Jordan标准型与空间分解

节 7.9 Jordan标准型与空间分解

建设中！

练习练习

基础题.

1.

设\(\phi\)是\(\mathbb{C}\)上\(4\)维线性空间\(V\)的线性变换，\(\xi_1,\xi_2,\xi_3,\xi_4\)是\(V\)的一个基，使得

\begin{equation*} \phi(\xi_1,\xi_2,\xi_3,\xi_4)=(\xi_1,\xi_2,\xi_3,\xi_4)\begin{pmatrix} 1&&&\\ 1&1&&\\ &&1&\\ &&&2 \end{pmatrix}. \end{equation*}

求\(\phi\)的属于特征值\(1\)的特征子空间的一组基；
🔗

🔗
求属于特征值\(1\)的根子空间的维数。
🔗

🔗

🔗

解答.

因为\(\phi\)在基\(\xi_1,\xi_2,\xi_3,\xi_4\)下的矩阵为Jordan矩阵

\begin{equation*} \begin{pmatrix} J(1,2)&&\\ &J(1,1)&\\ &&J(2,1) \end{pmatrix}, \end{equation*}

所以\(\xi_2,\xi_3\)是\(\phi\)的属于特征值\(1\)的特征子空间的一组基。

🔗

🔗
因为属于特征值\(1\)的根子空间的维数等于特征值\(1\)的代数重数，所以属于特征值\(1\)的根子空间的维数为\(3\)。
🔗

🔗

🔗

2.

已知线性变换\(\phi:\mathbb{F}^3\rightarrow\mathbb{F}^3,X\mapsto AX\)，其中\(A=\begin{pmatrix} -2&1&3\\ -2&1&2\\ -1&1&2 \end{pmatrix}\)，试求\(\phi\)的所有根子空间的基和维数。

🔗

解答.

因为

\begin{equation*} \chi_A(\lambda)=\begin{vmatrix} \lambda+2&-1&-3\\ 2&\lambda-1&-2\\ 1&-1&\lambda-2 \end{vmatrix}=(\lambda+1)(\lambda-1)^2, \end{equation*}

所以\(A\)的特征值为\(\lambda_1=-1,\lambda_2=\lambda_3=1\)。

🔗

特征值\(\lambda_1=-1\)的代数重数是\(1\)，所以它在\(A\)的Jordan标准形的对角线上只出现一次。

🔗

对于特征值\(\lambda_2=\lambda_3=1\)，由于\(r(E-A)=2\)，所以\(A\)的Jordan标准形中属于\(1\)的Jordan块有\(3-r(E-A)=1\)块。因此\(A\)的Jordan标准形为

\begin{equation*} J=\begin{pmatrix} -1&0&0\\0&1&0\\0&1&1 \end{pmatrix}. \end{equation*}

从而存在可逆矩阵\(P\)，使得\(P^{-1}AP=J\)，即\(AP=PJ\)。设\(P=(X_1,X_2,X_3)\)，则

\begin{equation*} A(X_1,X_2,X_3)=(X_1,X_2,X_3)\begin{pmatrix} -1&0&0\\0&1&0\\0&1&1 \end{pmatrix}, \end{equation*}

即\((AX_1,AX_2,AX_3)=(-X_1,X_2+X_3,X_3)\)。于是，

\begin{equation*} (A+E)X_1=0,\ (A-E)X_2=X_3,\ (A-E)X_3=0. \end{equation*}

解齐次线性方程组\((A+E)X=0\)得

\begin{equation*} X_1=(1,1,0)^T. \end{equation*}

解线性方程组\((A-E)X=0\)得

\begin{equation*} X_3=(1,0,1)^T. \end{equation*}

解线性方程组\((A-E)X=X_3\)得特解

\begin{equation*} X_2=(0,1,0)^T. \end{equation*}

取

\begin{equation*} P=(X_1,X_2,X_3)=\begin{pmatrix} 1&0&1\\ 1&1&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix}, \end{equation*}

则\(P\)可逆且\(P^{-1}AP=J\)。于是\(\phi\)在基\(X_1,X_2,X_3\)下的矩阵为

\begin{equation*} J=\begin{pmatrix} -1&0&0\\0&1&0\\0&1&1 \end{pmatrix}. \end{equation*}

因此，\((X_1)\)为根子空间\(R(-1)\)的一个基，\({\rm dim}R(-1)=1\)；\((X_2,X_3)\)是根子空间\(R(1)\)的一个基，\({\rm dim}R(1)=2\)。

🔗

提高题.

🔗

3.

设\(\phi\)是\(\mathbb{C}\)上\(n\)维线性空间\(V\)的线性变换，\(A\)是\(\phi\)在某组基下的矩阵。证明：\(V\)的每个根子空间都是循环子空间的充要条件是\(A\)的第\(n\)个行列式因子\(D_n(\lambda)\)和第\(n\)个不变因子\(g_n(\lambda)\)相等。

🔗

解答.

