节 1.4 标准分解式
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练习 练习
基础题.
2.
设\(p(x)\in\F[x]\)且\(\deg p(x)>0\)。证明：如果对任意的\(f(x)\in\F[x]\)，有\(p(x)| f(x)\)或\(\left(p(x),f(x)\right)=1\)，那么\(p(x)\)是数域\(\F\)上的不可约多项式。
3.
设\(p(x)\in\mathbb{F}[x]\)且\(\deg p(x)>0\)。证明：如果对任意的\(f(x),g(x)\in\mathbb{F}[x]\)，由\(p(x)\left|f(x)g(x)\right.\)可推出\(p(x)\left|f(x)\right.\)或\(p(x)\left|g(x)\right.\)，那么\(p(x)\)是数域\(\mathbb{F}\)上的不可约多项式。
4.
5.
设\(f(x),g(x)\)是\(\mathbb{F}[x]\)中次数大于0的多项式，\(m\in\mathbb{Z}^+\)，试用标准分解式证明：
\begin{equation*}
\left(f^m(x),g^m(x)\right)=\left(f(x),g(x)\right)^m.
\end{equation*}
提高题.
6.
设\(p(x)\in\F[x]\)，\(f(x)=p(ax+b)\)，其中\(a,b\in\F\)且\(a\neq 0\)。证明：\(p(x)\)在\(\F\)上不可约的充分必要条件是\(f(x)\)在\(\F\)上不可约。
7.
设\(f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_1x+a_0\)是数域\(\F\)上不可约\(n\)次多项式，且\(a_0\neq 0\)。证明：\(\widetilde{f}(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots +a_{n-1}x+a_n\)也是\(\F\)上不可约多项式。
8.
设\(f(x)\in\mathbb{F}[x]\)且\(\deg f(x)>0\)，证明下列命题等价：
-
\(\forall g(x)\in\mathbb{F}[x]\)，有\(\left(f(x),g(x)\right)=1\)或者存在\(m\in\mathbb{Z}^+\)使得\(f(x)| g^m(x)\)；
-
在\(\mathbb{F}[x]\)中，从\(f(x)| g(x)h(x)\)可以推出\(f(x)| g(x)\)或者存在\(m\in\mathbb{Z}^+\)使得\(f(x)| h^m(x)\)。
9.
设\(f_1(x),f_2(x),g_1(x),g_2(x)\in\mathbb{F}[x]\)，满足\(\left(f_i(x),g_j(x)\right)=1,\forall i,j=1,2\)，证明：
\begin{equation*}
\left(f_1(x)g_1(x),f_2(x)g_2(x)\right)=\left(f_1(x),f_2(x)\right)\left(g_1(x),g_2(x)\right).
\end{equation*}
10.
设 \(f(x),g(x)\in\F[x]\)且\(f(x)g(x)\neq 0\)。证明：存在自然数\(N\)，使得当\(n_1,n_2>N\)时，有
\begin{equation*}
(f^{n_1}(x),g(x))=(f^{n_2}(x),g(x)).
\end{equation*}
