主要内容\(\newcommand{\Ima}{\rm Im }
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\)
节 5.1 标准内积及其几何意义
练习 练习
基础题.
1.
解答.
对任意\(\alpha=(a_1,\dots,a_n)^T,\beta=(b_1,\dots,b_n)^T,\gamma\in\mathbb{R}^n,c\in\mathbb{R}\)，
-
\(\alpha\cdot\beta=a_1b_1+\cdots+a_nb_n=b_1a_1+\cdots+b_na_n=\beta\cdot\alpha\)；
-
\((\alpha+\gamma)\cdot\beta=(\alpha+\gamma)^T\beta=\alpha^T\beta+\gamma^T\beta=\alpha\cdot\beta+\gamma\cdot\beta\)；
-
\((c\alpha)\cdot\beta=(c\alpha)^T\beta=c(\alpha^T\beta)=c(\alpha\cdot\beta)\)；
-
\(\alpha\cdot\alpha=a_1^2+\cdots+a_n^2\geq 0\)，且
\(\alpha\cdot\alpha=0\)当且仅当
\(a_1=\cdots=a_n=0\)，即
\(\alpha={\bf 0}\)。
2.
记
\begin{equation*}
u = \begin{pmatrix}
-1\\2
\end{pmatrix},\ v = \begin{pmatrix}
4\\6
\end{pmatrix},\ w = \begin{pmatrix}
3\\-1\\-5
\end{pmatrix},\ x = \begin{pmatrix}
6\\-2\\3
\end{pmatrix},
\end{equation*}
计算
-
\(u \cdot u\)，
\(v \cdot u\)和
\(\dfrac{v \cdot u}{u \cdot u}\)；
-
\(w \cdot w\)，
\(x \cdot w\)和
\(\dfrac{x \cdot w}{w \cdot w}\)；
-
\(\dfrac{1}{w \cdot w}w\)，
\(\dfrac{1}{u \cdot u}u\)；
-
\(\left( \dfrac{u \cdot v}{v \cdot v}\right) v\)、
\(\left( \dfrac{x \cdot w}{x \cdot x}\right) x\)；
-
解答.
-
\(u \cdot u=(-1)^2+2^2=5\)，
\(v \cdot u=4\times (-1)+6\times 2=8\)，
\(\dfrac{v \cdot u}{u \cdot u}=\frac{8}{5}\)；
-
\(w \cdot w=3^2+(-1)^2+(-5)^2=35\)，
\(x \cdot w=6\times 3+(-2)\times (-1)+3\times (-5)=5\)，
\(\dfrac{x \cdot w}{w \cdot w}=\frac{1}{7}\)；
-
\(\dfrac{1}{w \cdot w}w=\frac{1}{35}\begin{pmatrix}
3\\-1\\-5
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
\frac{3}{35}\\-\frac{1}{35}\\-\frac{1}{7}
\end{pmatrix}\)，
\(\dfrac{1}{u \cdot u}u=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
-1\\2
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
-\frac{1}{5}\\\frac{2}{5}
\end{pmatrix}\)；
-
\(\left( \dfrac{u \cdot v}{v \cdot v}\right) v=\frac{8}{4^2+6^2}\begin{pmatrix}
4\\6
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
\frac{8}{13}\\\frac{12}{13}
\end{pmatrix}\)，
\(\left( \dfrac{x \cdot w}{x \cdot x}\right) x=\frac{5}{6^2+(-2)^2+3^2}\begin{pmatrix}
6\\-2\\3
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
\frac{30}{49}\\-\frac{10}{49}\\\frac{15}{49}
\end{pmatrix}\)；
-
\(\| w \|=\sqrt{w\cdot w}=\sqrt{3^2+(-1)^2+(-5)^2}=\sqrt{35}\)，
\(\| x \|=\sqrt{x\cdot x}=\sqrt{6^2+(-2)^2+3^2}=7\)。
3.
