主要内容\(\newcommand{\Ima}{\rm Im }
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\)
节 4.2 线性相关与线性无关
练习 练习
基础题.
1.
设
\({\alpha _1},\dots ,{\alpha _n} \in {\F^m}\)，下列说法对吗？为什么？
-
如果有全为
\(0\)的数
\(k_1,\dots,k_n\)，使得
\(k_1 \alpha_1+\cdots +k_n\alpha_n={\bf 0}\)，那么向量组
\({\alpha _1},\dots ,{\alpha _n}\)线性无关。
-
如果有一组不全为
\(0\)的数
\(k_1,\dots ,k_n\)，使得
\(k_1 \alpha_1+\cdots +k_n\alpha_n\neq {\bf 0}\)，那么向量组
\({\alpha _1},\dots ,{\alpha _n}\)线性无关。
-
如果向量组
\({\alpha _1},\dots ,{\alpha _n}(n\geq 2)\)线性相关，那么其中每一个向量都可以由其余向量线性表示。
解答.
-
不对。因为任取
\(m\)维列向量
\(\alpha_1,\dots,\alpha_n\)，可能线性无关也可能线性相关，但都存在全为
\(0\)的数
\(k_1,\dots,k_n\)，使得
\(k_1 \alpha_1+\cdots +k_n\alpha_n={\bf 0}\)。
-
不对。例如，取\(\alpha_1=\cdots=\alpha_n=\varepsilon_1\)，则存在不全为\(0\)的数\(1,\dots ,1\)，使得
\begin{equation*}
\alpha_1+\cdots+\alpha_n=n\varepsilon_1\neq {\bf 0},
\end{equation*}
但向量组\(\alpha_1,\dots,\alpha_n\)线性相关。
应改为“如果对任意一组不全为
\(0\)的数
\(k_1,\dots ,k_n\)，都有
\(k_1 \alpha_1+\cdots +k_n\alpha_n\neq 0\)，那么向量组
\({\alpha_1},\dots ,{\alpha_n}\)线性无关。”
-
不对。例如，取
\(\alpha_1=\alpha_2=\varepsilon_1,\alpha_3=\varepsilon_2\)，则向量组
\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)线性相关，但
\(\alpha_3\)不能由
\(\alpha_1,\alpha_2\)线性表出。
2.
设
\(A\)是
\(m\times n\)矩阵，
\(B\)是
\(n\times m\)矩阵满足
\(BA=E_n\)。证明：矩阵
\(A\)的列向量组线性无关。
解答.
设\(A\)的列向量组为\(\alpha_1,\dots,\alpha_n\)。若
\begin{equation*}
x_1\alpha_1+\cdots+x_n\alpha_n={\bf 0},
\end{equation*}
则\(AX={\bf 0}\)。两边同时左乘\(B\)，有\(BAX={\bf 0}\)，由\(BA=E_n\)知\(X={\bf 0}\)，即\(x_1=\cdots=x_n=0\)。因此\(A\)的列向量组为\(\alpha_1,\dots,\alpha_n\)线性无关。
3.
判断下列向量组是线性相关还是线性无关。如果线性相关，试找出其中一个向量，使得它可以由其余向量线性表示，并且写出它的一个表达式。
-
\(\alpha_1=\begin{pmatrix}
1\\-1\\2\\-1\\0
\end{pmatrix},\alpha_2=\begin{pmatrix}
2\\-2\\4\\-2\\0
\end{pmatrix},\alpha_3=\begin{pmatrix}
3\\0\\6\\-1\\1
\end{pmatrix},\alpha_4=\begin{pmatrix}
0\\3\\0\\0\\1
\end{pmatrix}\)；
-
\(\alpha_1=\begin{pmatrix}
-2\\1\\0\\3
\end{pmatrix},\alpha_2=\begin{pmatrix}
1\\-3\\2\\4
\end{pmatrix},\alpha_3=\begin{pmatrix}
3\\0\\2\\-1
\end{pmatrix},\alpha_4=\begin{pmatrix}
2\\-2\\4\\6
\end{pmatrix}\)；
-
\(\alpha_1=\begin{pmatrix}1\\0\\2\\-1\end{pmatrix},\alpha_2=\begin{pmatrix}-2\\1\\-4\\6\end{pmatrix},\alpha_3=\begin{pmatrix}3\\2\\7\\5\end{pmatrix},\alpha_4=\begin{pmatrix}1\\-2\\6\\-9\end{pmatrix}\)。
解答.
