主要内容\(\newcommand{\Ima}{\rm Im }
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\)
节 7.9 Jordan标准型与空间分解
练习 练习
基础题.
1.
设\(\varphi\)是\(\mathbb{C}\)上\(4\)维线性空间\(V\)的线性变换，\(\xi_1,\xi_2,\xi_3,\xi_4\)是\(V\)的一个基，使得
\begin{equation*}
\varphi(\xi_1,\xi_2,\xi_3,\xi_4)=(\xi_1,\xi_2,\xi_3,\xi_4)\begin{pmatrix}
1&&&\\
1&1&&\\
&&1&\\
&&&2
\end{pmatrix}.
\end{equation*}
-
求
\(\varphi\)的属于特征值
\(1\)的特征子空间的一组基；
-
2.
已知线性变换
\(\varphi:\mathbb{F}^3\rightarrow\mathbb{F}^3,X\mapsto AX\)，其中
\(A=\begin{pmatrix}
-2&1&3\\
-2&1&2\\
-1&1&2
\end{pmatrix}\)，试求
\(\varphi\)的所有根子空间的基和维数。
提高题.
3.
设
\(\varphi\)是
\(\mathbb{C}\)上
\(n\)维线性空间
\(V\)的线性变换，
\(A\)是
\(\varphi\)在某组基下的矩阵。证明：
\(V\)的每个根子空间都是循环子空间的充要条件是
\(A\)的第
\(n\)个行列式因子
\(D_n(\lambda)\)和第
\(n\)个不变因子
\(g_n(\lambda)\)相等。
4.
设
\(\varphi\)是数域
\(\mathbb{F}\)上
\(n\)维线性空间
\(V\)的线性变换，证明下列叙述等价：
-
\(V\)只有平凡的
\(\varphi\)-不变子空间；
-
\(V\)中每个非零向量
\(\alpha\)都是循环向量，使
\(V\)成为循环空间，即总有
\(\alpha,\varphi (\alpha),\cdots ,\varphi^{n-1}(\alpha)\)线性无关；
-
\(\varphi\)的特征多项式在
\(\mathbb{F}\)上不可约。
