假设对于\(n-1\)阶矩阵结论成立，以下考虑\(n\)阶矩阵的情形。 由 \(AB=BA\)知，\(A\)、\(B\)至少存在一个公共的特征向量\(X_1\)。不妨设\(X_1\)为单位向量，将其扩充为\(\mathbb{R}^n\)的一个标准正交基\(X_1,\dots ,X_n\)。令\(P=(X_1,\dots ,X_n)\)，则\(P\)为正交矩阵，且
\begin{equation*}
P^{-1}AP=P^{T}AP=\begin{pmatrix}
\lambda_1&\alpha^T\\0&A_1
\end{pmatrix},
\end{equation*}
\begin{equation*}
P^{-1}BP=P^TBP=\begin{pmatrix}
\mu_1&\beta^T\\0&B_1
\end{pmatrix}.
\end{equation*}
由
\begin{equation*}
(P^TAP)^T=P^TA^TP=P^TAP,
\end{equation*}
\begin{equation*}
(P^TBP)^T=P^TB^TP=P^TBP
\end{equation*}
知
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
\lambda_1&0\\\alpha&A_1^T
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
\lambda_1&\alpha^T\\0&A_1
\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}
\mu_1&0\\\beta&B_1^T
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
\mu_1&\beta^T\\0&B_1
\end{pmatrix},
\end{equation*}
则\(\alpha=0,\beta=0,A_1^T=A_1,B_1^T=B_1\)。于是，
\begin{equation*}
P^{-1}AP=P^{T}AP=\begin{pmatrix}
\lambda_1&0\\0&A_1
\end{pmatrix},
\end{equation*}
\begin{equation*}
P^{-1}BP=P^TBP=\begin{pmatrix}
\mu_1&0\\0&B_1
\end{pmatrix},
\end{equation*}
其中\(A_1,B_1\)均为\(n-1\)阶实对称矩阵。由于\(AB=BA\)，所以\((P^{-1}AP)(P^{-1}BP)=(P^{-1}BP)(P^{-1}AP)\)，即
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
\lambda_1&0\\0&A_1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
\mu_1&0\\0&B_1
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
\mu_1&0\\0&B_1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
\lambda_1&0\\0&A_1
\end{pmatrix},
\end{equation*}
则\(A_1B_1=B_1A_1\)。由归纳假设，存在\(n-1\)阶正交矩阵\(Q_1\)使得\(Q_1^{-1}A_1Q_1={\rm diag} (\lambda_2,\dots ,\lambda_n),\ Q_1^{-1}B_1Q_1={\rm diag} (\mu_2,\dots ,\mu_n)\)均为对角矩阵。令\(Q=P \begin{pmatrix}
1&0\\0&Q_1
\end{pmatrix}\)，则\(Q\)是\(n\)阶正交矩阵，且
\begin{equation*}
Q^{-1}AQ={\rm diag} (\lambda_1,\dots ,\lambda_n),\ Q^{-1}BQ={\rm diag} (\mu_1,\dots ,\mu_n)
\end{equation*}
同时为对角矩阵。