令\(A=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4)\)。
-
由于存在不全为\(0\)的数 \(-2,1,0,0\)，使得
\begin{equation*}
-2\cdot\alpha_1+1\cdot\alpha_2+0\cdot\alpha_3+0\cdot\alpha_4={\bf 0},
\end{equation*}
所以向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4\)线性相关，且 \(\alpha_2=2\alpha_1\)。
-
对\(A\)进行初等行变换化为简化阶梯形矩阵：
\begin{equation*}
A=\begin{pmatrix}
-2 & 1 & 3 & 2\\
1& -3 & 0 & -2\\
0 & 2 & 2 & 4\\
3 & 4 & -1 & 6
\end{pmatrix}\rightarrow\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 1\\
0 & 1 & 0 & 1\\
0 & 0 & 1 & 1\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}.
\end{equation*}
注意到\(r(A)=3 < 4\)，齐次线性方程组\(AX=0\)有非零解，因此向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4\)线性相关。由于\((-1,-1,-1,1)^T\)是\(AX=0\)的一个解，则\(-\alpha_1-\alpha_2-\alpha_3+\alpha_4={\bf 0}\)，由此可知
\begin{equation*}
\alpha_4=\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3.
\end{equation*}
-
对\(A\)进行初等行变换化为简化阶梯形矩阵：
\begin{equation*}
A=\begin{pmatrix}
1 & -2 & 3 & 1\\
0 & 1 & 2 & -2\\
2 & -4 & 7 & 6\\
-1 & 6 & 5 & -9
\end{pmatrix}\rightarrow\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & -31\\
0 & 1 & 0 & -10\\
0 & 0 & 1 & 4\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}.
\end{equation*}
注意到\(r(A)=3 < 4\)，齐次线性方程组\(AX=0\)有非零解，因此向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4\)线性相关。由于\((31,10,-4,1)^T\)是\(AX=0\)的一个解，则\(31\alpha_1+10\alpha_2-4\alpha_3+\alpha_4={\bf 0}\)，由此可知
\begin{equation*}
\alpha_4=-31\alpha_1-10\alpha_2+4\alpha_3.
\end{equation*}
4.
设向量组
\begin{equation*}
\alpha_1=\begin{pmatrix}1\\0\\2\\3\end{pmatrix},\alpha_2=\begin{pmatrix}1\\1\\3\\5\end{pmatrix},\alpha_3=\begin{pmatrix}1\\-1\\t+2\\1\end{pmatrix},\alpha_4=\begin{pmatrix}1\\2\\4\\t+9\end{pmatrix}
\end{equation*}
线性相关，求\(t\)。
解答.
记\(A=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4)\)，则
\begin{equation*}
\det A=\left|\begin{array}{cccc}
1&1&1&1\\0&1&-1&2\\2&3&t+2&4\\3&5&1&t+9
\end{array}\right|=(t+1)(t+2).
\end{equation*}
故\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4\)线性相关\(\Leftrightarrow\det A=0\Leftrightarrow t=-1\)或\(t=-2\)。
提高题.
5.
设3维实列向量
\(\alpha_1=(\lambda-1,1,1)^T,\alpha_2=(1,\lambda-1,1)^T,\alpha_3=(1,1,\lambda-1)^T,\) \(\beta=(\lambda+1,\lambda^2,2\lambda +1)^T\)。问
\(\lambda\)取何值时，
-
\(\beta\)可由
\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)线性表示且表示法唯一；
-
\(\beta\)可由
\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)线性表示且表示法不唯一；
-
\(\beta\)不可由
\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)线性表示。
解答.
