1.
设 \(a,b,c\)是数域 \(\F\)上互不相同的常数，解线性方程组
\begin{equation*}
\left\{\begin{array}{ccl}
x_1+ax_2+a^2x_3=a^3,\\
x_1+bx_2+b^2x_3=b^3,\\
x_1+cx_2+c^2x_3=c^3.
\end{array}\right.
\end{equation*}
节 3.4 Cramer法则
建设中！
练习 练习
基础题.
2.
讨论当 \(a,b,c\)满足什么条件时，线性方程组
\begin{equation*}
\left\{\begin{array}{ccl}
ax_1-2x_2-x_3&=&1,\\
2x_1+x_2+x_3&=&b,\\
10x_1+5x_2+4x_3&=&c,
\end{array}\right.
\end{equation*}
有唯一解、无解、有无穷多解？有解时求出其解。
提高题.
3.
4.
设 \(a_1,\ldots,a_n\)是数域 \(\F\)上 \(n\)个不同的数，则对于任意 \(b_1,\ldots ,b_n\in\F\)，存在唯一的次数小于 \(n\) 的多项式
\begin{equation*}
L(x)=\sum\limits_{i=1}^n b_i\prod\limits_{j\neq i}\frac{x-a_j}{a_i-a_j},
\end{equation*}
满足对于任意的 \(i(1\leq i\leq n)\) ，都有
\begin{equation*}
L(a_i)=b_i.
\end{equation*}
提示.
要证明插值多项式的存在、唯一性，只需证明存在唯一的 \(c_0,\ldots ,c_{n-1}\)，使得
\begin{equation*}
\left\{\begin{array}{c}
L(a_1)=c_0+c_1a_1+c_2a_1^2+\cdots+c_{n-1}a_1^{n-1}=b_1,\\
L(a_2)=c_0+c_1a_2+c_2a_2^2+\cdots+c_{n-1}a_2^{n-1}=b_2,\\
\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\\
L(a_n)=c_0+c_1a_n+c_2a_n^2+\cdots+c_{n-1}a_n^{n-1}=b_n,
\end{array}\right.
\end{equation*}
即证线性方程组
\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{c}
x_0+a_1x_1+a_1^2x_2+\cdots+a_1^{n-1}x_{n-1}=b_1,\\
x_0+a_2x_1+a_2^2x_2+\cdots+a_2^{n-1}x_{n-1}=b_2,\\
\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\\
x_0+a_nx_1+a_n^2x_2+\cdots+a_n^{n-1}x_{n-1}=b_n,
\end{array}\right.
\end{equation*}
有且只有唯一解。
5.
设\((x_1,y_1)\)和\((x_2,y_2)\)是坐标平面上两个不同点的坐标，证明：由这两个点确定的直线方程为
\begin{equation*}
\begin{vmatrix}
x & y & 1\\
x_1 & y_1 & 1\\
x_2 & y_2 & 1\\
\end{vmatrix} = 0.
\end{equation*}
结合行列式的几何意义给出上述公式的几何解释。
