当 \(n>2\)时，假设 \(f(x)\)在 \(\Q\)上可约，则存在 \(g(x),h(x)\in\Z[x]\)，使得
\begin{equation*}
f(x)=g(x)h(x),
\end{equation*}
其中 \(\deg g(x)<\deg f(x),\deg h(x)<\deg f(x)\)。设
\begin{equation*}
g(x)=b_mx^m+b_{m-1}x^{m-1}+\cdots +b_0,
\end{equation*}
\begin{equation*}
h(x)=c_{n-m}x^{n-m}+c_{n-m-1}x^{n-m-1}+\cdots+c_0,
\end{equation*}
则
\begin{equation*}
b_mc_{n-m}=1,b_0c_0=-1,
\end{equation*}
故\(b_m,c_{n-m}\)同为 \(1\)或同为 \(-1\)， \(b_0,c_0\)中一个为 \(1\)，另一个为 \(-1\)。 记\(\widetilde{f}(x),\widetilde{g}(x),\widetilde{h}(x)\)分别是 \(f(x),g(x),h(x)\)的互反多项式，由于 \(c_0\neq 0\)，所以\(\deg \widetilde{h}(x)=n-m\)。令
\begin{equation*}
p(x)=g(x)\widetilde{h}(x),
\end{equation*}
则 \(p(x)\)是整系数多项式，满足
\begin{equation}
p(x)\widetilde{p}(x)=g(x)\widetilde{h}(x)\widetilde{g}(x)h(x)=f(x)\widetilde{f}(x),\tag{1.7.8}
\end{equation}
且 \(\deg p(x)=\deg g(x)+\deg\widetilde{h}(x)=n\)。设
\begin{equation*}
p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_0,
\end{equation*}
\begin{align*}
& \left(a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_0\right)\left(a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_n\right)\\
=&\left(x^n-x-1\right)\left(-x^n-x^{n-1}+1\right),
\end{align*}
比较 \(x^n\) 系数得
\begin{equation*}
\sum\limits_{i=0}^na_i^2=3.
\end{equation*}
因为 \(a_0^2=b_0^2c_{n-m}^2=1,a_n^2=b_m^2c_0^2=1\)，所以
\begin{equation*}
\sum\limits_{i=1}^{n-1}a_i^2=1,
\end{equation*}
这表明 \(a_1,a_2,\ldots ,a_{n-1}\)中只有一个绝对值为 \(1\)，其余全为 \(0\)，即
\begin{equation*}
p(x)=a_nx^n+a_{i}x^{i}+a_0,
\end{equation*}
其中 \(a_i^2=1\)。于是
\begin{align*}
p(x)\widetilde{p}(x)&=&\left(a_nx^n+a_{i}x^{i}+a_0\right)\left(a_0x^n+a_{i}x^{n-i}+a_n\right) \\
&= &a_0a_nx^{2n}+a_ia_nx^{2n-i}+a_0a_ix^{n+i}+3x^n\\
&&+a_0a_ix^{n-i}+a_ia_nx^{i}+a_0a_n.
\end{align*}
因为
\begin{equation*}
f(x)\widetilde{f}(x)=-x^{2n}-x^{2n-1}-x^{n+1}+3x^n+x^{n-1}-x-1
\end{equation*}
合并同类项后有 \(7\) 项，所以 \(p(x)\widetilde{p}(x)\)合并同类项后也是 \(7\)项。因此 \(n-i\neq i\)。
-
当 \(i<n-i\)时，比较 \(p(x)\widetilde{p}(x)\)与 \(f(x)\widetilde{f}(x)\)各项得
\begin{equation*}
i=1,a_ia_n=-1,a_0a_i=1,
\end{equation*}
则 \(i=1,a_i=a_0=-a_n\)。此时
\begin{equation*}
p(x)=a_nx^n-a_nx-a_n=a_nf(x)=\pm f(x),
\end{equation*}
由此推出\(\widetilde{h}(x)=\pm h(x)\)。因此， \(h(x)\)的任一复根都是 \(f(x)\) 与 \(\widetilde{f}(x)\)的公共根。
-
当 \(i>n-i\)时，比较 \(p(x)\widetilde{p}(x)\)与 \(f(x)\widetilde{f}(x)\)各项得
\begin{equation*}
i=n-1,a_ia_n=1,a_0a_i=-1,
\end{equation*}
则 \(i=n-1,a_i=a_n=-a_0\) 。此时
\begin{equation*}
p(x)=a_nx^n+a_nx^{n-1}-a_n=-a_n\widetilde{f}(x)=\pm \widetilde{f}(x),
\end{equation*}
则 \(g(x)=\pm\widetilde{g}(x)\)。故 \(g(x)\)的任一复根都是 \(f(x)\) 与 \(\widetilde{f}(x)\)的公共根。
这表明无论哪种情形， \(f(x)\) 与 \(\widetilde{f}(x)\)都存在公共复根。设 \(\alpha\) 是 \(f(x)\) 与 \(\widetilde{f}(x)\)的一个公共根，则
\begin{gather}
f(\alpha)=\alpha^n-\alpha-1=0, \tag{1.7.9}\\
{f}(\alpha)=-\alpha^n-\alpha^{n-1}+1=0. \tag{1.7.10}
\end{gather}
\begin{equation*}
\alpha^{n-1}+\alpha=0.
\end{equation*}
注意到 \(f(0)=-1\)，所以 \(\alpha\neq 0\)。因此
\begin{equation}
\alpha^{n-2}=-1.\tag{1.7.11}
\end{equation}
\begin{equation*}
\alpha^2+\alpha+1=0,
\end{equation*}
故\(\alpha^3=1\) 。从而
\begin{equation*}
\alpha^n=1\mbox{或}\alpha\mbox{或}\alpha^2.
\end{equation*}
-
若
\(\alpha^n=1\)，代入
(1.7.9)得
\(\alpha=0\)，矛盾。
-
若
\(\alpha^n=\alpha\)，代入
(1.7.9)得
\(-1=0\)，矛盾。
-
若
\(\alpha^n=\alpha^2\)，则
\(\alpha^{n-2}=1\)，与
(1.7.11)矛盾。
所以 \(f(x)\)在 \(\Q\)上不可约。