记\(A=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3),\widetilde{A}=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\beta)\)，则
\begin{equation*}
\widetilde{A}\rightarrow\left(\begin{array}{ccc|c}
1&1&\lambda-1&2\lambda+1\\0&\lambda-2&2-\lambda&\lambda^2-2\lambda-1\\0&0&(\lambda+1)(2-\lambda)&(\lambda+1)(1-\lambda)
\end{array}\right)
\end{equation*}
-
当
\(\lambda\neq -1\)且
\(\lambda\neq 2\)时，方程组
\(AX=\beta\)有唯一解。此时，
\(\beta\)可由
\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)线性表出且表示法唯一。
-
当\(\lambda=-1\)时，对\(\widetilde{A}\)进行初等行变换：
\begin{equation*}
\widetilde{A}=\left(\begin{array}{ccc|c}
-2&1&1&0\\1&-2&1&1\\1&1&-2&-1
\end{array}\right)\rightarrow\left(\begin{array}{ccc|c}
1&0&-1&-\frac{1}{3}\\0&1&-1&-\frac{2}{3}\\0&0&0&0
\end{array}\right)
\end{equation*}
\(r(\widetilde{A})=r(A)=2<3\)，方程组\(AX=\beta\)有无穷多解。此时，\(\beta\)可由\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)线性表出且表示法不唯一。
-
当\(\lambda=2\)时，对\(\widetilde{A}\)进行初等行变换：
\begin{equation*}
\widetilde{A}=\left(\begin{array}{ccc|c}
1&1&1&3\\1&1&1&4\\1&1&1&5
\end{array}\right)\rightarrow\left(\begin{array}{ccc|c}
1&1&1&{3}\\0&0&0&1\\0&0&0&0
\end{array}\right)
\end{equation*}
\(r(\widetilde{A})=2\neq 1=r(A)\)，方程组\(AX=\beta\)无解。此时，\(\beta\)不可由\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)线性表出。
6.
设
\(A\)是
\(n\)阶方阵，若存在正整数
\(k\)，使得线性方程组
\(A^kX={\bf 0}\)有解向量
\(\alpha\)，且
\(A^{k-1}\alpha\neq {\bf 0}\)。证明：向量组
\(\alpha,A\alpha,\dots ,A^{k-1}\alpha\)线性无关。
解答.
设
\begin{equation}
a_0\alpha+a_1A\alpha+\cdots+a_{k-1}A^{k-1}\alpha={\bf 0},\tag{4.2.1}
\end{equation}
两边同时左乘\(A^{k-1}\)得
\begin{equation}
a_0 A^{k-1}\alpha+a_1 A^k\alpha+\cdots+a_{k-1} A^{2k-2}\alpha={\bf 0}.\tag{4.2.2}
\end{equation}
由条件
\(A^{k}\alpha={\bf 0}\)可知
\(A^{k}\alpha=A^{k+1}\alpha=\cdots =A^{2k-2}\alpha={\bf 0}\)，则
(4.2.2)即为
\begin{equation*}
a_0 A^{k-1}\alpha={\bf 0}.
\end{equation*}
注意到
\(A^{k-1}\alpha\neq {\bf 0}\)，故
\(a_0=0\)，代入
(4.2.1)得
\begin{equation*}
a_1 A\alpha+a_2A^2\alpha+\cdots+a_{k-1} A^{k-1}\alpha={\bf 0},
\end{equation*}
两边同时左乘\(A^{k-2}\)得
\begin{equation*}
a_1 A^{k-1}\alpha={\bf 0},
\end{equation*}
故\(a_1=0\)。依此类推，有
\begin{equation*}
a_0=a_1=\cdots =a_{k-1}=0,
\end{equation*}
因此向量组\(\alpha,A\alpha,\dots ,A^{k-1}\alpha\)线性无关。
7.
