主要内容\(\newcommand{\Ima}{\rm Im }
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\)
节 1.7 有理系数多项式的不可约因式
练习 练习
基础题.
1.
判断下列整系数多项式在
\(\mathbb{Q}\)上是否不可约：
-
\(f(x)=x^4-6x^3+12x^2-9x+3\)；
-
-
2.
利用Eisenstein判别法，证明：若
\(p_1,p_2,\cdots ,p_t\)是
\(t\)个两两不同的素数，
\(n\)是一个大于
\(1\)的整数，那么
\(\sqrt[n]{p_1p_2\cdots p_t}\)是一个无理数。
3.
-
-
4.
设
\(f(x)\in\mathbb{Q}[x]\)。证明：若
\(1+\sqrt{2}\)是
\(f(x)\)的根，则
\(1-\sqrt{2}\)也是
\(f(x)\)的根。
5.
试求一个次数最小的首项系数为\(1\)的有理系数多项式，使得它含以下根
\begin{equation*}
1+\sqrt{2},3-i.
\end{equation*}
提高题.
6.
设
\(f(x)=(x-a_1)(x-a_2)\cdots (x-a_n)+1\)，其中
\(a_1,a_2,\cdots ,a_n\)是两两不同的整数。
-
证明：当
\(n\)是奇数时，
\(f(x)\)在
\(\Q\)上不可约；
-
举例说明：当
\(n=2,4\)时，
\(f(x)\)在
\(\Q\)上可能可约，也可能不可约；
-
证明：当
\(n=4\)且
\(a_1<a_2<a_3<a_4\)时，
\(f(x)\)在
\(\Q\)上不可约的充分必要条件是
\(a_4-a_1=3\)；
-
证明：当
\(n\)是偶数且
\(n\geq 6\)时，
\(f(x)\)在
\(\Q\)上不可约。
7.
设
\(f(x)=(x-a_1)^2(x-a_2)^2\cdots (x-a_n)^2+1\)，其中
\(a_1,a_2,\cdots ,a_n\)是两两不同的整数 ，证明：
\(f(x)\)在
\(\Q\)上不可约。
8.
设
\(f(x)=(x-a_1)(x-a_2)\cdots (x-a_n)-2\)，其中
\(a_1,a_2,\cdots ,a_n\)是两两不同的偶数 ，证明：
\(f(x)\)在
\(\mathbb{Q}\)上不可约。
9.
设
\(f(x)\)是次数大于
\(0\)的首一整系数多项式，证明：若
\(f(0)\)和
\(f(1)\)都是奇数，那么
\(f(x)\)没有整数根。
10.
若
\(\frac{5}{11}\)是整系数多项式
\(f(x)\)的根，证明：
\(f(i)f(-i)\)是非负整数，且是
\(146\)的倍数。
11.
试求含无理根
\(\sqrt{2}+\sqrt{3}\)次数最低的首一有理系数多项式。
12.
设
\(f(x)\)是有理数域上不可约
\(n\)次多项式，
\(n\geq 2\)。证明：若
\(f(x)\)一根的倒数也是
\(f(x)\)的根，那么
\(f(x)\)的每一根的倒数也都是
\(f(x)\)的根。
挑战题.
13.
设 \(p_1,\ldots,p_t\)是 个两两不同的素数，\(\alpha=\sqrt[n]{p_1\cdots p_t}\)。令
\begin{equation*}
\Q (\alpha)=\left\{a_0+a_1\alpha+\cdots +a_{n-1}\alpha^{n-1}|a_i\in\Q,i=0,1,\ldots ,n-1\right\}.
\end{equation*}
证明： \(\Q(\alpha)\)是一个数域。
14.
设
\(n\geq 2\)为正整数，证明：多项式
\(f(x)=x^n-x-1\)在
\(\Q\)上不可约。
