主要内容\(\newcommand{\Ima}{\rm Im }
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\)
节 7.5 零化多项式
练习 练习
基础题.
1.
设 \(A\in \F^{n\times n}\)，记
\begin{equation*}
T(A) = \{f(x)|f(x)\in \F[x],\ f(A)=0\}.
\end{equation*}
证明：\(T(A)\)关于多项式组合封闭，即对\(\forall f(x),g(x)\in T(A)\)，\(\forall u(x),v(x)\in \F[x]\)，都有
\begin{equation*}
u(x)f(x)+v(x)g(x)\in T(A).
\end{equation*}
2.
举例说明特征值相同的矩阵未必相似，极小多项式相同的矩阵未必相似。
3.
设
\(A= \begin{pmatrix}
2&1&1\\1&2&1\\1&1&2
\end{pmatrix}\)，求
\(A\)的极小多项式
\(m_A(\lambda)\)，并判断
\(A\)是否可对角化。
4.
设
\(\alpha , \beta\in\mathbb{F}^n\)，且
\(\alpha^T \beta=1\)。令
\(A=E_n- \alpha \beta^T\)，求
\(A\)的极小多项式
\(m_A(\lambda)\)，并判断
\(A\)是否可对角化。
提高题.
5.
设
\(n\)阶可逆矩阵
\(A\)的极小多项式
\(m_A(\lambda)=\lambda^m+a_1 \lambda^{m-1}+\cdots +a_m\)，求
\(A^{-1}\)的极小多项式
\(m_{A^{-1}}(\lambda)\)。
6.
设
\(A\)是数域
\(\mathbb{F}\)上
\(n\)阶矩阵，证明：
\(m_A(\lambda)=m_{A^T}(\lambda)\)。
7.
设
\(A={{\rm {diag}}}\{A_1,\dots,A_s\}\)是数域
\(\mathbb{F}\)上的
\(n\)阶方阵，其中
\(A_i(i=1,\dots,s)\)是
\(n_i\)阶方阵。证明
\(A\)可对角化的充分必要条件是每个
\(A_i(i=1,\dots,s)\)都可对角化。
8.
设
\(A,B\)都是
\(n\)阶可对角化矩阵，并且
\(AB=BA\)，证明：
\(A,B\)可同时对角化，即存在可逆矩阵
\(P\)使得
\(P^{-1}AP\)和
\(P^{-1}BP\)都是对角矩阵。
9.
设
\(S\)是无限个可对角化的
\(n\)阶方阵组成的集合，其元素满足矩阵乘法交换律。证明：存在
\(n\)阶可逆矩阵
\(P\)，使得
\(\forall X\in S\)，
\(P^{-1}XP\)为对角矩阵。
10.
设
\(A,B\)为
\(n\)阶矩阵，若
\((m_A(\lambda),m_B(\lambda))=1\)，证明：
\(f_A(B)\)是可逆矩阵，这里
\(f_A(\lambda)\)是
\(A\)的特征多项式。
11.
设
\(A,B\)分别是数域
\(\mathbb{F}\)上的
\(n\)阶、
\(m\)阶矩阵，其极小多项式分别为
\(m_A(\lambda),m_B(\lambda)\)，若
\((m_A(\lambda),m_B(\lambda))=1\)，证明：矩阵方程
\(AX=XB\)只有零解。