将下列向量单位化：
\begin{equation*}
u = \begin{pmatrix}
-3\\4
\end{pmatrix},\ v = \begin{pmatrix}
\frac{8}{3}\\ 2
\end{pmatrix},\ w = \begin{pmatrix}
6\\4\\3
\end{pmatrix},\ x = \begin{pmatrix}
\frac{7}{4}\\\frac{1}{2}\\1
\end{pmatrix}.
\end{equation*}
解答.
\(\frac{u}{\|u\|}=\frac{1}{\sqrt{(-3)^2+4^2}}\begin{pmatrix}
-3\\4
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
-\frac{3}{5}\\\frac{4}{5}
\end{pmatrix}\)，
\(\frac{v}{\|v\|} = \frac{1}{\sqrt{(\frac{8}{3})^2+2^2}}\begin{pmatrix}
\frac{8}{3}\\ 2
\end{pmatrix}=v = \begin{pmatrix}
\frac{4}{5}\\ \frac{3}{5}
\end{pmatrix}\)，
\(\frac{w}{\|w\|} =\frac{1}{\sqrt{6^2+4^2+3^2}} \begin{pmatrix}
6\\4\\3
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\frac{6\sqrt{61}}{61}\\\frac{4\sqrt{61}}{61}\\\frac{3\sqrt{61}}{61}
\end{pmatrix}\)，
\(\frac{x}{\|x\|} =\frac{1}{\sqrt{(\frac{7}{4})^2+(\frac{1}{2})^2+1^2}} \begin{pmatrix}
\frac{7}{4}\\\frac{1}{2}\\1
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
\frac{7\sqrt{69}}{69}\\\frac{2\sqrt{69}}{69}\\\frac{4\sqrt{69}}{69}
\end{pmatrix}\)。
4.
求下列每组向量间的距离和夹角：
-
\(x = \begin{pmatrix}
10\\-3
\end{pmatrix}\)和
\(y = \begin{pmatrix}
-1\\-5
\end{pmatrix}\)；
-
\(u = \begin{pmatrix}
0\\-5\\2
\end{pmatrix}\)和
\(v = \begin{pmatrix}
-4\\-1\\8
\end{pmatrix}\)。
解答.
-
\(d(x,y)=\|x-y\|=\sqrt{(10-(-1))^2+(-3-(-5))^2}=5\sqrt{5}\)
\(\theta = \arccos \frac{x \cdot y}{\|x\| \|y\|} =\arccos\frac{5}{\sqrt{2834}}\)；
-
\(d(u,v)=\|u-v\|=\sqrt{4^2+(-4)^2+(-6)^2}=2\sqrt{17}\)
\(\theta = \arccos \frac{u \cdot v}{\|u\| \|v\|} = \arccos\frac{7\sqrt{29}}{87}\)。
提高题.
5.
利用标准内积证明
\(2\)阶行列式的几何意义，即
\(2\)阶行列式的绝对值等于其行（或列）向量组张成的平行四边形面积。
解答.
设平行四边形\(OACB\)邻边\(\overrightarrow{OA}=(a_1,a_2)^T\)与\(\overrightarrow{OB}=(b_1,b_2)^T\)的夹角为\(\theta\)， 则其面积
\begin{equation*}
\begin{array}{ll}
S & = \|\overrightarrow{OA}\|\|\overrightarrow{OB}\|\sin\theta\\
& = \|\overrightarrow{OA}\|\|\overrightarrow{OB}\|\sqrt{1-(\cos\theta)^2}\\
& = \sqrt{a_1^2+a_2^2}\sqrt{b_1^2+b_2^2}\sqrt{1-(\frac{a_1b_1+a_2b_2}{\sqrt{a_1^2+a_2^2}\sqrt{b_1^2+b_2^2}})^2}\\
& = \sqrt{a_1^2b_2^2+a_2^2b_1^2-2a_1b_1a_2b_2}\\
& =\left|\det\begin{pmatrix}a_1&b_1\\a_2&b_2\end{pmatrix}\right|.
