可对角化

设\(\alpha =(a_1,a_2,\cdots ,a_n)^T, \beta =(b_1,b_2,\cdots ,b_n)^T\in\mathbb{R}^n\)，且\(\alpha\neq 0, \beta\neq 0, n>1\)。令\(A=\beta \alpha^T\)。试问：\(A\)是否可对角化？如果\(A\)可对角化，求出一个可逆矩阵\(P\)，使得\(P^{-1}AP\)为对角阵，并且写出这个对角矩阵。

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5.

设\(A=(a_{ij})\)是数域\(\mathbb{F}\)上的\(n\)阶上三角矩阵，证明：

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若\(a_{11},a_{22},\cdots ,a_{nn}\)互不相等，则\(A\)可对角化；
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若\(a_{11}=a_{22}=\cdots =a_{nn}\)，且至少存在一个\(a_{kl}\neq 0 (k<l)\)，则\(A\)不可对角化。
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6.

若\(n\)阶方阵\(A\)满足\(A^2=A\)，证明： (1)\(A\)可对角化；(2)\(r(A)= tr (A)\)。

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7.

设\(A\)是数域\(\mathbb{F}\)上秩为\(r\)的\(n\)阶方阵，

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证明：\(A^2=A\)的充分必要条件是存在\(r\times n\)行满秩矩阵\(B\)及\(n\times r\)列满秩矩阵 \(C\)，使得\(A=CB\)且\(E_r=BC\)；
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当\(A^2=A\)时，证明：\(\det (2E-A)=2^{n-r},\ \det (A+E)=2^r\)。
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8.

若实矩阵\(A\)满足\(A^2-A+2E=0\)，证明：\(A\)在实数域上不可对角化。

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9.

设数域\(\mathbb{F}\)上\(n\)阶方阵\(A,\ B\)满足\(AB=BA\)，且\(A\)有\(n\)个不同的特征值，证明：\(B\)可对角化。

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10.

设\(\varphi\)是数域\(\mathbb{F}\)上\(n\)维线性空间\(V\)的线性变换，证明下列命题是等价的：

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\(\varphi\)可对角化；
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\(V=V_{\lambda_1}\oplus V_{\lambda_2}\oplus\cdots\oplus V_{\lambda_t}\)，这里\(\lambda_1,\lambda_2,\cdots ,\lambda_t\)是\(\varphi\)的全部互异特征值；
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\(\sum\limits_{i=1}^t\dim V_{\lambda_i}=n\)，这里\(\lambda_1,\lambda_2,\cdots ,\lambda_t\)是\(\varphi\)的全部互异特征值。
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