节 9.3 正定二次型和正定矩阵
建设中！
练习 练习
基础题.
2.
3.
判断下列二次型是否正定：
-
\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+2x_1x_2-4x_2x_3\)；
-
\(f(x_1,x_2,x_3)=2x_1x_2+4x_1x_3+6x_2x_3\)；
-
\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_1x_2-2x_1x_3+2x_2^2-6x_2x_3+8x_3^2\)。
4.
当且仅当\(t\)取何值时，下列二次型是正定的：
-
\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+x_2^2+5x_3^2-2tx_1x_2+2x_1x_3-2x_2x_3\)；
-
\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+x_2^2+x_3^2+2t(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)\)。
5.
当且仅当\(t\)取何值时，二次型
\begin{equation*}
f(x_1,x_2,x_3)=-x_1^2-x_2^2-5x_3^2+2tx_1x_2-2x_1x_3+4x_2x_3
\end{equation*}
是负定二次型。
提高题.
6.
设\(A=(a_{ij})\)是\(n\)阶正定矩阵，证明：
-
\(a_{ii} >0,\ i=1,\ldots,n\)；
-
\(2|a_{ij}|< a_{ii}+a_{jj},\ i\neq j\)；
-
\(A\)的所有元素中，绝对值最大的元素一定在主对角线上。
7.
8.
设\(A=\left(a_{ij}\right)\)是\(n\times m\)实矩阵，
\begin{equation*}
f(x_1,\ldots ,x_m)=\sum\limits_{i=1}^n(a_{i1}x_1+a_{i2}x_2+\cdots+a_{im}x_m).
\end{equation*}
证明：\(f(x_1,\ldots,x_m)\)正定的充分必要条件是\(A\)为列满秩矩阵。
9.
设\(A=\begin{pmatrix}
B&C\\ C^T&D
\end{pmatrix}\)是正定矩阵，其中\(B\)是\(n\)阶矩阵，\(D\)是\(m\)阶矩阵，\(C\)是\(n\times m\)矩阵，证明：\(B,\ D\)以及\(D-C^TB^{-1}C\)均是正定矩阵。
10.
设\(A=(a_{ij})\)是\(n\)阶正定矩阵，证明
-
\(\det A\leq a_{nn}A\begin{bmatrix} 1 & 2 & \cdots & n-1\\ 1 & 2 & \cdots & n-1 \end{bmatrix}\)；
-
\(\det A\leq a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}\)。
11.
设\(P=(p_{ij})\)是\(n\)阶可逆矩阵，证明：
\begin{equation*}
(\det P)^2\leq \prod\limits_{j=1}^n (p_{1j}^2+p_{2j}^2+\cdots +p_{nj}^2).
\end{equation*}
12.
13.
设\(V\)是\(n\)维欧氏空间，证明：对任意一个\(n\)阶正定矩阵\(A\)，都存在\(V\)的一组基\(\xi_1,\ldots,\xi_n\)，使得\(\xi_1,\ldots,\xi_n\)的度量矩阵为\(A\)。
14.
设
\begin{equation*}
f(x_1,\ldots ,x_n)=n\sum\limits_{i=1}^nx_i^2-\left(\sum\limits_{i=1}^n x_i\right)^2.
\end{equation*}
证明：\(f(x_1,\ldots ,x_n)\)是半正定二次型。
15.
16.
设\(A=(a_{ij})\)是\(n\)阶半正定矩阵，令
\begin{equation*}
A_k=\begin{pmatrix}
a_{11}& \cdots & a_{1k}\\
\vdots & & \vdots\\
a_{k1} & \cdots & a_{kk}
\end{pmatrix},
\end{equation*}
证明：若\(\det A_k\neq 0\)，则\(A_k\)是正定矩阵。
17.
挑战题.
18. 矩阵平方根.
19. 极分解.
20. 第四届全国大学生数学竞赛初赛.
设\(A,B,C\)是\(n\)阶正定矩阵，
\begin{equation*}
P(t)=At^2+Bt+C,\ f(t)=\det P(t),
\end{equation*}
其中\(t\)为未定元。证明：若\(\lambda\)是\(f(t)\)的根，则\(Re(\lambda)< 0\)，这里\(Re(\lambda)\)表示\(\lambda\)的实部。