\end{array}
\end{equation*}
6.
平行四边形法则：设\(u,v\)都是标准内积空间\(\R^n\)中一对向量，则
\begin{equation*}
\|u+v\|^2+\|u-v\|^2 = 2\left(\|u\|^2 +\|v\|^2 \right).
\end{equation*}
解答.
\begin{equation*}
\begin{array}{ll}
& \|u+v\|^2+\|u-v\|^2\\
= & (u+v) \cdot (u+v) + (u-v) \cdot (u-v)\\
= & \|u\|^2+\|v\|^2+2u\cdot v+\|u\|^2+\|v\|^2-2u\cdot v\\
= & 2\left(\|u\|^2 +\|v\|^2 \right).
\end{array}
\end{equation*}
7.
设\(A\in \R^{m\times n}\)、\(B \in \R^{m\times n}\)是两个同阶矩阵，证明不等式：
\begin{equation*}
\left({\rm tr}(AB^T)\right)^2\le {\rm tr}(AA^T){\rm tr}(BB^T).
\end{equation*}
解答.
设\(A,B\)的列向量分别是\(\alpha_1,\dots,\alpha_n\)、\(\beta_1,\dots,\beta_n\)，其中\(\alpha_i,\beta_i\in\R^m\)。令
\begin{equation*}
\alpha=\begin{pmatrix} \alpha_1 \\ \vdots \\ \alpha_n\end{pmatrix},\ \beta=\begin{pmatrix} \beta_1 \\ \vdots \\ \beta_n\end{pmatrix},
\end{equation*}
则\(\alpha,\beta\in\R^{mn}\)，且
\begin{equation*}
\begin{array}{ll}
\beta\cdot\alpha & = \beta^T\alpha\\
& = \beta_1^T\alpha_1+\cdots+\beta_n^T\alpha_n\\
& = (\sum\limits_{i=1}^mb_{i1}a_{i1})+\cdots+(\sum\limits_{i=1}^mb_{in}a_{in})\\
& = \sum\limits_{i=1}^m\sum\limits_{j=1}^n a_{ij}b_{ij}\\
& = {\rm tr}(AB^T).
\end{array}
\end{equation*}
同理\(\alpha\cdot\alpha = {\rm tr}(AA^T), \beta\cdot\beta = {\rm tr}(BB^T)\)。根据Cauchy不等式， \((\alpha\cdot\beta)^2\leq\|\alpha\|^2\|\beta\|^2\)，因此
\begin{equation*}
\left({\rm tr}(AB^T)\right)^2\le {\rm tr}(AA^T){\rm tr}(BB^T).
\end{equation*}
8.
设\(\alpha \)、\(\beta \)和\(\gamma\)是标准内积空间\(\mathbb{R}^n\)中的向量，求证：
-
当
\(\alpha\ne \beta\)时，
\(d(\alpha,\beta) > 0\)；
-
\(d(\alpha,\beta)=d(\beta,\alpha) \)；
-
\(d(\alpha,\beta)\le d(\alpha,\gamma)+d(\gamma,\beta)\)。
解答.
-
当\(\alpha\ne \beta\)时，\(\alpha-\beta\neq 0\)，故
\begin{equation*}
d(\alpha,\beta)=\sqrt{\left(\alpha- \beta,\alpha- \beta\right)} > 0;
\end{equation*}
-
\(d(\alpha,\beta)=\|\alpha- \beta\|=\|- (\alpha- \beta)\|=\|\beta-\alpha\|=d(\beta,\alpha)\)；
-
根据三角不等式，
\begin{equation*}
\begin{array}{ll}
d(\alpha,\beta) & =\|\alpha- \beta\|\\
& =\|(\alpha- \gamma)+(\gamma- \beta)\|\\
& \leq\|\alpha- \gamma\|+\|\gamma- \beta\|\\
& =d(\alpha,\gamma)+d(\gamma,\beta).
\end{array}
\end{equation*}
