1.
设\(A=\begin{pmatrix}
1 & -3 & -1\\
0 & 1 & -2\\
-1 & 1 & 5
\end{pmatrix}\)，判断下列向量是否属于\(A\)的列空间，并说明理由。
-
\(\beta=(1,1,0)^T\)；
-
\(\gamma=(1,-1,1)^T\)。
节 4.3 生成子空间、极大无关组与秩
建设中！
练习 练习
基础题.
2.
设
\begin{equation*}
\alpha_1=\begin{pmatrix}
1\\ 0\\ 2\\ -1
\end{pmatrix},\alpha_2=\begin{pmatrix}
-2\\ 1\\ -4\\ 6
\end{pmatrix},\alpha_3=\begin{pmatrix}
3\\ 2\\ 7\\ 5
\end{pmatrix},\alpha_4=\begin{pmatrix}
1\\ -2\\ 6\\ -9
\end{pmatrix},
\end{equation*}
-
求\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4\)的一个极大线性无关组；
-
将其余向量表示为该极大线性无关组的线性组合。
3.
设\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\in\F^m\)，若它们两两线性无关但全体线性相关，证明：\(\langle \alpha_1,\alpha_2\rangle=\langle \alpha_2,\alpha_3\rangle=\langle \alpha_1,\alpha_3\rangle\)。
4.
设向量\(\beta\)可以由\(\alpha_1,\dots ,\alpha_s\)线性表示，但不能由\(\alpha_1,\dots ,\alpha_{s-1}\)线性表示。证明：
-
\(r(\alpha_1,\dots ,\alpha_{s-1},\alpha_s)=r(\alpha_1,\dots ,\alpha_{s-1},\beta)\)。
5.
设向量组\(\alpha_1,\dots ,\alpha_r\)与向量组\(\beta_1,\dots ,\beta_s\)等价，且\(\alpha_1,\dots ,\alpha_r\)线性无关，试问\(\beta_1,\dots ,\beta_s\)是否一定线性无关？如果结论成立，请证明；如果不成立，请举出反例。
6.
提高题.
7.
设\(\alpha_1,\dots ,\alpha_n\)是一组\(n\)维列向量，已知单位向量\(\varepsilon_1,\dots ,\varepsilon_n\)可被它们线性表示，证明：\(\alpha_1,\dots ,\alpha_n\)线性无关。
8.
设\(\alpha_1,\dots ,\alpha_n\)是一组\(n\)维列向量，证明：\(\alpha_1,\dots ,\alpha_n\)线性无关的充要条件是任一\(n\)维列向量都可被它们线性表示。
9.
证明：数域\(\mathbb{F}\)上的\(n\)个方程的\(n\)元线性方程组
\begin{equation*}
x_1\alpha_1+\cdots +x_n\alpha_n=\beta
\end{equation*}
对任意\(\beta\in\mathbb{F}^n\)都有解的充分必要条件是\(\det (\alpha_1,\dots ,\alpha_n)\neq 0\)。
10.
11.
设\(\alpha_1,\dots,\alpha_s\)的秩为\(r\)，\(\alpha_{i_1},\dots,\alpha_{i_r}\)是\(\alpha_1,\dots,\alpha_s\)中\(r\)个向量，使得\(\alpha_1,\dots,\alpha_s\)中每个向量都可被它们线性表示，证明：\(\alpha_{i_1},\dots,\alpha_{i_r}\)是\(\alpha_1,\dots,\alpha_s\)的一个极大无关组。
12.
13.
14.
证明：\(r\left(\begin{array}{cc}
A&0\\0&B
\end{array}\right)=r(A)+r(B);\quad r\left(\begin{array}{cc}
A&0\\ C &B
\end{array}\right) \geq r(A)+r(B)\)。
15.
16.
证明Frobenius不等式：\(r(ABC)\geq r(AB)+r(BC)-r(B)\)。
17.
挑战题.
18.
设数域\(\F\)上\(n\)阶方阵\(A=(a_{ij})_{n\times n}\)满足
\begin{equation*}
|a_{ii}| > \sum\limits_{\begin{array}{c}j=1\\j\neq i\end{array}}^n |a_{ij}|,\ i=1,\ldots , n,
\end{equation*}
则称\(A\)为严格主对角占优矩阵。证明：若\(A\)为\(n\)阶严格主对角占优矩阵，则\(r(A)=n\)。
