推论 7.1.1.
设\(\phi\)是\(n\)维线性空间\(V\)的线性变换，则下列命题等价：
-
\(\phi\)是可逆映射；
-
\(\phi\)是自同构；
-
\(\phi\)是单射；
-
\(\phi\)是满射；
-
\(\phi\)在任意基下的矩阵是可逆阵。
节 7.1 线性变换与矩阵相似
建设中！
节 7.1.1 基础知识回顾
练习 7.1.2 练习
基础题.
1.
验证相似关系是等价关系。
解答.
设\(A,B,C\)是数域\(\mathbb{F}\)上\(n\)阶方阵。
-
对称性：若\(A\)相似于\(B\)，则存在可逆矩阵\(P\)，使得\(B=P^{-1}AP\)，于是\begin{equation*} A=(P^{-1})^{-1}BP^{-1}, \end{equation*}因此\(B\)相似于\(A\)。
-
传递性：若\(A\)相似于\(B\)，\(B\)相似于\(C\)，则存在可逆矩阵\(P,Q\)，使得\begin{equation*} B=P^{-1}AP,\ C=Q^{-1}BQ, \end{equation*}于是存在可逆矩阵\(PQ\)，使得\begin{equation*} C=(PQ)^{-1}A(PQ), \end{equation*}因此\(A\)相似于\(C\)。
2.
设\(A={\rm{diag}}(a_1,a_2,\cdots ,a_n)\)，定义\(\mathbb{F}^{n\times n}\)上线性变换
\begin{equation*}
\phi:\mathbb{F}^{n\times n}\to\mathbb{F}^{n\times n},\ X\mapsto AX-XA,
\end{equation*}
验证：\(\phi\)在\(\mathbb{F}^{n\times n}\)的标准基\(\{E_{ij}\ |\ 1\leq i,j\leq n\}\)下的矩阵也是对角矩阵。
3.
设线性变换\(\phi:\mathbb{F}^3\rightarrow \mathbb{F}^3, \ (a,b,c)^T\mapsto (a,a+b,a+b+c)^T\)，
-
求\(\phi\)在基\((\varepsilon_1+\varepsilon_2,\varepsilon_2+\varepsilon_3,\varepsilon_3+\varepsilon_1)\)下的矩阵；
解答.
-
因为\(\phi (\varepsilon_1)=\varepsilon_1+\varepsilon_2+\varepsilon_3,\phi (\varepsilon_2)=\varepsilon_2+\varepsilon_3,\phi (\varepsilon_3)=\varepsilon_3\)，所以\begin{equation*} \phi (\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3)=(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3) \begin{pmatrix} 1&0&0\\ 1&1&0\\ 1&1&1 \end{pmatrix} , \end{equation*}故\(\phi\)在基\((\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3)\)下的矩阵为\(A= \begin{pmatrix} 1&0&0\\ 1&1&0\\ 1&1&1 \end{pmatrix}\)。
-
解法一： 因为\begin{equation*} \phi (\varepsilon_2)=\varepsilon_2+\varepsilon_3,\phi (\varepsilon_3)=\varepsilon_3,\phi (\varepsilon_1)=\varepsilon_2+\varepsilon_3+\varepsilon_1, \end{equation*}所以\begin{equation*} \phi (\varepsilon_2,\varepsilon_3,\varepsilon_1)=(\varepsilon_2,\varepsilon_3,\varepsilon_1) \begin{pmatrix} 1&0&1\\ 1&1&1\\ 0&0&1 \end{pmatrix} , \end{equation*}故\(\phi\)在基\((\varepsilon_2,\varepsilon_3,\varepsilon_1)\)下的矩阵为\(B= \begin{pmatrix} 1&0&1\\ 1&1&1\\ 0&0&1\end{pmatrix}\)。解法二： 因为\((\varepsilon_2,\varepsilon_3,\varepsilon_1)=(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3)P\)，其中\begin{equation*} P= \begin{pmatrix} 0&0&1\\ 1&0&0\\ 0&1&0 \end{pmatrix}, \end{equation*}所以\(\phi\)在基\((\varepsilon_2,\varepsilon_3,\varepsilon_1)\)下的矩阵为\begin{equation*} B=P^{-1}AP=\begin{pmatrix} 1&0&1\\ 1&1&1\\ 0&0&1 \end{pmatrix}. \end{equation*}
-
