主要内容\(\newcommand{\Ima}{\rm Im }
\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\F}{\mathbb F}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\K}{\mathbb K}
\newcommand{\myunit}{1 cm}
\newcommand{\blue}[1]{{\color{blue}#1}}
\newcommand\iddots{\mathinner{
\kern1mu\raise1pt{.}
\kern2mu\raise4pt{.}
\kern2mu\raise7pt{\Rule{0pt}{7pt}{0pt}.}
\kern1mu
}}
\tikzset{
node style sp/.style={draw,circle,minimum size=\myunit},
node style ge/.style={circle,minimum size=\myunit},
arrow style mul/.style={draw,sloped,midway,fill=white},
arrow style plus/.style={midway,sloped,fill=white},
}
\newcommand{\lt}{<}
\newcommand{\gt}{>}
\newcommand{\amp}{&}
\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}
\newcommand{\fillinmath}[1]{\mathchoice{\colorbox{fillinmathshade}{$\displaystyle \phantom{\,#1\,}$}}{\colorbox{fillinmathshade}{$\textstyle \phantom{\,#1\,}$}}{\colorbox{fillinmathshade}{$\scriptstyle \phantom{\,#1\,}$}}{\colorbox{fillinmathshade}{$\scriptscriptstyle\phantom{\,#1\,}$}}}
\)
节 2.2 矩阵及其运算
练习 练习
基础题.
1.
分别写出\(4\)阶方阵\(A\)，其第\(i\)行第\(j\)列元素如下：
-
-
\(\displaystyle a_{ij}=\left\{\begin{array}{lc}
j-i+1,& i\leq j,\\
0,& i>j;\end{array}\right.\)
-
-
解答.
-
\(A=\begin{pmatrix}
1 & -1 & 1 &-1\\
-1 & 1 & -1 & 1\\
1 & -1 & 1 &-1\\
-1 & 1 & -1 & 1
\end{pmatrix}\)；
-
\(A=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 &4\\
0 & 1 & 2 & 3\\
0 & 0 & 1 &2\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}\)；
-
\(A=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 &4\\
2 & 2 & 3 & 4\\
3 & 3 & 3 &4\\
4 & 4 & 4 & 4
\end{pmatrix}\)；
-
\(A=\begin{pmatrix}
0 & 1 & 2 & 3\\
1 & 0 & 1 & 2\\
2 & 1 & 0 & 1\\
3 & 2 & 1 & 0
\end{pmatrix}\)。
2.
判断乘积矩阵\(AB,BA\)是否有意义。若有意义，写出该乘积矩阵。
-
\(A=\begin{pmatrix}
1&2&0\\1&-1&1
\end{pmatrix}\)，
\(B= \begin{pmatrix}
1&3\\0&1\\1&-1
\end{pmatrix}\)；
-
\(A=\begin{pmatrix}
a_1&a_2&a_3&a_4\\
b_1&b_2&b_3&b_4\\
c_1&c_2&c_3&c_4
\end{pmatrix}\)，
\(B=\begin{pmatrix}
1\\1\\1\\1
\end{pmatrix}\)；
-
\(A=\begin{pmatrix}
a_1&a_2&a_3&a_4\\
b_1&b_2&b_3&b_4\\
c_1&c_2&c_3&c_4
\end{pmatrix}\)，
\(B=\begin{pmatrix}
1&1&1
\end{pmatrix}\)；
-
\(A=\begin{pmatrix}
a_{11}& a_{12}& a_{13}\\
a_{21}& a_{22}& a_{23}\\
a_{31}& a_{32}& a_{33}
\end{pmatrix}\)，
\(B=\begin{pmatrix}
0& 0& 0\\
0& 0& 1\\
0& 0& 0
\end{pmatrix}\)；
-
\(A=\begin{pmatrix}
a_{11}& a_{12}& a_{13}\\
a_{21}& a_{22}& a_{23}\\
a_{31}& a_{32}& a_{33}
\end{pmatrix}\)，
\(B=\begin{pmatrix}
1& 0& 0\\
0& 0& 1\\
0& 1& 0
\end{pmatrix}\)；
-
\(A=\begin{pmatrix}
a_{11}& a_{12}& a_{13}\\
a_{21}& a_{22}& a_{23}\\
a_{31}& a_{32}& a_{33}
\end{pmatrix}\)，
\(B=\begin{pmatrix}
1& 0& 0\\
0& c& 0\\
0& 0& 1
\end{pmatrix}\)；
-
\(A=\begin{pmatrix}
a_{11}& a_{12}& a_{13}\\
a_{21}& a_{22}& a_{23}\\
a_{31}& a_{32}& a_{33}
\end{pmatrix}\)，
\(B=\begin{pmatrix}
1& 0& 0\\
0& 1& c\\
0& 0& 1
\end{pmatrix}\)。
解答.
-
\(AB= \begin{pmatrix}
1&5\\2&1
\end{pmatrix},\ BA=\begin{pmatrix}
4&-1&3\\1&-1&1\\0&3&-1
\end{pmatrix}\)。
-
\(AB=\begin{pmatrix}
a_1+a_2+a_3+a_4\\
b_1+b_2+b_3+b_4\\
c_1+c_2+c_3+c_4
\end{pmatrix}\)，
\(BA\)没有意义。
-
\(AB\)没有意义，
\begin{equation*}
BA=\left(a_1+b_1+c_1\ a_2+b_2+c_2\ a_3+b_3+c_3\ a_4+b_4+c_4\right).