设\(\lambda_1,\dots ,\lambda_t\)是\(A\)的所有互异特征值，由空间第一、第二分解定理知：

\begin{equation*} V=R(\lambda_1)\oplus \dots \oplus R(\lambda_t), \end{equation*}

其中\(R(\lambda_i)\)是\(\phi\)属于特征值\(\lambda_i\)的根子空间，且

\begin{equation*} R(\lambda_i)=\bigoplus\limits_{j=1}^{s_i} V(\lambda_i,e_{ij}), \end{equation*}

其中\(V(\lambda_i,e_{ij})\)是\(\phi-\lambda_i {\rm id}_V\)的循环子空间。

🔗

必要性：由于\(V\)的每个根子空间都是循环子空间，所以对任意\(1\leq i\leq t\)，都有\(s_i=1\)，即每个特征值\(\lambda_i\)对应的Jordan块只有一块。故\(A\)的初等因子组为

\begin{equation*} (\lambda-\lambda_1)^{e_{11}},(\lambda-\lambda_2)^{e_{21}},\ldots,(\lambda-\lambda_t)^{e_{t1}}. \end{equation*}

因此\(A\)的不变因子为

\begin{equation*} g_1(\lambda)=\cdots=g_{n-1}(\lambda)=1,g_n(\lambda)=\prod\limits_{i=1}^{t}(\lambda-\lambda_i)^{e_{i1}}, \end{equation*}

\(A\)的行列式因子为

\begin{equation*} D_1(\lambda)=\cdots=D_{n-1}(\lambda)=1,D_n(\lambda)=\prod\limits_{i=1}^{t}(\lambda-\lambda_i)^{e_{i1}}. \end{equation*}

从而\(D_n(\lambda)=g_n(\lambda)\)。

🔗

充分性：因为\(D_n(\lambda)=g_n(\lambda)\)且\(D_n(\lambda)=\prod\limits_{i=1}^ng_i(\lambda)\)，所以

\begin{equation*} g_1(\lambda)=\dots=g_{n-1}(\lambda)=1. \end{equation*}

假设

\begin{equation*} g_n(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)^{n_{1}}\cdots(\lambda-\lambda_t)^{n_{t}}, \end{equation*}

其中\(\lambda_1,\dots ,\lambda_t\)两两不同，则\(A\)的初等因子组为

\begin{equation*} (\lambda-\lambda_1)^{n_{1}},\dots ,(\lambda-\lambda_t)^{n_{t}}. \end{equation*}

因此每个特征值\(\lambda_i\)对应的Jordan块只有一块，即\(s_i=1\)。故\(V\)的每个根子空间都是循环子空间。

🔗

4.

设\(\phi\)是数域\(\mathbb{F}\)上\(n\)维线性空间\(V\)的线性变换，证明下列叙述等价：

\(V\)只有平凡的\(\phi\)-不变子空间；
🔗

🔗
\(V\)中每个非零向量\(\alpha\)都是循环向量，使\(V\)成为循环空间，即总有\(\alpha,\phi (\alpha),\cdots ,\phi^{n-1}(\alpha)\)线性无关；
🔗

🔗
\(\phi\)的特征多项式在\(\mathbb{F}\)上不可约。
🔗

🔗

🔗

解答.

(a) \(\Rightarrow\) (b)：任取\(V\)中非零向量\(\alpha\)，则循环子空间

\begin{equation*} \langle\alpha,\phi(\alpha),\cdots ,\phi^{n-1}(\alpha)\rangle \end{equation*}

是非零的\(\phi\)-不变子空间。由于\(V\)只有平凡的\(\phi\)-不变子空间，所以

\begin{equation*} V=\langle\alpha,\phi(\alpha),\cdots ,\phi^{n-1}(\alpha)\rangle . \end{equation*}

因此\(V\)中每个非零向量\(\alpha\)都是循环向量，使\(V\)成为循环空间。

🔗

(b) \(\Rightarrow\) (c)：假设\(\phi\)的特征多项式\(\chi_\phi(\lambda)\)在\(\mathbb{F}\)上可约，则存在\(g(\lambda),h(\lambda)\in\mathbb{F}[\lambda]\)，使得

\begin{equation*} \chi_\phi(\lambda)=g(\lambda)h(\lambda), \end{equation*}

其中\(0<\deg g(\lambda)=r<n\)。由Cayley-Hamilton定理知

\begin{equation*} 0=\chi_\phi(\phi)=g(\phi)h(\phi), \end{equation*}

故\(g(\phi),h(\phi)\)至少有一个不可逆。不妨设\(g(\phi)\)不可逆，则\({\rm Ker} g(\phi)\neq 0\)。任取\({\rm Ker} g(\phi)\)中的非零向量\(\alpha\)，由\(\deg g(\lambda)=r\)知：向量\(\phi^r(\alpha)\)可由向量组\(\alpha,\phi(\alpha),\ldots ,\phi^{r-1}(\alpha)\)线性表出，则\(C(\phi,\alpha)=\langle\alpha,\phi(\alpha),\ldots ,\phi^{r-1}(\alpha)\rangle\)。注意到\(\dim C(\phi,\alpha)\leq r<n\)，所以\(C(\phi,\alpha)\neq V\)，这与\(V\)中任一非零向量都是循环向量相矛盾。因此\(\chi_\phi(\lambda)\)在\(\mathbb{F}\)上可约。

🔗

(c) \(\Rightarrow \) (a)：假设 \(V\)存在非平凡的\(\phi\)-不变子空间\(U\)。取\(U\)的一组基\(\xi_1,\dots ,\xi_r\)，将其扩充为\(V\)的一组基\(\xi_1,\dots ,\xi_r,\xi_{r+1},\dots ,\xi_n\)，则\(\phi\)在基\(\xi_1,\dots ,\xi_n\)下的矩阵为分块上三角矩阵

\begin{equation*} \begin{pmatrix} A&C\\ 0&B \end{pmatrix}, \end{equation*}

其中\(A\)是\(r\)阶方阵。于是，\(\phi\)的特征多项式

\begin{equation*} \chi_\phi(\lambda)=\chi_A(\lambda)\chi_B(\lambda) \end{equation*}

表示为数域\(\mathbb{F}\)上两个低次多项式的乘积，这与\(\chi_\phi(\lambda)\)在\(\mathbb{F}\)上不可约相矛盾。因此\(V\)只有平凡的\(\phi\)-不变子空间。

🔗