因为\((\varepsilon_1+\varepsilon_2,\varepsilon_2+\varepsilon_3,\varepsilon_3+\varepsilon_1)=(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3)Q\)，其中\begin{equation*} Q= \begin{pmatrix} 1&0&1\\ 1&1&0\\ 0&1&1 \end{pmatrix}, \end{equation*}所以\(\phi\)在基\((\varepsilon_1+\varepsilon_2,\varepsilon_2+\varepsilon_3,\varepsilon_3+\varepsilon_1)\)下的矩阵为\begin{equation*} C=Q^{-1}AQ=\begin{pmatrix} \frac{1}{2}&-\frac{1}{2}&0\\ \frac{3}{2}&\frac{3}{2}&1\\ \frac{1}{2}&\frac{1}{2}&1 \end{pmatrix}. \end{equation*}
-
因为\begin{equation*} \phi (\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3)=(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3)A, \end{equation*}其中\(A= \begin{pmatrix} 1&0&0\\ 1&1&0\\ 1&1&1 \end{pmatrix}\)是可逆矩阵，所以\(\phi\)可逆，且\(\phi^{-1}\)满足\begin{equation*} \begin{array}{ll} \phi^{-1}(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3) & =(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3)A^{-1}\\ & =(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3) \begin{pmatrix} 1&0&0\\-1&1&0\\0&-1&1 \end{pmatrix}, \end{array} \end{equation*}即\(\phi^{-1}:\mathbb{F}^3\rightarrow\mathbb{F}^3,\ (a,b,c)^T\mapsto (a,b-a,c-b)^T\)。
-
\(2\phi-\phi^{-1}\)在基\((\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3)\)下的矩阵为\begin{equation*} 2A-A^{-1}=\begin{pmatrix} 1&0&0\\ 3&1&0\\ 2&3&1 \end{pmatrix}. \end{equation*}
4.
证明：多项式集合 \(\F[x]\)关于多项式加法，数乘和乘法三种运算构成一个有单位元的交换代数，且多项式代数与矩阵代数及线性变换代数都不同构。
解答.
\(\F[x]\)是数域\(\F\)上线性空间，且对任意 \(f(x),g(x),h(x)\in\F [x], c\in\F\)，
-
\(\left(f(x)\cdot g(x)\right)\cdot h(x)=f(x)\cdot\left(g(x)\cdot h(x)\right)\)，
-
\(f(x)\cdot\left(g(x)+h(x)\right)=f(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot h(x),\)\(\left(f(x)+g(x)\right)\cdot h(x)=f(x)\cdot h(x)+g(x)\cdot h(x),\)
-
\(c\left(f(x)\cdot g(x)\right)=\left(cf(x)\right)\cdot g(x)=f(x)\cdot \left(cg(x)\right)\)，
-
\(f(x)\cdot g(x)=g(x)\cdot f(x)\)，
-
\(1\cdot f(x)=f(x)\cdot 1=f(x)\)，
因此\(\F[x]\)关于多项式加法，数乘和乘法三种运算构成一个有单位元的交换代数。注意到\(\F[x]\)是数域\(\F\)上无限维线性空间，而矩阵代数及线性变换代数作为数域\(\F\)上线性空间都是有限维的，所以多项式代数与矩阵代数及线性变换代数作为线性空间不同构，进而作为代数也都不同构。
5.
设\(A,B\)是数域\(\F\)上\(n\)阶方阵。
解答.
-
取\(A=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\)，\(B=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\)，则\begin{equation*} AB=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} , BA= \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \end{equation*}秩不同，故\(AB\)不相似于\(BA\)。
6.
设\(A\)相似于\(B\)，\(C\)相似于\(D\)，证明：\(\begin{pmatrix}
A&0\\0&C
\end{pmatrix}\)相似于\(\begin{pmatrix}
B&0\\0&D
\end{pmatrix}\)。
解答.
