主要内容

高等代数教学辅导

刘月, 唐丽丹, 周宏

节 2.7 初等列变换与相抵

建设中！
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练习 练习

基础题.

1.
设
\begin{equation*} A=\begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3\\ b_1 & b_2 & b_3\\ c_1 & c_2 & c_3 \end{pmatrix},P=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, Q=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \end{equation*}
计算：
  1. \(APQ\)；
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  2. \(AQP\)；
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  3. \(PAQ\)。
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2.
求下列矩阵的相抵标准型。
  1. \(\begin{pmatrix} 1 & 3 & -5 & 2\\ 3 & 1 & 1 & -2\\ -1 & 13 & -27 & 8 \end{pmatrix}\)；
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  2. \(\begin{pmatrix} 2 & -5 & -3 \\ 4 & -7 & 3 \\ 1 & -2 & 0 \\ 1 & -4 & -6 \end{pmatrix}\)。
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3.
判断矩阵\(A,B\)是否相抵，其中
\begin{equation*} A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},\ B=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1\\ -1 & 2 & 0\\ 1 & 1 & 3 \end{pmatrix}. \end{equation*}
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提高题.

4.
设\(C=\begin{pmatrix} A & {\bf 0}\\ {\bf 0} & B \end{pmatrix}\)，证明：\(r(C)=r(A)+r(B)\)。
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5.
设\(M\)是\(m\)阶方阵，\(A\)是\(m\times n\)矩阵，且\(r(A)=m\)，证明：
  1. 存在秩为\(m\)的\(n\times m\)矩阵\(B\)，使得\(AB=E_m\)；
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  2. 若\(MA={\bf 0}\)，则\(M={\bf 0}\)；
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  3. 若\(MA=A\)，则\(M=E_m\)。
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6.
设\(A\)是秩为\(m\)的\(m\times n\)矩阵，证明：存在\(n\)阶可逆矩阵\(P\)，使得
\begin{equation*} AP=\begin{pmatrix} E_m & {\bf 0} \end{pmatrix}. \end{equation*}
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7.
证明：任意\(n\)阶方阵\(A\)可表为\(A=PB\)，其中\(P\)为可逆矩阵，\(B^2=B\)。
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8.
设\(A\)是\(m\times n\)矩阵，证明：存在\(n\times m\) 矩阵\(B\)，使得
\begin{equation*} A=ABA,\ B=BAB. \end{equation*}
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9.
设\(A\)是一个\(n\)阶方阵，证明：
  1. \(r(A)\leq 1\) 的充分必要条件是存在\(n\)维列向量 \(\alpha,\beta\)，使得\(A=\alpha\beta^T\)；
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  2. 如果\(r(A)=1\)，那么\(A^2=cA\)，其中\(c\)为常数。
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挑战题.

10.
设\(A\)是\(n\)阶非零方阵，其中\(n\geq 2\)，证明：存在\(n\)阶非零方阵\(B\)，使得
\begin{equation*} (AB)^n=(BA)^n={\bf 0}. \end{equation*}
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