1.
验证相似关系是等价关系。
节 7.1 线性变换与矩阵相似
建设中！
练习 练习
基础题.
2.
设\(A={\rm{diag}}(a_1,a_2,\cdots ,a_n)\)，定义\(\mathbb{F}^{n\times n}\)上线性变换
\begin{equation*}
\varphi:\mathbb{F}^{n\times n}\to\mathbb{F}^{n\times n},\ X\mapsto AX-XA,
\end{equation*}
验证：\(\varphi\)在\(\mathbb{F}^{n\times n}\)的标准基\(\{E_{ij}\ |\ 1\leq i,j\leq n\}\)下的矩阵也是对角矩阵。
3.
设线性变换\(\varphi:\mathbb{F}^3\rightarrow \mathbb{F}^3, \ (a,b,c)^T\mapsto (a,a+b,a+b+c)^T\)，
-
求\(\varphi\)在基\(\varepsilon_1+\varepsilon_2,\varepsilon_2+\varepsilon_3,\varepsilon_3+\varepsilon_1\)下的矩阵；
4.
证明：多项式集合 \(\F[x]\)关于多项式加法，数乘和乘法三种运算构成一个有单位元的交换代数，且多项式代数与矩阵代数及线性变换代数都不同构。
5.
设\(A,B\)是数域\(\F\)上\(n\)阶方阵。
6.
设\(A\)相似于\(B\)，\(C\)相似于\(D\)，证明：\(\begin{pmatrix}
A&0\\0&C
\end{pmatrix}\)相似于\(\begin{pmatrix}
B&0\\0&D
\end{pmatrix}\)。
7.
-
\(\det A=\det B\)；
提高题.
8.
设\(\varphi\)是数域\(\F\)上\(n\)维线性空间\(V\)上线性变换。证明：如果\(\varphi\)在\(V\)的任意一个基下的矩阵都相同，则\(\varphi\)是数乘变换，即存在\(c\in\F\)，使得 \(\varphi=c{\rm id}_V\)。
9.
设\(\varphi\)是线性空间\(V\)上的线性变换，\(\alpha\in V\)。若存在正整数\(k\)，使得
\begin{equation*}
\varphi^{k-1}(\alpha)\neq 0,\varphi^k (\alpha)=0,
\end{equation*}
证明：向量组\(\alpha,\varphi(\alpha),\cdots,\varphi^{k-1}(\alpha)\)线性无关。
10.
设\(\phi\)是线性空间\(V\)上的线性变换，\(0\ne \alpha\in V\)，\(k\)是一个正整数。证明：若\(\phi^k(\alpha)\)可以由向量组
\begin{equation}
\alpha,\phi(\alpha),\phi^2(\alpha),\dots,\phi^{k-1}(\alpha)\tag{7.1.1}
\end{equation}
11.
设\(V\)是数域\(\mathbb{F}\)上\(n\)维线性空间，\(\alpha_1,\dots,\alpha_n\)是\(V\)的一个基，定义\(V\)上的线性变换使得
\begin{equation*}
\varphi(\alpha_i)=\alpha_{i+1}(i=1,\dots,n-1),\varphi(\alpha_n)=0,
\end{equation*}
-
证明：\(\varphi^{n}=0,\varphi^{n-1}\neq 0\)；
-
设\(\psi\)是\(V\)上线性变换且满足\(\psi^n=0,\psi^{n-1}\neq 0\)，证明：存在\(V\)的一个基\(\beta_1,\dots ,\beta_n\)，使得\(\psi\)在这个基下的矩阵也是\(A\)。
12.
设\(\varphi,\psi\)都是\(V\)上幂等变换，即\(\varphi^2=\varphi,\psi^2=\psi\)，证明：\(\varphi+\psi\)是幂等变换的充分必要条件是\(\varphi\psi=\psi\varphi=0\)。
13.
设\(A,B\in\mathbb{F}^{n\times n}\)，定义线性变换\(\varphi:\mathbb{F}^{n\times n}\rightarrow\mathbb{F}^{n\times n},\ X\mapsto AXB\)，证明：\(\varphi\)是可逆变换的充分必要条件是\(A,B\)为可逆矩阵。
14.
给定\(n\)阶方阵\(A=\begin{pmatrix}
\lambda_0&1&&&\\
&\lambda_0&1&&\\
&&\ddots&\ddots&\\
&&&\ddots&1\\
&&&&\lambda_0
\end{pmatrix}\)，证明：\(A\)相似于\(A^T\)，并求可逆矩阵\(P\)使得\(A^T=P^{-1}AP\)。
挑战题.
15.
设\(V\)是数域\(\F\)上\(n\)维线性空间，是否存在\(V\)上线性变换\(\varphi,\psi\)使得 \(\varphi\psi-\psi\varphi={\rm id}_V\)？若是，请给出例子；若否，请加以证明。
对于数域\(\F\)上无限维线性空间，上述结论是否成立？