设\(\alpha_1,\ldots,\alpha_n\in\mathbb{F}^m\)线性无关，\(\beta_k=\sum\limits_{j=1}^n a_{jk}\alpha_j,k=1,\ldots ,n\)。证明：向量组\(\beta_1,\ldots,\beta_n\)线性无关的充分必要条件是
\begin{equation*}
\begin{vmatrix}
a_{11}&\cdots&a_{1n}\\
\vdots&\ddots&\vdots\\
a_{n1}&\cdots&a_{nn}
\end{vmatrix}\neq 0.
\end{equation*}
提示.
由于
\begin{equation*}
\begin{vmatrix}
a_{11}&\cdots&a_{1n}\\
\vdots&\ddots&\vdots\\
a_{n1}&\cdots&a_{nn}
\end{vmatrix}\neq 0
\end{equation*}
当且仅当齐次线性方程组\(\begin{pmatrix}
a_{11}&\cdots&a_{1n}\\
\vdots&\ddots&\vdots\\
a_{n1}&\cdots&a_{nn}
\end{pmatrix}X={\bf 0}\)只有零解，因此只需证明\(\beta_1,\ldots,\beta_n\)线性无关的充分必要条件是 \(\begin{pmatrix}
a_{11}&\cdots&a_{1n}\\
\vdots&\ddots&\vdots\\
a_{n1}&\cdots&a_{nn}
\end{pmatrix}X={\bf 0}\)只有零解即可。
解答.
令\(A=(\alpha_1,\dots,\alpha_n)\)，\(B=(\beta_1,\dots,\beta_n)\)。由\(\beta_k=\sum\limits_{j=1}^n a_{jk}\alpha_j\)知
\begin{equation*}
B=A\begin{pmatrix}
a_{11}&\cdots&a_{1n}\\
\vdots&\ddots&\vdots\\
a_{n1}&\cdots&a_{nn}
\end{pmatrix}.
\end{equation*}
充分性：设\(x_1\beta_1+\cdots+x_n\beta_n={\bf 0}\)，即\(BX={\bf 0}\)， 则
\begin{equation}
A\begin{pmatrix}
a_{11}&\cdots&a_{1n}\\
\vdots&\ddots&\vdots\\
a_{n1}&\cdots&a_{nn}
\end{pmatrix}X={\bf 0}.\tag{4.2.3}
\end{equation}
注意到
\(\alpha_1,\dots,\alpha_n\)线性无关，即由
\(AY={\bf 0}\)必可推出
\(Y={\bf 0}\)，所以由
(4.2.3)知
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
a_{11}&\cdots&a_{1n}\\
\vdots&\ddots&\vdots\\
a_{n1}&\cdots&a_{nn}
\end{pmatrix}X={\bf 0}.
\end{equation*}
又\(\begin{vmatrix}
a_{11}&\cdots&a_{1n}\\
\vdots&\ddots&\vdots\\
a_{n1}&\cdots&a_{nn}
\end{vmatrix}\neq 0\)，故\(X={\bf 0}\)，因此\(\beta_1,\dots,\beta_n\)线性无关。
必要性：设\(\begin{pmatrix}
a_{11}&\cdots&a_{1n}\\
\vdots&\ddots&\vdots\\
a_{n1}&\cdots&a_{nn}
\end{pmatrix}X={\bf 0}\)，两边同时左乘\(A\)得
\begin{equation*}
BX={\bf 0}.
\end{equation*}
由于\(\beta_1,\dots,\beta_n\)线性无关，所以\(X={\bf 0}\)，因此\(\begin{vmatrix}
a_{11}&\cdots&a_{1n}\\
\vdots&\ddots&\vdots\\
a_{n1}&\cdots&a_{nn}
\end{vmatrix}\neq 0\)。
8.
设向量组\(\alpha_1,\dots,\alpha_n\)线性无关，判断向量组
\begin{equation*}
\beta_1=\alpha_1+\alpha_2,\beta_2=\alpha_2+\alpha_3,\dots ,\beta_{n-1}=\alpha_{n-1}+\alpha_n,\beta_n=\alpha_n+\alpha_1
\end{equation*}
的线性相关性。
解答.