因为\(A\)相似于\(B\)，\(C\)相似于\(D\)，所以存在可逆矩阵\(P\)、\(Q\)使得
\begin{equation*}
B=P^{-1}AP,D=Q^{-1}CQ.
\end{equation*}
令\(R= \begin{pmatrix}
P&0\\0&Q
\end{pmatrix}\)，则\(R\)可逆且
\begin{equation*}
\begin{array}{rcl}
R^{-1}\begin{pmatrix}
A&0\\0&C
\end{pmatrix}R & = &\begin{pmatrix}
P&0\\0&Q
\end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}
A&0\\0&C
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
P&0\\0&Q
\end{pmatrix}\\
&=&\begin{pmatrix}
P^{-1}AP&0\\0&Q^{-1}CQ
\end{pmatrix}\\
& = & \begin{pmatrix}
B&0\\0&D
\end{pmatrix}.\end{array}
\end{equation*}
7.
-
\(\det A=\det B\)；
-
\({\rm tr}(A)={\rm tr}(B)\)；
解答.
因为\(A\)相似于\(B\)，所以存在可逆矩阵\(P\)，使得\(B=P^{-1}AP\)。
-
\(\det B=\det\left(P^{-1}AP\right)=\det P^{-1}\det A\det P=\det A\)。
-
\({\rm tr}(B)={\rm tr}\left(P^{-1}AP\right)={\rm tr}\left((AP)P^{-1}\right)={\rm tr}(A)\)。
-
因为\(\det B=\det A\)，所以\(\det A\neq 0\)当且仅当\(\det B\neq 0\)，即\(A\)可逆当且仅当\(B\)可逆。此时，\begin{equation*} B^{-1}=P^{-1}A^{-1}P, \end{equation*}故\(A^{-1}\)相似于\(B^{-1}\)。
-
因为\(B=P^{-1}AP,\ B^2=P^{-1}A^2P\)，所以\begin{equation*} B^2=B\Leftrightarrow P^{-1}A^2P=P^{-1}AP\Leftrightarrow A^2=A. \end{equation*}
提高题.
8.
设\(\phi\)是数域\(\F\)上\(n\)维线性空间\(V\)上线性变换。证明：如果\(\phi\)在\(V\)的任意一个基下的矩阵都相同，则\(\phi\)是数乘变换，即存在\(c\in\F\)，使得 \(\phi=c{\rm id}_V\)。
解答.
设\(\phi\)在基\((\xi_1,\ldots,\xi_n)\)下的矩阵为\(A=(a_{ij})_{n\times n}\)，对数域\(\F\)上任意\(n\)阶可逆矩阵\(P\)，令
\begin{equation*}
(\eta_1,\dots,\eta_n)=(\xi_1,\dots,\xi_n)P,
\end{equation*}
则\((\eta_1,\dots,\eta_n)\)也是\(V\)的一个基，且\(\phi\)在基\((\eta_1,\dots,\eta_n)\)下的矩阵为\(P^{-1}AP\)。根据题设，\(P^{-1}AP=A\)，即\(AP=PA\)。特别地，对可逆矩阵\(P={\rm diag}(1,2,\dots,n)\)，由\(AP=PA\)比较两边\((i,j)\)元可得\(ja_{ij}=ia_{ij}\)，所以当\(i\neq j\)时，\(a_{ij}=0\)。再取可逆矩阵\(P=\begin{pmatrix}{\bf 0} & E_{n-1}\\ 1 & {\bf 0}\end{pmatrix}\)，由\(AP=PA\)得\(a_{11}=a_{22}=\dots =a_{nn}\)。因此\(A\)是数量矩阵\(cE_n\)，其中\(c\in\F\)，从而\(\phi\)是数乘变换\(c{\rm id}_V\)。
9.
设\(\phi\)是线性空间\(V\)上的线性变换，\(\alpha\in V\)。若存在正整数\(k\)，使得
\begin{equation*}
\phi^{k-1}(\alpha)\neq 0,\phi^k (\alpha)=0,
\end{equation*}
证明：向量组\(\alpha,\phi(\alpha),\cdots,\phi^{k-1}(\alpha)\)线性无关。
解答.
