主要内容\(\newcommand{\Ima}{\rm Im }
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\)
节 8.4 实对称矩阵和Hermite矩阵
练习 练习
基础题.
1.
设
\(A=\begin{pmatrix}
1&-2&-4\\-2&4&-2\\-4&-2&1
\end{pmatrix}\)，求正交矩阵
\(Q\)，使得
\(Q^TAQ\)为对角矩阵。
2.
设
\(A\)是
\(n\)阶复正规矩阵，证明：
\(A\)是Hermite矩阵的充分必要条件是
\(A\)的特征值全是实数。
3.
设
\(A\)是
\(n\)阶复正规矩阵，证明：
\(A\)是酉矩阵的充分必要条件是
\(A\)的特征值全是模为
\(1\)的复数。
4.
设
\(A\)是
\(n\)阶复正规矩阵，证明：
\(A\)是幂零矩阵的充分必要条件是
\(A=0\)。
提高题.
5.
设
\(\lambda_1,\dots ,\lambda_n\in\mathbb{R}\)，
\(\lambda_{\sigma(1)},\dots ,\lambda_{\sigma(n)}\)是
\(\lambda_1,\dots ,\lambda_n\)的一个排列。证明：diag
\((\lambda_1,\dots ,\lambda_n)\)正交相似于diag
\((\lambda_{\sigma(1)},\dots ,\lambda_{\sigma(n)})\)。
6.
设\(A\)是\(n\)阶实对称矩阵，且\(A^2=A\)，证明：存在正交矩阵\(Q\)，使得
\begin{equation*}
Q^{-1}AQ=Q^TAQ=\begin{pmatrix}
E_r&0\\0&0
\end{pmatrix}.
\end{equation*}
7.
设
\(A,B\)为
\(n\)阶实对称矩阵，且
\(AB=BA\)，证明：存在正交矩阵
\(Q\)，使得
\(Q^{-1}AQ,Q^{-1}BQ\)同时为对角矩阵。
8.
设
\(\varphi\)是
\(n\)维欧氏空间
\(V\)上的对称变换，
\(U\)是
\(\varphi\)-不变子空间，证明：
\(U^\bot\)也是
\(\varphi\)-不变子空间。
9.
设
\(A\)是
\(n\)阶反对称实矩阵，
\(\lambda\)是
\(A\)的特征根，证明：
\(\lambda\)是零或纯虚数。
10.
设\(\varphi\)是欧氏空间\(V\)上的线性变换。如果对于任意\(\alpha,\beta\in V\)，
\begin{equation*}
\left(\varphi(\alpha),\beta\right)=-\left(\alpha,\varphi(\beta)\right),
\end{equation*}
则称\(\varphi\)反对称。 证明：
-
\(\varphi\)为反对称的充分必要条件是
\(\varphi\)在一个标准正交基下的矩阵为反对称矩阵；
-
如果
\(U\)是反对称线性变换
\(\varphi\)的不变子空间，那么
\(U^\bot\)也是
\(\varphi\)-不变子空间。