\end{equation*}
-
\(AB=\begin{pmatrix}
0& 0 & a_{12}\\
0& 0 & a_{22}\\
0& 0 & a_{32}
\end{pmatrix}\)，
\(BA=\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0\\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}\)。
-
\(AB=\begin{pmatrix}
a_{11}& a_{13}& a_{12}\\
a_{21}& a_{23}& a_{22}\\
a_{31}& a_{33}& a_{32}
\end{pmatrix}\)，
\(BA=\begin{pmatrix}
a_{11}& a_{12}& a_{13}\\
a_{31}& a_{32}& a_{33}\\
a_{21}& a_{22}& a_{23}\end{pmatrix}\)。
-
\(AB=\begin{pmatrix}
a_{11}& ca_{12}& a_{13}\\
a_{21}& ca_{22}& a_{23}\\
a_{31}& ca_{32}& a_{33}
\end{pmatrix}\)，
\(BA=\begin{pmatrix}
a_{11}& a_{12}& a_{13}\\
ca_{21}& ca_{22}& ca_{23}\\
a_{31}& a_{32}& a_{33}
\end{pmatrix}\)。
-
\(AB=\begin{pmatrix}
a_{11}& a_{12} & a_{13}+ca_{12}\\
a_{21}& a_{22} & a_{23}+ca_{22}\\
a_{31}& a_{32} & a_{33}+ca_{32}
\end{pmatrix}\)，
\(BA=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
a_{21}+ca_{31} & a_{22}+ca_{32} & a_{23}+ca_{33}\\
a_{31}& a_{32} & a_{33}
\end{pmatrix}\)。
3.
主对角线上元素是同一个数\(c\)，其余元素全为\(0\)的\(n\)阶方阵称为数量矩阵，记作\(cE_n\)（或\(cI_n\)），即
\begin{equation*}
cE_n(= cI_n)= \begin{pmatrix}
c & 0 & \cdots & 0\\
0 & c & \ddots &
\vdots\\
\vdots & \ddots & \ddots & 0\\
0 & \cdots & 0 & c
\end{pmatrix}.
\end{equation*}
设\(A\)为\(n\)阶方阵，求\(A(cE_n)\)，\((cE_n)A\)。
解答.
\begin{equation*}
A(cE_n)=\begin{pmatrix}
ca_{11} & ca_{12} & \cdots & ca_{1n}\\
ca_{21} & ca_{22} & \cdots & ca_{2n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
ca_{n1} & ca_{n2} & \cdots & ca_{nn}
\end{pmatrix},
\end{equation*}
\begin{equation*}
(cE_n)A=\begin{pmatrix}
ca_{11} & ca_{12} & \cdots & ca_{1n}\\
ca_{21} & ca_{22} & \cdots & ca_{2n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
ca_{n1} & ca_{n2} & \cdots & ca_{nn}
\end{pmatrix}.
\end{equation*}
4.
证明：两个上（下）三角矩阵的积仍是上（下）三角矩阵。
解答.
设\(A,B\)是\(n\)阶上三角矩阵，则\(A\)的第\(i\)行是
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
0 & \cdots & 0 & a_{ii} & a_{i,i+1} & \cdots a_{in}
\end{pmatrix},
\end{equation*}
\(B\)的第\(j\)列为
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
b_{1j}\\ \vdots \\ b_{jj} \\ 0 \\ \vdots \\ 0
\end{pmatrix}.
\end{equation*}
当\(i > j\)时，\(AB\)的第\(i\)行第\(j\)列元素为
\begin{equation*}
0\cdot b_{1j}+\cdots + 0\cdot b_{jj} + 0\cdot 0 +\cdots +0\cdot 0 +a_{ii}\cdot 0 + \cdots + a_{in}\cdot 0=0,
\end{equation*}
因此\(AB\)是上三角矩阵。同理可证，两个下三角矩阵的积仍是下三角矩阵。
5.
设
\(A=\begin{pmatrix}
0& 1& 0\\0& 0& 1\\0& 0& 0
\end{pmatrix}\) ，求所有与
\(A\)可交换的矩阵。
解答.
设\(B=(b_{ij})_{3\times 3}\)与\(A\)可交换，则
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
0&1&0\\0&0&1\\0&0&0
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
b_{11} & b_{12}&b_{13}\\ b_{21} & b_{22}&b_{23}\\b_{31}&b_{32}&b_{33}
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
b_{11} & b_{12}&b_{13}\\ b_{21} & b_{22}&b_{23}\\b_{31}&b_{32}&b_{33}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
0&1&0\\0&0&1\\0&0&0
\end{pmatrix},
\end{equation*}
即
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
b_{21}&b_{22}&b_{23}\\b_{31}&b_{32}&b_{33}\\0&0&0
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0&b_{11} & b_{12}\\0& b_{21} & b_{22}\\0&b_{31}&b_{32}
\end{pmatrix},
\end{equation*}
比较等式两边，有
\begin{equation*}
b_{21}=b_{31}=b_{32}=0,b_{11}=b_{22}=b_{33},b_{12}=b_{23},
\end{equation*}
所以与\(A\)可交换的矩阵形如\(B= \begin{pmatrix}
a & b&c\\ 0 & a&b\\0&0&a
\end{pmatrix}\)，其中\(a,b,c\in\mathbb{F}\)。
6.
设
\(A\)是数域
\(\F\)上的
\(n\)阶方阵，
\(k\in\F\)。证明：若
\(B\)，
\(C\)都与
\(A\)可交换，那么
\(B+C\)，
\(kB\)，
\(BC\)也都与
\(A\)可交换。
解答.
因\(B\)，\(C\)都与\(A\)可交换，所以\(AB=BA\)且\(AC=CA\)，故
\begin{equation*}
A(B+C)=AB+AC=BA+CA=(B+C)A,
\end{equation*}
\begin{equation*}
A(kB)=k(AB)=k(BA)=(kB)A,
\end{equation*}
\begin{equation*}
A(BC)=(AB)C=(BA)C=B(AC)=B(CA)=(BC)A,
\end{equation*}
从而\(B+C\)，\(kB\)，\(BC\)也都与\(A\)可交换。
7.
