定义 1.4.1.
设\(f(x)\in\mathbb{F}[x]\)， 且\({\rm deg\, } f(x)\ge 1\)。若\(f(x)\) 能表为两个次数较小的多项式之积，则称 \(f(x)\)是\(\mathbb{F}\)上的可约多项式， 否则称为\(\mathbb{F}\)上的不可约多项式。
节 1.4 标准分解式
命题 1.4.2.
设\(f(x)\)，\(p(x)\)是\(\mathbb{F}\)上多项式，且\(p(x)\)是\(\mathbb{F}\)上不可约多项式，则
\begin{equation*}
\text{ 或者}(p(x), f(x)) = 1\text{ 或者}p(x)|f(x)\text{。}
\end{equation*}
命题 1.4.3.
设\(f(x),g(x),p(x)\)是\(\mathbb{F}\)上多项式，\(p(x)\)是\(\mathbb{F}\)上不可约多项式，且\(p(x)| f(x) g(x)\)，则
\begin{equation*}
\text{ 或者 }p(x)| f(x)\text{ 或者 }p(x)|g(x)\text{。}
\end{equation*}
推论 1.4.4.
设\(f_1(x),\ldots, f_m(x)\in \mathbb{F}[x]\)，且 \(p(x)\)是\(\mathbb{F}\)上不可约多项式，若
\begin{equation*}
p(x)| f_1(x)\cdots f_m(x),
\end{equation*}
则存在\(i\)，\(1\le i\le m\)，使得
\begin{equation*}
p(x)| f_i (x).
\end{equation*}
定理 1.4.5. 多项式唯一分解定理.
设\(f(x)\in\mathbb{F}[x]\)，且\({\rm deg\, } f(x)\ge1\)，则
-
\(f(x)\)可以分解为不可约多项式的乘积，即\(f(x) = p_1(x)\cdots p_s(x)\)，其中\(p_i(x)\)是\(\mathbb{F}\)上不可约多项式\((i =1, \ldots, s)\)；
-
若\(f(x) = p_1(x)\cdots p_s (x) = q_1(x) \cdots q_t (x)\)，其中\(p_i (x)\)，\(q_j (x)\)在\(\mathbb{F}\)上不可约\((i = 1, \ldots, s; j = 1,\ldots, t)\)，则必有\(s = t\)，且经过适当调换因式顺序后，\(p_i (x)\)与\(q_i (x)\)相伴\((i = 1,\ldots, s)\)。
命题 1.4.6.
设
\begin{equation*}
f(x)= p_1^{a_1}(x)p_2^{a_2}(x)\cdots p_m^{a_m}(x),\quad g(x)= p_1^{b_1}(x)p_2^{b_2}(x)\cdots p_m^{b_m}(x),
\end{equation*}
其中\(a_i\ge 0\)，\(b_i\ge 0\)，\(a_i+b_i>0\) \((i=1,2,\ldots,m)\)，\(p_i(x)\)是首一的两两互素不可约多项式，则
-
\(f(x)g(x)=p_1^{c_1}(x)p_2^{c_2}(x)\cdots p_m^{c_m}(x)\)，\(c_i=a_i+b_i\)，\((i=1,\ldots,m)\)；
-
\(f(x)|g(x)\Leftrightarrow a_i\le b_i (i=1,2,\ldots,m)\)；
-
\((f(x),g(x))=p_1^{d_1}(x)p_2^{d_2}(x)\cdots p_m^{d_m}(x)\)，\(d_i=\min\{a_i,b_i\}\)，\((i=1,2,\ldots,m)\)；
-
\([f(x),g(x)]=p_1^{e_1}(x)p_2^{e_2}(x)\cdots p_m^{e_m}(x)\)，\(e_i=\max\{a_i,b_i\}\)，\((i=1,2,\ldots,m)\)；
-
\([f(x),g(x)](f(x),g(x))=f(x)g(x)\)。
练习 练习
基础题.
1.
设\(p(x),f(x)\in\F[x],m\in\Z^+\)。证明：若\(p(x)\)在\(\F\)上不可约且\(p(x)| f^m(x)\)，则\(p(x)| f(x)\)。
2.
设\(p(x)\in\F[x]\)且\(\deg p(x)>0\)。证明：如果对任意的\(f(x)\in\F[x]\)，有\(p(x)| f(x)\)或\(\left(p(x),f(x)\right)=1\)，那么\(p(x)\)是数域\(\F\)上的不可约多项式。
3.
设\(p(x)\in\mathbb{F}[x]\)且\(\deg p(x)>0\)。证明：如果对任意的\(f(x),g(x)\in\mathbb{F}[x]\)，由\(p(x)\left|f(x)g(x)\right.\)可推出\(p(x)\left|f(x)\right.\)或\(p(x)\left|g(x)\right.\)，那么\(p(x)\)是数域\(\mathbb{F}\)上的不可约多项式。
4.
试分别在复数域、实数域上写出下列多项式的标准分解式。
-
\(f(x)=x^3-1\)；
-
\(g(x)=x^4-1\)。
5.
设\(f(x),g(x)\)是\(\mathbb{F}[x]\)中次数大于0的多项式，\(m\in\mathbb{Z}^+\)，试用标准分解式证明：
\begin{equation*}
\left(f^m(x),g^m(x)\right)=\left(f(x),g(x)\right)^m.
\end{equation*}
提高题.
6.
设\(p(x)\in\F[x]\)，\(f(x)=p(ax+b)\)，其中\(a,b\in\F\)且\(a\neq 0\)。证明：\(p(x)\)在\(\F\)上不可约的充分必要条件是\(f(x)\)在\(\F\)上不可约。
7.
设\(f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_1x+a_0\)是数域\(\F\)上不可约\(n\)次多项式，且\(a_0\neq 0\)。证明：\(\widetilde{f}(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots +a_{n-1}x+a_n\)也是\(\F\)上不可约多项式。
8.
设\(f(x)\in\mathbb{F}[x]\)且\(\deg f(x)>0\)，证明下列命题等价：
-
\(f(x)\)与数域\(\mathbb{F}\)上某个不可约多项式的正整数次幂相伴；
-
\(\forall g(x)\in\mathbb{F}[x]\)，有\(\left(f(x),g(x)\right)=1\)或者存在\(m\in\mathbb{Z}^+\)使得\(f(x)| g^m(x)\)；
-
在\(\mathbb{F}[x]\)中，从\(f(x)| g(x)h(x)\)可以推出\(f(x)| g(x)\)或者存在\(m\in\mathbb{Z}^+\)使得\(f(x)| h^m(x)\)。
9.
设\(f_1(x),f_2(x),g_1(x),g_2(x)\in\mathbb{F}[x]\)，满足
\begin{equation*}
\left(f_i(x),g_j(x)\right)=1,\forall i,j=1,2,
\end{equation*}
证明：
\begin{equation*}
\left(f_1(x)g_1(x),f_2(x)g_2(x)\right)=\left(f_1(x),f_2(x)\right)\left(g_1(x),g_2(x)\right).
\end{equation*}
10.
设 \(f(x),g(x)\in\F[x]\)且\(f(x)g(x)\neq 0\)。证明：存在自然数\(N\)，使得当\(n_1,n_2>N\)时，有
\begin{equation*}
(f^{n_1}(x),g(x))=(f^{n_2}(x),g(x)).
\end{equation*}