因为\(\alpha_1,\dots ,\alpha_n\)线性无关，又
\begin{equation*}
(\beta_1,\dots ,\beta_n)=(\alpha_1,\dots ,\alpha_n)A,
\end{equation*}
其中
\begin{equation*}
A= \begin{pmatrix}
1&&&&1\\
1&1&&&\\
&1&\ddots&&\\
&&\ddots&1&\\
&&&1&1
\end{pmatrix}_{n\times n},
\end{equation*}
根据
练习 4.2.7，
\(\beta_1,\cdots ,\beta_n\)线性无关的充要条件为
\(\det A\neq 0\)，即
\(1+(-1)^{n+1}\neq 0\)。从而
\(\beta_1,\beta_2,\cdots ,\beta_n\)线性无关当且仅当
\(n\)为奇数。
9.
设在向量组
\(\alpha_1,\dots,\alpha_n\)中，
\(\alpha_1\neq {\bf 0}\)且每一个
\(\alpha_i\)都不能表成它的前
\(i-1\)个向量
\(\alpha_1,\dots ,\alpha_{i-1}\)的线性组合。证明：
\(\alpha_1\dots,\alpha_n\)线性无关。
解答.
假设\(\alpha_1,\dots ,\alpha_n\)线性相关，则存在不全为\(0\)的数\(a_1,\dots ,a_n\in\mathbb{F}\)，使得
\begin{equation*}
a_1\alpha_1+\cdots +a_n\alpha_n={\bf 0}.
\end{equation*}
假设\(a_i\)是\(a_1,\dots ,a_n\)中最后一个不为\(0\)的数，则
\begin{equation*}
a_1\alpha_1+\cdots +a_i\alpha_i={\bf 0}.
\end{equation*}
由\(\alpha_1\neq {\bf 0}\)知\(i>1\)，于是
\begin{equation*}
\alpha_i=-\frac{a_1}{a_i}\alpha_1-\cdots-\frac{a_{i-1}}{a_i}\alpha_{i-1},
\end{equation*}
与已知条件矛盾。因此\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_s\)线性无关。
10.
设向量组
\(\alpha_1,\dots ,\alpha_n\)线性无关，向量
\(\beta_1\)可由它线性表出，而向量
\(\beta_2\)不能由它线性表出。证明：向量组
\(\alpha_1,\dots ,\alpha_n,\beta_1+\beta_2\)线性无关。
解答.
假设向量组\(\alpha_1,\dots ,\alpha_n,\beta_1+\beta_2\)线性相关。由\(\alpha_1,\dots ,\alpha_s\)线性无关知：\(\beta_1+\beta_2\)可由\(\alpha_1,\dots ,\alpha_n\)线性表出，即存在\(a_1,\dots ,a_n\in\mathbb{F}\)，使得
\begin{equation}
\beta_1+\beta_2=a_1\alpha_1+\cdots +a_n\alpha_n.\tag{4.2.4}
\end{equation}
注意到\(\beta_1\)可由\(\alpha_1,\dots ,\alpha_n\)线性表出，则存在\(b_1,\dots ,b_n\in\mathbb{F}\)，使得
\begin{equation}
\beta_1=b_1\alpha_1+\cdots +b_n\alpha_n.\tag{4.2.5}
\end{equation}
\begin{equation*}
\beta_2=(a_1-b_1)\alpha_1+\cdots +(a_n-b_n)\alpha_n,
\end{equation*}
则\(\beta_2\)可由\(\alpha_1,\cdots ,\alpha_n\)线性表出，与已知条件矛盾。因此向量组\(\alpha_1,\dots ,\alpha_n,\beta_1+\beta_2\)线性无关。
11.
证明：
\(\F^n\)中，如果
\(\alpha_1,\dots,\alpha_n\)线性无关，则任一向量
\(\beta\)可以由
\(\alpha_1,\dots,\alpha_n\)线性表出。
解答.
因为
\(n+1\)个
\(n\)维列向量
\(\alpha_1,\dots,\alpha_n,\beta\)线性相关，又
\(\alpha_1,\dots,\alpha_n\)线性无关，故
\(\beta\)可以由
\(\alpha_1,\cdots,\alpha_n\)线性表出。
12.