设\(J\)是元素全为\(1\)的\(n\)阶方阵，请将矩阵
\begin{equation*}
A=\begin{pmatrix}
a& b& b& \cdots& b\\
b& a& b& \cdots& b\\
b& b& a& \cdots& b\\
\vdots& \vdots& \vdots& \ddots& \vdots\\
b& b& b& \cdots& a
\end{pmatrix}
\end{equation*}
表示成\(xE_n+yJ\)的形式，其中\(x\)，\(y\)为待定系数。
解答.
因为
\begin{equation*}
\begin{array}{ccl}
A&=&\begin{pmatrix}
(a-b)+b&b&b&\cdots&b\\
b&(a-b)+b&b&\cdots&b\\
b&b&(a-b)+b&\cdots&b\\
\vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\
b&b&b&\cdots&(a-b)+b
\end{pmatrix}\\
&=&\begin{pmatrix}
a-b&0&0&\cdots&0\\
0&a-b&0&\cdots&0\\
0&0&a-b&\cdots&0\\
\vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\
0&0&0&\cdots&a-b
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
b&b&b&\cdots&b\\
b&b&b&\cdots&b\\
b&b&b&\cdots&b\\
\vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\
b&b&b&\cdots&b
\end{pmatrix},
\end{array}
\end{equation*}
所以取\(x=a-b,y=b\)，有\(A=xE_n+yJ\)。
8.
设
\(A=\begin{pmatrix}
a_{11}& a_{12}& a_{13}\\
a_{21}& a_{22}& a_{23}\\
a_{31}& a_{32}& a_{33}
\end{pmatrix},X=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}\)，求
\(X^TAX\)。
解答.
\begin{equation*}
\begin{array}{ccl}
X^TAX&=& \begin{pmatrix}
\sum\limits_{i=1}^3a_{i1}x_i&\sum\limits_{i=1}^3a_{i2}x_i&\sum\limits_{i=1}^3a_{i3}x_i\\
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
x_1\\x_2\\x_3
\end{pmatrix}\\
&=&(\sum\limits_{i=1}^3a_{i1}x_i)x_1+(\sum\limits_{i=1}^3a_{i2}x_i)x_2+(\sum\limits_{i=1}^3a_{i3}x_i)x_3\\
% &=&a_{11}x_1^2+a_{22}x_2^2+a_{33}x_3^2+(a_{12}+a_{21})x_1x_2+(a_{13}+a_{31})x_1x_3\\&&+(a_{23}+a_{32})x_2x_3.
&=&\sum\limits_{i=1}^3\sum\limits_{j=1}^3 a_{ij}x_ix_j.
\end{array}
\end{equation*}
9.
证明：如果
\(A\)，
\(B\)都是
\(n\)阶反对称矩阵，那么
\(AB-BA\)也是反对称矩阵。
解答.
因为\(A^T=-A\)，\(B^T=-B\)，所以
\begin{equation*}
\begin{array}{cl}
(AB-BA)^T & =B^TA^T-A^TB^T\\
& =(-B)(-A)-(-A)(-B)\\
& =-(AB-BA),
\end{array}
\end{equation*}
由此可知\(AB-BA\)是反对称矩阵。
10.
计算：
-
\(\begin{pmatrix}
0& 0& 1\\
0& 1& 0\\
1& 0& 0
\end{pmatrix}^n\)；
-
\(\begin{pmatrix}
1& 1& 1\\
1& 1& 1\\
1& 1& 1
\end{pmatrix}^n\)；
-
\(\begin{pmatrix}
\cos\theta& \sin\theta\\
-\sin\theta& \cos\theta
\end{pmatrix}^n\)；
-
\(\begin{pmatrix}
1& -1& -1& -1\\
-1& 1& -1& -1\\
-1& -1& 1& -1\\
-1& -1& -1& 1
\end{pmatrix}^2\)；
-
\(\begin{pmatrix}
1& -1& -1& -1\\
-1& 1& -1& -1\\
-1& -1& 1& -1\\
-1& -1& -1& 1
\end{pmatrix}^n\)。
解答.
-
因为
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
0& 0& 1\\
0& 1& 0\\
1& 0& 0
\end{pmatrix}^2=\begin{pmatrix}
1& 0& 0\\
0& 1& 0\\
0& 0& 1
\end{pmatrix},
\end{equation*}
所以
-
当\(n=2k\)时，
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
0& 0& 1\\
0& 1& 0\\
1& 0& 0
\end{pmatrix}^n=E_3^k=E_3.
\end{equation*}
-
当\(n=2k+1\)时，
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
0& 0& 1\\
0& 1& 0\\
1& 0& 0
\end{pmatrix}^n=E_3^k\begin{pmatrix}
0& 0& 1\\
0& 1& 0\\
1& 0& 0
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0& 0& 1\\
0& 1& 0\\
1& 0& 0
\end{pmatrix}.
\end{equation*}
-
记\(A=\begin{pmatrix}
1\\1\\1
\end{pmatrix},B=\begin{pmatrix}
1&1&1
\end{pmatrix}\)，因为
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
1&1&1\\1&1&1\\1&1&1
\end{pmatrix}=AB,
\end{equation*}
所以
\begin{equation*}
\begin{array}{cl}
\begin{pmatrix}
1&1&1\\1&1&1\\1&1&1
\end{pmatrix}^n & = \overbrace{(AB)(AB)\cdots (AB)}^{n\text{个}}\\
& =A\overbrace{(BA)\cdots (BA)}^{n-1\text{个}}B\\
& =3^{n-1}AB\\
& =3^{n-1}\begin{pmatrix}
1&1&1\\1&1&1\\1&1&1
\end{pmatrix}.
