1.
给出标准内积空间性质的详细证明。
节 5.1 标准内积及其几何意义
建设中！
练习 练习
基础题.
2.
记
\begin{equation*}
u = \begin{pmatrix}
-1\\2
\end{pmatrix},\ v = \begin{pmatrix}
4\\6
\end{pmatrix},\ w = \begin{pmatrix}
3\\-1\\-5
\end{pmatrix},\ x = \begin{pmatrix}
6\\-2\\3
\end{pmatrix},
\end{equation*}
计算
-
\(u \cdot u\)，\(v \cdot u\)和\(\dfrac{v \cdot u}{u \cdot u}\)；
-
\(w \cdot w\)，\(x \cdot w\)和\(\dfrac{x \cdot w}{w \cdot w}\)；
-
\(\dfrac{1}{w \cdot w}w\)，\(\dfrac{1}{u \cdot u}u\)；
-
\(\left( \dfrac{u \cdot v}{v \cdot v}\right) v\)、\(\left( \dfrac{x \cdot w}{x \cdot x}\right) x\)；
-
\(\| w \|\)和\(\| x \|\)。
3.
将下列向量单位化：
\begin{equation*}
u = \begin{pmatrix}
-3\\4
\end{pmatrix},\ v = \begin{pmatrix}
8/3\\ 2
\end{pmatrix},\ w = \begin{pmatrix}
6\\4\\3
\end{pmatrix},\ x = \begin{pmatrix}
7/4\\1/2\\1
\end{pmatrix}.
\end{equation*}
4.
求下列每组向量间的距离和夹角：
-
\(x = \begin{pmatrix} 10\\-3 \end{pmatrix}\)和 \(y = \begin{pmatrix} -1\\-5 \end{pmatrix}\)；
-
\(u = \begin{pmatrix} 0\\-5\\2 \end{pmatrix}\)和 \(v = \begin{pmatrix} -4\\-1\\8 \end{pmatrix}\)。
提高题.
5.
利用标准内积证明\(2\)阶行列式的几何意义，即\(2\)阶行列式的绝对值等于其行（或列）向量组张成的平行四边形面积。
6.
平行四边形法则：设\(u,v\)都是标准内积空间\(\R^n\)中一对向量，则
\begin{equation*}
\|u+v\|^2+\|u-v\|^2 = 2\left(\|u\|^2 +\|v\|^2 \right).
\end{equation*}
7.
设\(A\in \R^{m\times n}\)、\(B \in \R^{m\times n}\)是两个同阶矩阵，证明不等式：
\begin{equation*}
\left({\rm tr}(AB^T)\right)^2\le {\rm tr}(AA^T){\rm tr}(BB^T).
\end{equation*}
8.
设\(\alpha \)、\(\beta \)和\(\gamma\)是标准内积空间\(\mathbb{R}^n\)中的向量，求证：
-
当\(\alpha\ne \beta\)时，\(d(\alpha,\beta) > 0\)；
-
\(d(\alpha,\beta)=d(\beta,\alpha) \)；
-
\(d(\alpha,\beta)\le d(\alpha,\gamma)+d(\gamma,\beta)\)。