设向量组
\(\alpha_1,\dots ,\alpha_{n-1}\)线性相关，向量组
\(\alpha_2,\dots ,\alpha_{n}\)线性无关
\((n\geq 3)\)，问：
-
\(\alpha_1\)能否由
\(\alpha_2,\dots ,\alpha_{n-1}\)线性表出？
-
\(\alpha_n\)能否由
\(\alpha_1,\dots ,\alpha_{n-1}\)线性表出？
解答.
-
因为
\(\alpha_2,\dots ,\alpha_{n}\)线性无关，所以部分组
\(\alpha_2,\dots ,\alpha_{n-1}\)也线性无关。又
\(\alpha_1,\alpha_2,\dots ,\alpha_{n-1}\)线性相关，故
\(\alpha_1\)可由
\(\alpha_2,\dots ,\alpha_{n-1}\)线性表出。
-
假设
\(\alpha_n\)可由
\(\alpha_1,\dots ,\alpha_{n-1}\)线性表出。结合
项 4.2.12.a知
\(\alpha_n\)可由
\(\alpha_2,\dots ,\alpha_{n-1}\)线性表出，这与向量组
\(\alpha_2,\dots ,\alpha_{n}\)线性无关相矛盾。因此
\(\alpha_n\)不能由
\(\alpha_1,\dots ,\alpha_{n-1}\)线性表出。
13.
设
\(\alpha_i=(1,t_i,\cdots ,t_i^{m-1})^T,i=1,\dots ,n\)，其中
\(t_1,t_2,\dots ,t_n\)是互不相同的数，且
\(1\leq n\leq m\)。证明：向量组
\(\alpha_1,\dots ,\alpha_n\)线性无关。
解答.
令\(\beta_i=(1,t_i,\dots ,t_i^{s-1})^T,i=1,\ldots ,n\)，则\(\beta_1,\dots ,\beta_n\)是\(n\)个\(n\)维列向量。令\(B=(\beta_1,\dots ,\beta_n)\)，则
\begin{equation*}
\det B=\begin{vmatrix}
1&1&\cdots&1\\
t_1&t_2&\cdots&t_n\\
\vdots&\vdots&&\vdots\\
t_1^{n-1}&t_2^{n-1}&\cdots&t_n^{n-1}
\end{vmatrix}=\prod\limits_{1\leq j<i\leq n}(t_i-t_j)\neq 0.
\end{equation*}
故向量组\(\beta_1,\dots ,\beta_n\)线性无关，进而加长向量组\(\alpha_1,\ldots ,\alpha_n\)也线性无关。
挑战题.
14.
设\(A_1,\ldots ,A_{2026}\)是数域\(\F\)上的\(2025\)阶方阵，证明关于\(x_1,\ldots,x_{2026}\)的方程
\begin{equation*}
\det (x_1A_1+\cdots +x_{2026}A_{2026})=0
\end{equation*}
至少有一组非零解。
解答.
设\(2025\)阶方阵\(A_1,\dots,A_{2026}\)的第一列分别为\(\alpha_1,\dots,\alpha_{2026}\)，则\(\alpha_1,\dots,\alpha_{2026}\)都是\(2025\)维列向量。由于\(2026\)个\(2025\)维列向量线性相关，所以\(\alpha_1,\dots,\alpha_{2026}\)线性相关，存在不全为\(0\)的数\(c_1,\dots,c_{2026}\)，使得
\begin{equation*}
c_1\alpha_1+\cdots+c_{2026}\alpha_{2026}={\bf 0},
\end{equation*}
则\(c_1A_1+\cdots+c_{2026}A_{2026}\)的第一列\(c_1\alpha_1+\cdots+c_{2026}\alpha_{2026}\)为零向量，因此存在不全为\(0\)的数\(c_1,\dots,c_{2026}\)，使得
\begin{equation*}
\det (c_1A_1+\cdots+c_{2026}A_{2026})=0.
\end{equation*}