\end{array}
\end{equation*}
-
当\(n=2\)时，
\begin{equation*}
\begin{array}{cl}
\begin{pmatrix}
\cos\theta&\sin\theta\\
-\sin\theta&\cos\theta
\end{pmatrix}^2 & = \begin{pmatrix}
\cos^2\theta-\sin^2\theta&2\sin\theta\cos\theta\\
-2\sin\theta\cos\theta&-\sin^2\theta+\cos^2\theta
\end{pmatrix}\\
& =\begin{pmatrix}
\cos 2\theta&\sin 2\theta\\-\sin 2\theta&\cos 2\theta
\end{pmatrix}.\end{array}
\end{equation*}
假设
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
\cos\theta&\sin\theta\\-\sin\theta&\cos\theta
\end{pmatrix}^{n-1}=\begin{pmatrix}
\cos (n-1)\theta&\sin (n-1)\theta\\-\sin (n-1)\theta&\cos (n-1)\theta
\end{pmatrix},
\end{equation*}
则
\begin{equation*}
\begin{array}{cl}
&\begin{pmatrix}
\cos\theta&\sin\theta\\-\sin\theta&\cos\theta
\end{pmatrix}^n\\ =& \begin{pmatrix}
\cos\theta&\sin\theta\\-\sin\theta&\cos\theta
\end{pmatrix}^{n-1} \begin{pmatrix}
\cos\theta&\sin\theta\\-\sin\theta&\cos\theta
\end{pmatrix}\\
=& \begin{pmatrix}
\cos (n-1)\theta&\sin (n-1)\theta\\-\sin(n-1)\theta&\cos(n-1)\theta
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
\cos\theta&\sin\theta\\-\sin\theta&\cos\theta
\end{pmatrix}\\
=& \left(\begin{smallmatrix}
\cos (n-1)\theta\cos \theta-\sin (n-1)\theta\sin\theta&\cos (n-1)\theta\sin n\theta+\sin (n-1)\theta\cos\theta\\-\sin (n-1)\theta\cos\theta-\cos (n-1)\theta\sin\theta&-\sin (n-1)\theta\sin\theta+\cos (n-1)\theta\cos\theta
\end{smallmatrix}\right)\\
=& \begin{pmatrix}
\cos n\theta&\sin n\theta\\-\sin n\theta&\cos n\theta
\end{pmatrix}.
\end{array}
\end{equation*}
综上，
\(\begin{pmatrix}
\cos\theta&\sin\theta\\-\sin\theta&\cos\theta
\end{pmatrix}^n=\begin{pmatrix}
\cos n\theta&\sin n\theta\\-\sin n\theta&\cos n\theta
\end{pmatrix}\)。
-
\(\begin{pmatrix}
1&-1&-1&-1\\-1&1&-1&-1\\-1&-1&1&-1\\-1&-1&-1&1
\end{pmatrix}^2=\begin{pmatrix}
4&0&0&0\\0&4&0&0\\0&0&4&0\\0&0&0&4
\end{pmatrix}\)。
-
记\(A=\begin{pmatrix}
1&-1&-1&-1\\-1&1&-1&-1\\-1&-1&1&-1\\-1&-1&-1&1
\end{pmatrix}\)，则\(A^2=4E_4\)。
-
当\(n\)为偶数时，
\begin{equation*}
A^n=(A^2)^{\frac{n}{2}}=(4E_4)^{\frac{n}{2}}=4^{\frac{n}{2}}E_4=2^nE_4;
\end{equation*}
-
当\(n\)为奇数时，\(n-1\)为偶数，则\(A^{n-1}=2^{n-1}E_4\)，此时
\begin{equation*}
A^n=A^{n-1}A=2^{n-1}E_4 A=2^{n-1}A,
\end{equation*}
即
\begin{equation*}
A^n=\begin{pmatrix}
2^{n-1}&-2^{n-1}&-2^{n-1}&-2^{n-1}\\-2^{n-1}&2^{n-1}&-2^{n-1}&-2^{n-1}\\-2^{n-1}&-2^{n-1}&2^{n-1}&-2^{n-1}\\-2^{n-1}&-2^{n-1}&-2^{n-1}&2^{n-1}
\end{pmatrix}.
\end{equation*}
11.
设
\(A=\begin{pmatrix}
1& 0& 1\\0& 2& 0\\1& 0& 1
\end{pmatrix}\)，
\(n\geq 2\)，求
\(A^n-2A^{n-1}\)。
解答.
因为
\begin{equation*}
A^2=\begin{pmatrix}
1&0&1\\0&2&0\\1&0&1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1&0&1\\0&2&0\\1&0&1
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
2&0&2\\0&4&0\\2&0&2
\end{pmatrix}=2A,
\end{equation*}
所以当\(n\geq 2\)时，
\begin{equation*}
A^n=A^2\cdot A^{n-2}=2A\cdot A^{n-2}=2A^{n-1},
\end{equation*}
从而\(A^n-2A^{n-1}={\bf 0}\)。
12.
举例说明存在非零
\(n\)阶方阵
\(A\)，使得
\(A^2={\bf 0}\)。
解答.
设
\(A_{n\times n}=\begin{pmatrix}
0 & \cdots & 0 & 1\\
0 & \cdots & 0 & 0\\
\vdots & &\vdots & \vdots\\
0 & \cdots & 0 & 0
\end{pmatrix}\)，则
\(A\)是非零
\(n\)阶方阵，满足
\(A^2={\bf 0}\)。
13.
设\(A\)是数域\(\F\)上\(n\)阶方阵且\(A^k={\bf 0}\)，求
\begin{equation*}
(E_n-A)(E_n+A+A^2+\cdots +A^{k-1}).
\end{equation*}
解答.
