(A\)的奇异值恰是其非0特征值的绝对值。
挑战题.
8.
设\(\sigma_1\)是复矩阵\(A\)的最大奇异值。证明
\begin{equation*}
\sigma_1 = \max_{\alpha\ne 0} \frac{\|A\alpha\|}{\|\alpha\|}.
\end{equation*}