设
\begin{equation*}
a_0\alpha+a_1\phi (\alpha)+\cdots +a_{k-1}\phi^{k-1}(\alpha)=0,
\end{equation*}
由于\(\phi^k (\alpha)=0\)，所以两边作用\(\phi^{k-1}\)得
\begin{equation*}
a_0\phi^{k-1}(\alpha)=0.
\end{equation*}
注意到\(\phi^{k-1}(\alpha)\neq 0\)，所以\(a_0=0\)。于是，
\begin{equation*}
a_1\phi (\alpha)+\cdots +a_{k-1}\phi^{k-1}(\alpha)=0,
\end{equation*}
两边作用\(\phi^{k-2}\)，得\(a_1=0\)。依此类推，可得\(a_0=a_1=\cdots =a_{k-1}=0\)。故\(\alpha ,\phi (\alpha), \cdots ,\phi^{k-1}(\alpha)\)线性无关。
10.
设\(\phi\)是线性空间\(V\)上的线性变换，\(0\ne \alpha\in V\)，\(k\)是一个正整数。证明：若\(\phi^k(\alpha)\)可以由向量组
\begin{equation}
\alpha,\phi(\alpha),\phi^2(\alpha),\dots,\phi^{k-1}(\alpha)\tag{7.1.1}
\end{equation}
解答.
当\(j=k\)时，由题设结论成立。
\begin{equation*}
\phi^j(\alpha)=a_0\alpha+a_1\phi(\alpha)+a_2\phi^2(\alpha)+\dots+a_{k-1}\phi^{k-1}(\alpha),
\end{equation*}
则由\(\phi^{j+1}(\alpha)=\phi(\phi^j(\alpha))\)可知
\begin{equation*}
\phi^{j+1}(\alpha)=a_0\phi(\alpha)+a_1\phi^2(\alpha)+\dots+a_{k-2}\phi^{k-1}(\alpha)+a_{k-1}\phi^{k}(\alpha),
\end{equation*}
即\(\phi^{j+1}(\alpha)\)可由向量组\(\phi(\alpha),\phi^2(\alpha),\dots,\phi^{k-1}(\alpha),\phi^k(\alpha)\)线性表出。又\(\phi^k(\alpha)\)也可以由\(\alpha,\phi(\alpha),\phi^2(\alpha),\dots,\phi^{k-1}(\alpha)\)线性表出，因此\(\phi^{j+1}(\alpha)\)也可以由\(\alpha,\phi(\alpha),\phi^2(\alpha),\dots,\phi^{k-1}(\alpha)\)线性表出，结论成立。
11.
设\(V\)是数域\(\mathbb{F}\)上\(n\)维线性空间，\((\alpha_1,\dots,\alpha_n)\)是\(V\)的一个基，定义\(V\)上的线性变换使得
\begin{equation*}
\phi(\alpha_i)=\alpha_{i+1}(i=1,\dots,n-1),\phi(\alpha_n)=0,
\end{equation*}
-
证明：\(\phi^{n}=0,\phi^{n-1}\neq 0\)；
-
设\(\psi\)是\(V\)上线性变换且满足\(\psi^n=0,\psi^{n-1}\neq 0\)，证明：存在\(V\)的一个基\((\beta_1,\dots ,\beta_n)\)，使得\(\psi\)在这个基下的矩阵也是\(A\)。
解答.