因为\(A^k={\bf 0}\)，所以
\begin{equation*}
\begin{array}{ll}
& (E_n-A)(E_n+A+A^2+\cdots +A^{k-1})\\
= & (E_n+A+A^2+\cdots +A^{k-1})-(A+A^2+\cdots +A^{k-1}+A^k)\\
=& E_n-A^k\\
=& E_n.\end{array}
\end{equation*}
14.
设
\(A\)，
\(B\)是数域
\(\F\)上
\(n\)阶方阵，满足
\(A=\frac{1}{2}(B+E_n)\)。证明：
\(A^2=A\)的充分必要条件是
\(B^2=E_n\)。（注：称
\(A^2=A\)的矩阵
\(A\)为
幂等矩阵，称
\(B^2=E_n\)的矩阵
\(B\)为
对合矩阵。）
解答.
充分性：因为\(B^2=E_n\)，所以
\begin{equation*}
A^2=[\frac{1}{2}(B+E_n)]^2=\frac{1}{4}(B^2+2B+E_n)=\frac{1}{2}(B+E_n)=A.
\end{equation*}
必要性：因为\(A^2=A\)，所以\([\frac{1}{2}(B+E_n)]^2=\frac{1}{2}(B+E_n)\)，即
\begin{equation*}
\frac{1}{4}(B^2+2B+E_n)=\frac{1}{2}(B+E_n),
\end{equation*}
则\(B^2+2B+E_n=2B+2E_n\)，整理得\(B^2=E_n\)。
提高题.
15.
证明：如果
\(A={\rm diag} (a_1,\ldots ,a_n)\)，其中
\(a_1,\ldots ,a_n\)两两互异，那么与矩阵
\(A\)可交换的矩阵只能是对角矩阵。
解答.
设\(B=\left(b_{ij}\right)_{n\times n}\)与\(A\)可交换，则\(AB=BA\)，即
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
a_1b_{11}&a_1b_{12}&\cdots&a_1b_{1n}\\
a_2b_{21}&a_2b_{22}&\cdots&a_2b_{2n}\\
\vdots&\vdots& &\vdots\\
a_nb_{n1}&a_nb_{n2}&\cdots&a_nb_{nn}\\
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
a_1b_{11}&a_2b_{12}&\cdots&a_nb_{1n}\\
a_1b_{21}&a_2b_{22}&\cdots&a_nb_{2n}\\
\vdots&\vdots& &\vdots\\
a_1b_{n1}&a_2b_{n2}&\cdots&a_nb_{nn}\\
\end{pmatrix},
\end{equation*}
比较第\(i\)行第\(j\)列元素得\(a_ib_{ij}=a_jb_{ij}\)，即
\begin{equation*}
(a_i-a_j)b_{ij}=0,
\end{equation*}
由\(a_1,a_2,\cdots ,a_n\)互异可知\(b_{ij}=0,\ \forall i\neq j\)，故与矩阵\(A\)可交换的矩阵\(B\)为对角矩阵。
16.
若
\(n\)阶方阵的第
\(i\)行第
\(j\)列元素是
\(1\)，其余元素都是
\(0\)，则称该方阵为
\(n\)阶
基础矩阵，记为
\(E_{ij}\)。证明：如果
\(A\)是
\(n\)阶方阵满足
\(AE_{ij}=E_{ij}A\)，那么
\(a_{ii}=a_{jj}\)且当
\(k\neq i\)时
\(a_{ki}=0\)，当
\(l\neq j\)时
\(a_{jl}=0\)。
解答.
因为\(AE_{ij}=E_{ij}A\)，所以
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
&&&\mbox{第j列}&&&\\
0&\cdots&0&a_{1i}&0&\cdots&0\\
0&\cdots&0&a_{2i}&0&\cdots&0\\
\vdots&&\vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\
0&\cdots&0&a_{ni}&0&\cdots&0
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0&0&\cdots&0\\
\vdots&\vdots&&\vdots\\
0&0&\cdots&0\\
a_{j1}&a_{j2}&\cdots&a_{jn}\\
0&0&\cdots&0\\
\vdots&\vdots&&\vdots\\
0&0&\cdots&0
\end{pmatrix}\mbox{第i行},
\end{equation*}
比较第\(j\)列元素得，当\(k\neq i \)时，\(a_{ki}=0\)；比较第\(i\)行元素得，\(l\neq j \)时，\(a_{jl}=0\)；比较第\(i\)行第\(j\)列元素得\(a_{ii}=a_{jj}\)。
17.
设
\(A\)是数域
\(\F\)上
\(n\)阶方阵，证明：如果
\(A\)与所有数域
\(\F\)上的
\(n\)阶方阵可交换，那么
\(A\)一定是数量矩阵。
解答.
因为
\(A\)与
\(n\)阶方阵
\({\rm diag} (1,2,\ldots ,n)\)可交换，所以根据
练习 2.2.15 知
\(A\)为对角矩阵
\(A={\rm diag} (a_{11},a_{22},\cdots ,a_{nn})\)。根据已知条件，对任意
\(1\leq i\neq j\leq n\)，有
\(AE_{ij}=E_{ij}A\)，由
练习 2.2.16知
\(a_{ii}=a_{jj}\)。因此
\(A\)是数量矩阵。
18.
一个\(n\)阶方阵\(A\)的 迹定义为
\begin{equation*}
{\rm tr} (A)=a_{11}+a_{22}+\cdots +a_{nn}.
\end{equation*}
证明：对任意\(n\)阶方阵\(A,B\)，对任意常数\(k\)，有
-
\({\rm tr} (A+B)={\rm tr} (A)+{\rm tr} (B)\)；
-
\({\rm tr} (kA)=k{\rm tr} (A)\)；
-
\({\rm tr} (AB)={\rm tr} (BA)\)。
解答.
