1.
分别写出\(4\)阶方阵\(A\)，其第\(i\)行第\(j\)列元素如下：
-
\(a_{ij}=(-1)^{i+j}\)；
-
\(\displaystyle a_{ij}=\left\{\begin{array}{lc} j-i+1,& i\leq j,\\ 0,& i>j;\end{array}\right.\)
-
\(a_{ij}=\max\{i,j\}\)；
-
\(a_{ij}=|i-j|\)。
节 2.2 矩阵及其运算
建设中！
练习 练习
基础题.
2.
判断乘积矩阵\(AB,BA\)是否有意义。若有意义，写出该乘积矩阵。
-
\(A=\begin{pmatrix} 1&2&0\\1&-1&1 \end{pmatrix}\)，\(B= \begin{pmatrix} 1&3\\0&1\\1&-1 \end{pmatrix}\)；
-
\(A=\begin{pmatrix} a_1&a_2&a_3&a_4\\ b_1&b_2&b_3&b_4\\ c_1&c_2&c_3&c_4 \end{pmatrix}\)，\(B=\begin{pmatrix} 1\\1\\1\\1 \end{pmatrix}\)；
-
\(A=\begin{pmatrix} a_1&a_2&a_3&a_4\\ b_1&b_2&b_3&b_4\\ c_1&c_2&c_3&c_4 \end{pmatrix}\)，\(B=\begin{pmatrix} 1&1&1 \end{pmatrix}\)；
-
\(A=\begin{pmatrix} a_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33} \end{pmatrix}\)，\(B=\begin{pmatrix} 0& 0& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 0 \end{pmatrix}\)；
-
\(A=\begin{pmatrix} a_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33} \end{pmatrix}\)，\(B=\begin{pmatrix} 1& 0& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 1& 0 \end{pmatrix}\)；
-
\(A=\begin{pmatrix} a_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33} \end{pmatrix}\)，\(B=\begin{pmatrix} 1& 0& 0\\ 0& c& 0\\ 0& 0& 1 \end{pmatrix}\)；
-
\(A=\begin{pmatrix} a_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33} \end{pmatrix}\)，\(B=\begin{pmatrix} 1& 0& 0\\ 0& 1& c\\ 0& 0& 1 \end{pmatrix}\)。
3.
主对角线上元素是同一个数\(c\)，其余元素全为\(0\)的\(n\)阶方阵称为数量矩阵，记作\(cE_n\)（或\(cI_n\)），即
\begin{equation*}
cE_n(= cI_n)= \begin{pmatrix}
c & 0 & \cdots & 0\\
0 & c & \ddots &
\vdots\\
\vdots & \ddots & \ddots & 0\\
0 & \cdots & 0 & c
\end{pmatrix}.
\end{equation*}
设\(A\)为\(n\)阶方阵，求\(A(cE_n)\)，\((cE_n)A\)。
4.
证明：两个上（下）三角矩阵的积仍是上（下）三角矩阵。
5.
6.
设\(A\)是数域\(\F\)上的\(n\)阶方阵， \(k\in\F\)。证明：若\(B\)，\(C\)都与\(A\)可交换，那么\(B+C\)，\(kB\)，\(BC\)也都与\(A\)可交换。
7.
设\(J\)是元素全为\(1\)的\(n\)阶方阵，请将矩阵
\begin{equation*}
A=\begin{pmatrix}
a& b& b& \cdots& b\\
b& a& b& \cdots& b\\
b& b& a& \cdots& b\\
\vdots& \vdots& \vdots& \ddots& \vdots\\
b& b& b& \cdots& a
\end{pmatrix}
\end{equation*}
表示成\(xE_n+yJ\)的形式，其中\(x\)，\(y\)为待定系数。
8.
计算：
-
\(\begin{pmatrix} 0& 0& 1\\ 0& 1& 0\\ 1& 0& 0 \end{pmatrix}^n\)；
-
\(\begin{pmatrix} 1& 1& 1\\ 1& 1& 1\\ 1& 1& 1 \end{pmatrix}^n\)；
-
\(\begin{pmatrix} \cos\theta& \sin\theta\\ -\sin\theta& \cos\theta \end{pmatrix}^n\)；
-
\(\begin{pmatrix} 1& -1& -1& -1\\ -1& 1& -1& -1\\ -1& -1& 1& -1\\ -1& -1& -1& 1 \end{pmatrix}^2\)；
-
\(\begin{pmatrix} 1& -1& -1& -1\\ -1& 1& -1& -1\\ -1& -1& 1& -1\\ -1& -1& -1& 1 \end{pmatrix}^n\)。
9.
10.
11.