-
因为\begin{equation*} \phi(\alpha_1,\alpha_2,\dots ,\alpha_n)=(\alpha_1,\alpha_2,\dots ,\alpha_n)\begin{pmatrix} 0&0&\cdots&0&0\\ 1&0&\cdots&0&0\\ 0&1&\cdots&0&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\ 0&0&\cdots&1&0 \end{pmatrix}, \end{equation*}所以\(\phi\)在基\((\alpha_1,\dots ,\alpha_n)\)下的矩阵\(A=\begin{pmatrix} {\bf 0} & 0\\ E_{n-1} & {\bf 0} \end{pmatrix}\)。
-
因为\(\phi^{n}\)、\(\phi^{n-1}\)在基\((\alpha_1,\alpha_2,\dots ,\alpha_n)\)下的矩阵分别为\(A^n\)、\(A^{n-1}\)，而\begin{equation*} A^n={\bf 0},A^{n-1}=\begin{pmatrix} 0&\cdots&0&0\\ 0&\cdots&0&0\\ \vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\ 1&\cdots&0&0 \end{pmatrix}\neq {\bf 0}, \end{equation*}所以\(\phi^{n}=0,\phi^{n-1}\neq 0\)。
-
因为\(\psi^{n-1}\neq 0\)，所以存在\(\alpha\in V\)使得\(\psi^{n-1}(\alpha)\neq 0\)。由练习 7.1.2.9知向量组\(\alpha,\psi(\alpha),\dots ,\psi^{n-1}(\alpha)\)线性无关。记\begin{equation*} \beta_1=\alpha,\beta_2=\psi(\alpha),\dots ,\beta_n=\psi^{n-1}(\alpha), \end{equation*}由\(\dim V=n\)可知\((\beta_1,\dots ,\beta_n)\)是\(V\)的一个基，且\begin{equation*} \begin{array}{cl} \psi (\beta_1 ,\beta_2, \dots ,\beta_n) & =(\psi(\alpha),\psi^2(\alpha),\dots ,\psi^{n-1}(\alpha),0)\\ & =(\beta_2, \beta_3,\dots ,\beta_n,0). \end{array} \end{equation*}故\(\psi\)在基\((\beta_1 ,\dots ,\beta_n)\)下的矩阵也是\(A=\begin{pmatrix} {\bf 0} & 0\\ E_{n-1} & {\bf 0} \end{pmatrix}\)。
12.
设\(\phi,\psi\)都是\(V\)上幂等变换，即\(\phi^2=\phi,\psi^2=\psi\)，证明：\(\phi+\psi\)是幂等变换的充分必要条件是\(\phi\psi=\psi\phi=0\)。
解答.
充分性：因为\(\phi^2=\phi,\psi^2=\psi,\phi\psi=\psi\phi=0\)，所以
\begin{equation*}
(\phi+\psi)^2=\phi^2+\phi\psi+\psi\phi+\psi^2=\phi+\psi,
\end{equation*}
即\(\phi+\psi\)是幂等变换。
必要性：因为\(\phi+\psi=(\phi+\psi)^2\)，即\(\phi+\psi=\phi^2+\phi\psi+\psi\phi+\psi^2\)，又\(\phi^2=\phi,\psi^2=\psi\)，故
\begin{equation}
\phi\psi+\psi\phi=0.\tag{7.1.2}
\end{equation}
\begin{equation}
\phi\psi+\phi\psi\phi=0\tag{7.1.3}
\end{equation}
\begin{equation}
\phi\psi\phi+\psi\phi=0\tag{7.1.4}
\end{equation}
13.
设\(A,B\in\mathbb{F}^{n\times n}\)，定义线性变换\(\phi:\mathbb{F}^{n\times n}\rightarrow\mathbb{F}^{n\times n},\ X\mapsto AXB\)，证明：\(\phi\)是可逆变换的充分必要条件是\(A,B\)为可逆矩阵。
解答.
充分性：因\(A,B\)都是可逆矩阵，所以可定义\(\mathbb{F}^{n\times n}\)上的变换\(\psi\)如下：
\begin{equation*}
\psi:\mathbb{F}^{n\times n}\rightarrow\mathbb{F}^{n\times n},\ X\mapsto A^{-1}XB^{-1}.
\end{equation*}
对任意\(X\in\mathbb{F}^{n\times n}\)，有
\begin{equation*}
\begin{array}{c}\phi\psi(X)=\phi( A^{-1}XB^{-1})=A( A^{-1}XB^{-1})B=X,\\ \psi\phi (X)=\psi(AXB)=A^{-1}(AXB)B^{-1}=X,\end{array}
\end{equation*}
即\(\phi\psi=id_{\mathbb{F}^{n\times n}},\psi\phi=id_{\mathbb{F}^{n\times n}}\)，故\(\phi\)可逆。
必要性：由于\(\phi\)是满射，所以存在\(X\in\mathbb{F}^{n\times n}\)使得\(\phi(X)=E_n\)，即\(AXB=E_n\)，由此可知\(n\)阶方阵\(A,B\)都是可逆矩阵，且\(A^{-1}=XB,B^{-1}=AX\)。
14.