设\(A=(a_{ij})_{n\times n}, B=(b_{ij})_{n\times n}\)，则
-
\(A+B=(a_{ij}+b_{ij})_{n\times n}\)，故
\begin{equation*}
\begin{array}{ll}
&{\rm tr}(A+B)\\
=&(a_{11}+b_{11})+(a_{22}+b_{22})+\cdots +(a_{nn}+b_{nn})\\
=&(a_{11}+a_{22}+\cdots +a_{nn})+(b_{11}+b_{22}+\cdots +b_{nn})\\
=&{\rm tr}(A)+{\rm tr}(B);
\end{array}
\end{equation*}
-
\(kA=(ka_{ij})_{n\times n}\)，故
\begin{equation*}
\begin{array}{ll}
{\rm tr}(kA) & =ka_{11}+ka_{22}+\cdots+ka_{nn}\\
& =k(a_{11}+a_{22}+\cdots+a_{nn})\\
&=k{\rm tr}(A);\end{array}
\end{equation*}
-
设\(AB=(c_{ij})_{n\times n}\)，则对任意\(1\leq i\leq n\)，\(c_{ii}=\sum\limits_{j=1}^n a_{ij}b_{ji}\)，故
\begin{equation*}
{\rm tr}(AB)=\sum\limits_{i=1}^n c_{ii}=\sum\limits_{i=1}^n\left(\sum\limits_{j=1}^n a_{ij}b_{ji}\right).
\end{equation*}
同理，
\begin{equation*}
{\rm tr}(BA)=\sum\limits_{j=1}^n\left(\sum\limits_{i=1}^n b_{ji}a_{ij}\right).
\end{equation*}
因\(\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^n a_{ij}b_{ji}=\sum\limits_{j=1}^n\sum\limits_{i=1}^n a_{ij}b_{ji}\)，所以\({\rm tr}(AB)={\rm tr}(BA)\)。
19.
证明：不存在数域
\(\F\)上
\(n\)阶方阵
\(A,B\)，使得
\(AB-BA=E_n\)。
解答.
假设存在在数域\(\F\)上\(n\)阶方阵\(A,B\)，使得\(AB-BA=E_n\)，则
\begin{equation*}
{\rm tr}(AB-BA)={\rm tr}(E_n).
\end{equation*}
\begin{equation*}
{\rm tr}(AB-BA)={\rm tr}(AB)-{\rm tr}(BA)=0,
\end{equation*}
故 \(0=n\)，与\(n\)是正整数矛盾。
20.
设
\(A\)，
\(B\)都是
\(n\)阶对称矩阵，证明：
\(AB\)是对称矩阵的充分必要条件是
\(AB=BA\)。
解答.
必要性：因为\(AB\)是对称矩阵，所以
\begin{equation*}
AB=(AB)^T=B^TA^T=BA.
\end{equation*}
充分性：因为\(AB=BA\)，所以
\begin{equation*}
(AB)^T=B^TA^T=BA=AB,
\end{equation*}
由此可知\(AB\)是对称矩阵。
21.
设
\(A\)是
\(n\)阶反对称矩阵，
\(\alpha\)是
\(n\)维列向量，证明：
\(\alpha^TA\alpha=0\)。
解答.
由\(\alpha\)是列向量可知\(\alpha^TA\alpha\)是\(1\times 1\)矩阵，故
\begin{equation*}
(\alpha^TA\alpha)^T=\alpha^TA\alpha,
\end{equation*}
则\(\alpha^TA^T\alpha =\alpha^TA\alpha\)。由于\(A\)是反对称矩阵，即\(A^T=-A\)，所以
\begin{equation*}
-\alpha^TA\alpha=\alpha^TA\alpha,
\end{equation*}
从而\(\alpha^TA\alpha=0\)。
22.
设
\(A\)是
\(m\times n\)实矩阵，证明：
\({\rm tr}(A^TA)\geq 0\)，等号成立当且仅当
\(A={\bf 0}\)。
解答.
设\(A=(a_{ij})_{m\times n}\)，其中\(a_{ij}\in\mathbb{R}\)，则\(A^TA\)是\(n\)阶实方阵，其第\(j\)行第\(j\)列元素为
\begin{equation*}
a_{1j}a_{1j}+a_{2j}a_{2j}+\cdots+a_{mj}a_{mj}=\sum\limits_{i=1}^m a_{ij}^2.
\end{equation*}
因此
\begin{equation*}
{\rm tr}(A^TA)=\sum\limits_{j=1}^n\left(\sum\limits_{i=1}^m a_{ij}^2\right)\geq 0,
\end{equation*}
且等号成立当且仅当\(a_{ij}=0,\ \forall i=1,\ldots ,m,j=1,\ldots ,n\)，即\(A={\bf 0}\)。
23.
设
\(A\)是
\(m\times n\)复矩阵，证明：
\({\rm tr}(\overline{A}^TA)\geq 0\)，等号成立当且仅当
\(A={\bf 0}\)。
解答.
设\(A=(a_{ij})_{m\times n}\)，其中\(a_{ij}\in\mathbb{C}\)，则\(\overline{A}^TA\)是\(n\)阶方阵，其第\(j\)行第\(j\)列元素为
\begin{equation*}
\overline{a_{1j}}a_{1j}+\overline{a_{2j}}a_{2j}+\cdots+\overline{a_{mj}}a_{mj}=\sum\limits_{i=1}^m |a_{ij}|^2.
\end{equation*}
因此
\begin{equation*}
{\rm tr}(A^TA)=\sum\limits_{j=1}^n\left(\sum\limits_{i=1}^m |a_{ij}|^2\right)\geq 0,
\end{equation*}
且等号成立当且仅当\(a_{ij}=0,\ \forall i=1,\ldots ,m,j=1,\ldots ,n\)，即\(A={\bf 0}\)。
24.