设\(A\)是数域\(\F\)上\(n\)阶方阵且\(A^k={\bf 0}\)，求
\begin{equation*}
(E_n-A)(E_n+A+A^2+\cdots +A^{k-1}).
\end{equation*}
12.
设\(A\)，\(B\)是数域\(\F\)上\(n\)阶方阵，满足 \(A=\frac{1}{2}(B+E_n)\)。证明：\(A^2=A\)的充分必要条件是\(B^2=E_n\)。（注：称\(A^2=A\)的矩阵\(A\)为幂等矩阵，称\(B^2=E_n\)的矩阵\(B\)为对合矩阵。）
提高题.
13.
14.
若\(n\)阶方阵的第\(i\)行第\(j\)列元素是\(1\)，其余元素都是\(0\)，则称该方阵为\(n\)阶基础矩阵，记为\(E_{ij}\)。证明：如果\(A\)是\(n\)阶方阵满足\(AE_{ij}=E_{ij}A\)，那么\(a_{ii}=a_{jj}\)且当\(k\neq i\)时\(a_{ki}=0\)，当\(l\neq j\)时\(a_{jl}=0\)。
15.
16.
一个\(n\)阶方阵\(A\)的 迹定义为
\begin{equation*}
{\rm tr} (A)=a_{11}+a_{22}+\cdots +a_{nn}.
\end{equation*}
证明：对任意\(n\)阶方阵\(A,B\)，对任意常数\(k\)，有
-
\({\rm tr} (A+B)={\rm tr} (A)+{\rm tr} (B)\)；
-
\({\rm tr} (kA)=k{\rm tr} (A)\)；
-
\({\rm tr} (AB)={\rm tr} (BA)\)。
17.
18.
设 \(A=\begin{pmatrix}
a_{11}& a_{12}& a_{13}\\
a_{21}& a_{22}& a_{23}\\
a_{31}& a_{32}& a_{33}
\end{pmatrix},X=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}\)，求\(X^TAX\)。
19.
20.
21.
22.
23.
设\(A\)是\(m\times n\)实矩阵，\(B\)是\(n\times k\)实矩阵，且\(ABB^T={\bf 0}\)，证明：
\begin{equation*}
AB={\bf 0}.
\end{equation*}
24.
25.
设\(A\)，\(B\)都是数域\(\F\)上\(n\)阶方阵（\(n\geq 2\)）。如果\(A^2=B^2\)，是否可推出\(A=B\)或\(A=-B\)？若正确请证明，若不正确请举出一个反例。
26.
设\(A\)是数域\(\F\)上\(n\)阶方阵，
\begin{equation*}
f(x)=a_mx^m+\cdots+a_0\in\F[x],
\end{equation*}
把\(x\)用\(A\)代入，得
\begin{equation*}
f(A)=a_mA^m+\cdots+a_1A+a_0E_n,
\end{equation*}
称\(f(A)\)为矩阵\(A\)的多项式。设
\begin{equation*}
A=\begin{pmatrix}
0& 1& 0& \cdots & 0\\
0& 0& 1& \cdots & 0\\
\vdots& \vdots& \vdots& \ddots & \vdots\\
0& 0& 0& \cdots & 1\\
1& 0& 0& \cdots & 0\\
\end{pmatrix}
\end{equation*}
是\(n\)阶方阵，\(f(x)=a_nx^n+\cdots+a_0\)，求\(f(A)\)。
27.
设\(A\)是数域\(\F\)上\(n\)阶方阵，\(f(x),g(x)\in\F[x]\)，证明：
\begin{equation*}
f(A)g(A)=g(A)f(A).
\end{equation*}
28.
设\(A,B,C\)是数域\(\F\)上\(n\)阶方阵，\(f(x)\in\F[x]\)。 若\(AB=BC\)，证明：
29.
设\(A\)是\(n\)阶复矩阵，若\(\overline{A}^T=A\)，则称\(A\)是一个Hermite矩阵。若 \(\overline{A}^T=-A\)，则称\(A\)是一个斜Hermite矩阵。证明：任一复\(n\)阶矩阵均可唯一地表示成一个Hermite矩阵与一个斜Hermite矩阵之和。
挑战题.
30.
31.
记\(\F^{n\times n}\)为数域\(\F\)上所有\(n\)阶方阵构成的集合。若映射 \(\varphi:\F^{n\times n}\rightarrow\F\)满足：对任意\(A,B\in\F^{n\times n},c\in\F\)，有
-
\(\varphi (A+B)=\varphi(A)+\varphi(B)\)，
-
\(\varphi(cA)=c\varphi(A)\)，
-
\(\varphi(AB)=\varphi(BA)\)，
证明：存在\(a\in\F\)，使得\(\varphi(A)=a{\rm tr}(A),\forall A\in\F^{n\times n}\)。
