1.
写出下列二次型的矩阵，并求二次型的秩。
-
\(f(x_1,x_2)=-2x_1^2-2x_2^2+2x_1x_1\)；
-
\(f(x_1,x_2)=x_1x_2\)；
-
\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2-6x_1x_3+2x_2x_3\)。
节 9.1 二次型与矩阵合同
建设中！
练习 练习
基础题.
2.
设
\begin{equation*}
f(x_1,x_2,x_3)=\begin{pmatrix}
x_1&x_2&x_3
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
2&-1&3\\
1&-1&7\\
-1&1&3
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x_1\\x_2\\x_3
\end{pmatrix},
\end{equation*}
求该二次型的矩阵。
3.
4.
5.
用正交线性替换的方法将二次型
\begin{equation*}
f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+4x_2^2+x_3^2-4x_1x_2-8x_1x_3-4x_2x_3
\end{equation*}
化为标准形，并写出所作的正交线性替换。
提高题.
6.
设
\begin{equation*}
f(x_1,\ldots ,x_n)=\sum\limits_{i=1}^n (a_{i1}x_1+a_{i2}x_2+\cdots a_{in}x_n)^2,
\end{equation*}
其中\(a_{ij}\in\R,i,j=1,\ldots,n\)，证明：\(f(x_1,\ldots ,x_n)\)的秩等于矩阵\(A\)的秩，其中\(A=\begin{pmatrix}
a_{ij}
\end{pmatrix}_{n\times n}\)。
7.
设\(a,b,c\)是不全为0的实数，求二次型
\begin{equation*}
f(x_1,x_2,x_3)=(ax_1+bx_2+cx_3)^2
\end{equation*}
的矩阵和秩。
8.
设\(A\)是\(n\)阶实对称矩阵，证明：存在正实数\(c\)，使得对任意\(n\)维列向量\(X\)，有
\begin{equation*}
|X^TAX|\leq cX^TX.
\end{equation*}
9.
设\(V\)是\(n\)维欧氏空间，\(\alpha_1,\dots ,\alpha_n\)是\(V\)的一个基，\(A=\left((\alpha_i,\alpha_j)\right)_{n\times n}\)称为基\(\alpha_1,\dots ,\alpha_n\)的度量矩阵。证明：同一个\(n\)维欧氏空间\(V\)在不同基下的度量矩阵合同。
挑战题.
10.
设\(A\)为\(n\)阶实对称矩阵，其特征值按大小排序为
\begin{equation*}
\lambda_1\geq\lambda_2\geq\cdots\geq\lambda_n,
\end{equation*}
证明： \(\lambda_1=\max\limits_{0\neq X\in\mathbb{R}^n}\frac{X^TAX}{X^TX}, \lambda_n=\min\limits_{0\neq X\in\mathbb{R}^n}\frac{X^TAX}{X^TX}\)。