设
\(A\)是
\(n\)阶复矩阵，若
\(\overline{A}^T=A\)，则称
\(A\)是一个
Hermite矩阵。若
\(\overline{A}^T=-A\)，则称
\(A\)是一个
斜Hermite矩阵。证明：任一复
\(n\)阶矩阵均可唯一地表示成一个Hermite矩阵与一个斜Hermite矩阵之和。
解答.
对任一复\(n\)阶矩阵\(A\)，设\(A = B+C\)，其中\(B\)是Hermite矩阵，\(C\)是斜Hermite矩阵。等式两端同时取共轭转置得\(\overline{A^T} = B-C\)，联立两个等式解得：
\begin{equation*}
B = \frac{A+\overline{A^T} }{2},\quad C =\frac{A-\overline{A^T} }{2},
\end{equation*}
容易验证\(B\)是Hermite矩阵，\(C\)是斜Hermite矩阵，结论成立。
25.
设
\(A\)，
\(B\)都是数域
\(\F\)上
\(n\)阶方阵（
\(n\geq 2\)）。如果
\(A^2=B^2\)，是否可推出
\(A=B\)或
\(A=-B\)？若正确请证明，若不正确请举出一个反例。
解答.
不正确。比如，
\(A=E_n\)，
\(B={\rm diag} (-1,1,\cdots ,1)\)，则
\(A^2=B^2\)，但
\(A\neq B\)且
\(A\neq -B\)。
26.
设\(A\)是数域\(\F\)上\(n\)阶方阵，
\begin{equation*}
f(x)=a_mx^m+\cdots+a_0\in\F[x],
\end{equation*}
把\(x\)用\(A\)代入，得
\begin{equation*}
f(A)=a_mA^m+\cdots+a_1A+a_0E_n,
\end{equation*}
称\(f(A)\)为矩阵\(A\)的多项式。设
\begin{equation*}
A=\begin{pmatrix}
0& 1& 0& \cdots & 0\\
0& 0& 1& \cdots & 0\\
\vdots& \vdots& \vdots& \ddots & \vdots\\
0& 0& 0& \cdots & 1\\
1& 0& 0& \cdots & 0\\
\end{pmatrix}
\end{equation*}
是\(n\)阶方阵，\(f(x)=a_nx^n+\cdots+a_0\)，求\(f(A)\)。
解答.
\(\begin{array}{ccl}
f(A) & = & a_nA^n+a_{n-1}A^{n-1}+\cdots +a_1A+a_0E_n\\
& = & \begin{pmatrix}
a_0+a_n & a_1 & a_2 & \cdots & a_{n-1}\\
a_{n-1} & a_0+a_n & a_1 & \ddots &\vdots\\
\ddots & a_{n-1} &a_0+a_n & \ddots & a_2\\
a_2 & \ddots & \ddots & \ddots & a_1\\
a_1 & a_2 &\ddots & a_{n-1} & a_0+a_n
\end{pmatrix}.
\end{array}\)
27.
设\(A\)是数域\(\F\)上\(n\)阶方阵，\(f(x),g(x)\in\F[x]\)，证明：
\begin{equation*}
f(A)g(A)=g(A)f(A).
\end{equation*}
解答.
由于\(A^mA^n=A^nA^m=A^{m+n}\)，所以根据矩阵乘法分配律得
\begin{equation*}
f(A)g(A)=g(A)f(A).
\end{equation*}
28.
设\(A,B,C\)是数域\(\F\)上\(n\)阶方阵，\(f(x)\in\F[x]\)。 若\(AB=BC\)，证明：
-
对任意正整数
\(k\)，有
\(A^kB=BC^k\)；
-
对任意
\(f(x)\in\F[x]\)，有
\(f(A)B=Bf(C)\)。
解答.
-
对\(k\)用数学归纳法。当\(k=1\)时，结论显然成立。假设\(A^{k-1}B=BC^{k-1}\)，则
\begin{equation*}
A^k B=A(A^{k-1}B)=A(BC^{k-1})=(AB)C^{k-1}.
\end{equation*}
由于\(AB=BC\)，所以
\begin{equation*}
A^kB=(BC)C^{k-1}=B(CC^{k-1})=BC^k.
\end{equation*}
-
设\(f(x)=a_mx^m+a_{m-1}x^{m-1}+\cdots+a_0\)，则
\begin{equation*}
\begin{array}{cl}
f(A)B & =(a_mA^m+a_{m-1}A^{m-1}+\cdots +a_1A+a_0E_n)B\\
&=a_mA^mB+a_{m-1}A^{m-1}B+\cdots +a_1AB+a_0B\\
& =a_mBC^m+a_{m-1}BC^{m-1}+\cdots +a_1BC+a_0B\\
&=B(a_mC^m+a_{m-1}C^{m-1}+\cdots +a_1C+a_0E_n)\\
&=Bf(C).
\end{array}
\end{equation*}
29.
设
\(n\)阶方阵
\(A\)每行元素之和都是
\(a\)，证明：对任意正整数
\(k\)，
\(A^k\)每行元素之和都是
\(a^k\)。
解答.
记\(\alpha=\begin{pmatrix}1\\1\\\vdots\\1\end{pmatrix}\)，由于\(A\)每行元素之和都是\(a\)，所以
\begin{equation*}
A\alpha=\begin{pmatrix}a\\a\\\vdots\\a\end{pmatrix}=a\alpha.
\end{equation*}
于是
\begin{equation*}
A^k\alpha=A^{k-1}(A\alpha)=A^{k-1}(a\alpha)=a(A^{k-1}\alpha)=\cdots =a^k\alpha,
\end{equation*}
由此可知\(A^k\)的每行元素之和都是\(a^k\)。
挑战题.
