1.
用矩阵初等变换的方法求二次型
\begin{equation*}
f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+x_2^2+x_3^2-2x_1x_2+2x_1x_3+6x_2x_3
\end{equation*}
的标准形，并写出所作的非退化线性替换。
节 9.2 合同变换和惯性定理
建设中！
练习 练习
基础题.
2.
设\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+x_2^2+x_3^2-2x_1x_2+2x_1x_3+6x_2x_3\)，把它化为规范形，并写出所作的非退化线性替换。
3.
求实二次型
\begin{equation*}
f(x_1,\ldots,x_{2n})=x_1x_2+x_3x_4+\cdots+x_{2n-1}x_{2n}
\end{equation*}
的正、负惯性指数及符号差。
4.
设\(f(x_1,x_2,\ldots,x_n)=X^TAX\)是\(n\)元实二次型。若\(\mathbb{R}^n\)中存在列向量\(\alpha_1,\alpha_2\)，使得\(\alpha_1^TA \alpha_1>0,\ \alpha_2^TA \alpha_2<0\)，证明：存在\(0\neq \alpha_3\in\mathbb{R}^n\)，使得\(\alpha_3^TA \alpha_3=0\)。
5.
下列实二次型对应的矩阵中哪些是合同的？写出理由。
\begin{equation*}
\begin{array}{c}
f_1(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+4x_2^2+x_3^2+4x_1x_2-2x_1x_3,\\
f_2(y_1,y_2,y_3)=y_1^2+2y_2^2-y_3^2+4y_1y_2-2y_1y_3-4y_2y_3,\\
f_3(z_1,z_2,z_3)=-4z_1^2-z_2^2-z_3^2-4z_1z_2+4z_1z_3+18z_2z_3.
\end{array}
\end{equation*}
6.
\(n\)阶实对称矩阵组成的集合按合同关系进行分类，共有几个合同类？
提高题.
7.
8.
确定二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=ax_1x_2+bx_1x_3+cx_2x_3\)的秩和符号差。
9.
证明：一个\(n\)元实二次型可以分解成两个实系数的一次齐次多项式之积的充分必要条件是：它的秩等于1，或者它的秩等于2且符号差为0。
10.
设\(f(x_1,\ldots,x_n)\)是秩为\(n\)的实二次型，证明：若\(f(x_1,\ldots,x_n)\)的符号差为\(s\)，则存在\(\mathbb{R}^n\)的一个\(\frac{1}{2}(n-|s|)\)维子空间\(V\)，使得对任意\((a_1,\ldots,a_n)^T\in V\)，都有\(f(a_1,\ldots,a_n)=0\)。
挑战题.
11.
设实二次型
\begin{equation*}
f(x_1,\ldots,x_n)=z_1^2+\cdots+z_k^2-z_{k+1}^2-\cdots-z_{k+s}^2,
\end{equation*}
其中\(z_i=\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_j(1\le i\le k+s) \)。 证明\(f\) 的正惯性指数\(p\le k\)，负惯性指数\(q\le s\)。
12.
记\(p_M\)为实对称矩阵\(M\)的正惯性指数，证明：对任意\(n\)阶实对称矩阵\(A,B\)，
\begin{equation*}
p_{A+B}\leq p_A+p_B.
\end{equation*}
13.
设\(A\)是\(n\)阶实可逆矩阵，求
\begin{equation*}
B=\begin{pmatrix}
0&A\\A^T&0
\end{pmatrix}
\end{equation*}
的正负惯性指数。
14. 第十届大学生数学竞赛初赛.
设\(A=(a_{ij})\)为\(n\)阶实方阵，满足
-
\(a_{11}=a_{22}=\cdots=a_{nn}=a >0\)；
求二次型\(f(X)=X^TAX\)的规范形。