给定\(n\)阶方阵\(A=\begin{pmatrix}
\lambda_0&1&&&\\
&\lambda_0&1&&\\
&&\ddots&\ddots&\\
&&&\ddots&1\\
&&&&\lambda_0
\end{pmatrix}\)，证明：\(A\)相似于\(A^T\)，并求可逆矩阵\(P\)使得\(A^T=P^{-1}AP\)。
解答.
证法一：定义线性变换\(\phi:\mathbb{F}^n\rightarrow\mathbb{F}^n,\ X\mapsto AX\)，则
\begin{equation*}
\phi(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\dots ,\varepsilon_n)=(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\dots ,\varepsilon_n)A,
\end{equation*}
即
\begin{equation*}
\begin{array}{c}
\phi(\varepsilon_1)=\lambda_0\varepsilon_1,\\
\phi(\varepsilon_2)=\varepsilon_1+\lambda_0\varepsilon_2,\\
\phi(\varepsilon_3)=\varepsilon_2+\lambda_0\varepsilon_3,\\
\vdots \\
\phi(\varepsilon_n)=\varepsilon_{n-1}+\lambda_0\varepsilon_n,
\end{array}
\end{equation*}
故
\begin{equation*}
\phi(\varepsilon_n,\dots ,\varepsilon_2,\varepsilon_1)=(\varepsilon_n,\dots ,\varepsilon_2,\varepsilon_1) \begin{pmatrix}
\lambda_0&&&&\\
1&\lambda_0&&&\\
&1&\ddots&&\\
&&\ddots&\ddots&\\
&&&1&\lambda_0
\end{pmatrix},
\end{equation*}
因此\(A\)、\(A^T\)是线性变换\(\phi\)分别在基\((\varepsilon_1,\varepsilon_2,\dots ,\varepsilon_n)\)与\((\varepsilon_n,\varepsilon_{n-1},\dots ,\varepsilon_1)\)下的矩阵，从而\(A\)相似于\(A^T\)。
注意到\((\varepsilon_n,\varepsilon_{n-1},\dots ,\varepsilon_1)=(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\dots ,\varepsilon_n)P\)，其中
\begin{equation*}
P= \begin{pmatrix}
0&0&\cdots&0&1\\
0&0&\cdots&1&0\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\
0&1&\cdots&0&0\\
1&0&\cdots&0&0
\end{pmatrix},
\end{equation*}
所以\(A^T=P^{-1}AP\)。
证法二：令
\begin{equation*}
P= \begin{pmatrix}
0&0&\cdots&0&1\\
0&0&\cdots&1&0\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\
0&1&\cdots&0&0\\
1&0&\cdots&0&0
\end{pmatrix},
\end{equation*}
则\(P\)可逆，且\(P^{-1}AP=A^T\)。因此\(A\)相似于\(A^T\)。
挑战题.
15.
设\(V\)是数域\(\F\)上\(n\)维线性空间，是否存在\(V\)上线性变换\(\phi,\psi\)使得 \(\phi\psi-\psi\phi={\rm id}_V\)？若是，请给出例子；若否，请加以证明。
对于数域\(\F\)上无限维线性空间，上述结论是否成立？
解答.
事实上，若存在\(n\)维线性空间\(V\)上线性变换\(\phi,\psi\)使得\(\phi\psi-\psi\phi={\rm id}_V\)。设\(\phi,\psi\)在基 \((\xi_1,\dots,\xi_n)\)下的矩阵分别是\(A,B\)，则\(AB-BA=E_n\)，于是\({\rm tr}(AB-BA)={\rm tr}(E_n)=n\)，这与\({\rm tr}(AB)={\rm tr}(BA)\)相矛盾。
对于数域\(\F\)上无限维线性空间，上述结论成立。例如，令
\begin{equation*}
\phi: \F [x]\rightarrow\F [x],\ f(x)\mapsto f'(x),
\end{equation*}
\begin{equation*}
\psi: \F [x]\rightarrow\F [x],\ f(x)\mapsto xf(x),
\end{equation*}
则\(\phi\psi-\psi\phi={\rm id}_V\)。