30.
试求两个
\(n\)阶方阵
\(B_1,B_2\)，使得与
\(B_1,B_2\)都可交换的矩阵必为数量矩阵。
解答.
取
\begin{equation*}
B_1=\begin{pmatrix}
1 & & &\\
& 2 & &\\
& & \ddots &\\
& & & n
\end{pmatrix}, B_2=\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 &\cdots& 0\\
0 & 0 & 1 &\cdots &0\\
\vdots & \vdots & \vdots &\ddots &\vdots \\
0 & 0 & 0 &\cdots &1\\
1& 0 &0 &\cdots & 0
\end{pmatrix}.
\end{equation*}
若
\(A\)与
\(B_1,B_2\)都可交换，根据
练习 2.2.15，
\(A\)为对角矩阵。设
\(A={\rm diag} (a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n})\)，由
\(AB_2=B_2A\)知
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
0 & a_1 & 0 & \cdots & 0\\
0 & 0 & a_2 & \cdots & 0\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
0 & 0 & 0 & \cdots & a_{n-1}\\
a_n & 0 & 0 & \cdots & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0 & a_2 & 0 & \cdots & 0\\
0 & 0 & a_3 & \cdots & 0\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
0 & 0 & 0 & \cdots & a_{n}\\
a_1 & 0 & 0 & \cdots & 0\end{pmatrix},
\end{equation*}
故\(a_1=a_2=\cdots=a_n\)，因此\(A\)是数量矩阵。
31.
记\(\F^{n\times n}\)为数域\(\F\)上所有\(n\)阶方阵构成的集合。若映射 \(\varphi:\F^{n\times n}\rightarrow\F\)满足：对任意\(A,B\in\F^{n\times n},c\in\F\)，有
-
\(\varphi (A+B)=\varphi(A)+\varphi(B)\)，
-
\(\varphi(cA)=c\varphi(A)\)，
-
\(\varphi(AB)=\varphi(BA)\)，
证明：存在\(a\in\F\)，使得\(\varphi(A)=a{\rm tr}(A),\forall A\in\F^{n\times n}\)。
解答.
对任意\(A=(a_{ij})_{n\times n}\in\F^{n\times n}\)，有 \(A=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^n a_{ij}E_{ij}\)，则
\begin{equation*}
\varphi(A)=\varphi\left(\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^n a_{ij}E_{ij}\right),
\end{equation*}
\begin{equation}
\varphi (A)=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^n a_{ij}\varphi (E_{ij}).\tag{2.2.1}
\end{equation}
\begin{equation*}
\varphi (E_{ij})=\varphi(E_{i1}E_{1j})=\varphi (E_{1j}E_{i1}),
\end{equation*}
而
\begin{equation*}
E_{1j}E_{i1}=\left\{\begin{array}{ll}
E_{11},& i=j\text{时,}\\
\bf{0},& i\neq j\text{时,}\end{array}
\right.
\end{equation*}
\begin{equation*}
\varphi(E_{ij})=\varphi({\bf 0})=\varphi(0E_n)=0\varphi(E_n)={\bf 0}.
\end{equation*}
\begin{equation*}
\varphi(A)=\sum\limits_{i=1}^n \left(a_{ii}\varphi(E_{11})\right)=\varphi(E_{11})\left(\sum\limits_{i=1}^n a_{ii}\right).
\end{equation*}
令\(a=\varphi(E_{11})\)，则\(\varphi(A)=a{\rm tr}(A)\)。
32.
设
\(A,B\)是数域
\(\F\)上二阶方阵，满足
\(AB-BA=A\)，证明：
\(A^2={\bf 0}\)。
解答.
已知\(AB-BA=A\)，所以两边同时取迹得
\begin{equation*}
{\rm tr}(A)={\rm tr}(AB-BA)={\rm tr}(AB)-{\rm tr}(BA)=0.
\end{equation*}
设\(A=\begin{pmatrix}
a & b\\
c & -a
\end{pmatrix}\)，则
\begin{equation*}
A^2=\begin{pmatrix}
a^2+bc & 0\\
0 & a^2+bc
\end{pmatrix}=(a^2+bc)E_2.
\end{equation*}
由\(AB-BA=A\)得
\begin{equation}
A^2B-ABA=A^2,\tag{2.2.2}
\end{equation}
\begin{equation}
ABA-BA^2=A^2,\tag{2.2.3}
\end{equation}
\begin{equation*}
A^2B-BA^2=2A^2,
\end{equation*}
即
\begin{equation*}
((a^2+bc)E_2)B-B((a^2+bc)E_2)=2A^2,
\end{equation*}
故
\begin{equation*}
2A^2=(a^2+bc)B-(a^2+bc)B={\bf 0},
\end{equation*}
从而\(A^2={\bf 0}\)。
33.
设
\(A,B\)是
\(n\)阶实对称矩阵，
\(C\)为
\(n\)阶实反对称矩阵，且
\(A^2+B^2=C^2\)，证明：
\(A=B=C={\bf 0}\)。
解答.
根据已知\(A^T=A,B^T=B,C^T=-C\)且\(A^2+B^2=C^2\)得
\begin{equation*}
A^TA+B^TB=-C^TC,
\end{equation*}
两边同时取迹得
\begin{equation}
{\rm tr}(A^TA)+{\rm tr}(B^TB)=-{\rm tr}(C^TC).\tag{2.2.4}
\end{equation}
\begin{equation*}
{\rm tr}(A^TA)\geq 0,\ {\rm tr}(B^TB)\geq 0,\ {\rm tr}(C^TC)\geq 0,
\end{equation*}
\begin{equation*}
{\rm tr}(A^TA)={\rm tr}(B^TB)={\rm tr}(C^TC)=0,
\end{equation*}
