线性相关与线性无关

节 4.2 线性相关与线性无关

建设中！

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练习练习

基础题.

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1.

设\({\alpha _1},\dots ,{\alpha _n} \in {\F^m}\)，下列说法对吗？为什么？

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如果有全为\(0\)的数\(k_1,\dots,k_n\)，使得\(k_1 \alpha_1+\cdots +k_n\alpha_n=0\)，那么向量组\({\alpha _1},\dots ,{\alpha _n}\)线性无关。
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如果有一组不全为\(0\)的数\(k_1,\dots ,k_n\)，使得\(k_1 \alpha_1+\cdots +k_n\alpha_n\neq 0\)，那么向量组\({\alpha _1},\dots ,{\alpha _n}\)线性无关。
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如果向量组\({\alpha _1},\dots ,{\alpha _n}(n\geq 2)\)线性相关，那么其中每一个向量都可以由其余向量线性表示。
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2.

设\(A\)是\(m\times n\)矩阵，\(B\)是\(n\times m\)矩阵满足\(BA=E_n\)。证明：矩阵\(A\)的列向量组线性无关。

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3.

判断下列向量组是线性相关还是线性无关。如果线性相关，试找出其中一个向量，使得它可以由其余向量线性表示，并且写出它的一个表达式。

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\(\alpha_1=\begin{pmatrix} 1\\-1\\2\\-1\\0 \end{pmatrix},\alpha_2=\begin{pmatrix} 2\\-2\\4\\-2\\0 \end{pmatrix},\alpha_3=\begin{pmatrix} 3\\0\\6\\-1\\1 \end{pmatrix},\alpha_4=\begin{pmatrix} 0\\3\\0\\0\\1 \end{pmatrix}\)；
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\(\alpha_1=\begin{pmatrix} -2\\1\\0\\3 \end{pmatrix},\alpha_2=\begin{pmatrix} 1\\-3\\2\\4 \end{pmatrix},\alpha_3=\begin{pmatrix} 3\\0\\2\\-1 \end{pmatrix},\alpha_4=\begin{pmatrix} 2\\-2\\4\\6 \end{pmatrix}\)；
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\(\alpha_1=\begin{pmatrix}1\\0\\2\\-1\end{pmatrix},\alpha_2=\begin{pmatrix}-2\\1\\-4\\6\end{pmatrix},\alpha_3=\begin{pmatrix}3\\2\\7\\5\end{pmatrix},\alpha_4=\begin{pmatrix}1\\-2\\6\\-9\end{pmatrix}\)。
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4.

设向量组

\begin{equation*} \alpha_1=\begin{pmatrix}1\\0\\2\\3\end{pmatrix},\alpha_2=\begin{pmatrix}1\\1\\3\\5\end{pmatrix},\alpha_3=\begin{pmatrix}1\\-1\\t+2\\1\end{pmatrix},\alpha_4=\begin{pmatrix}1\\2\\4\\t+9\end{pmatrix} \end{equation*}

线性相关，求\(t\)。

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提高题.

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5.

设3维实列向量\(\alpha_1=(\lambda-1,1,1)^T,\alpha_2=(1,\lambda-1,1)^T,\alpha_3=(1,1,\lambda-1)^T,\) \(\beta=(\lambda+1,\lambda^2,2\lambda +1)^T\)。问\(\lambda\)取何值时，

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\(\beta\)可由\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)线性表示且表示法唯一；
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\(\beta\)可由\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)线性表示且表示法不唯一；
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\(\beta\)不可由\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)线性表示。
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6.

设\(A\)是\(n\)阶方阵，若存在正整数\(k\)，使得线性方程组\(A^kX=0\)有解向量\(\alpha\)，且\(A^{k-1}\alpha\neq 0\)。证明：向量组\(\alpha,A\alpha,\cdots ,A^{k-1}\alpha\)线性无关。

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7.

设\(\alpha_1,\ldots,\alpha_n\in\mathbb{F}^m\)线性无关，\(\beta_k=\sum\limits_{j=1}^n a_{jk}\alpha_j,k=1,\ldots ,n\)。证明：向量组\(\beta_1,\ldots,\beta_n\)线性无关的充分必要条件是

\begin{equation*} \begin{vmatrix} a_{11}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}&\cdots&a_{nn} \end{vmatrix}\neq 0. \end{equation*}

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8.

设向量组\(\alpha_1,\dots,\alpha_n\)线性无关，判断向量组

\begin{equation*} \beta_1=\alpha_1+\alpha_2,\beta_2=\alpha_2+\alpha_3,\dots ,\beta_{n-1}=\alpha_{n-1}+\alpha_n,\beta_n=\alpha_n+\alpha_1 \end{equation*}

的线性相关性。

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9.

设在向量组\(\alpha_1,\dots,\alpha_n\)中，\(\alpha_1\neq 0\)且每一个\(\alpha_i\)都不能表成它的前\(i-1\)个向量\(\alpha_1,\dots ,\alpha_{i-1}\)的线性组合。证明：\(\alpha_1\dots,\alpha_n\)线性无关。

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