初等行变换和初等矩阵

节 2.4 初等行变换和初等矩阵

建设中！

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练习练习

基础题.

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1.

设\(A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4\\ -1 & -2 & -3 & -4\\ 1 & 2 & 3 & 4 \end{pmatrix}\)，计算：

\(\displaystyle \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}^{2025}A;\)
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\(\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}^{2025}A;\)
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\(\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 2 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}A\)。
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2.

判断下列矩阵是否为阶梯形矩阵。

\(\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2\\ 0 & 0 & 3\\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix};\)
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\(\displaystyle \begin{pmatrix} 0 & 2 & 4 & 0 & 5\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1 \end{pmatrix};\)
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\(\displaystyle \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix};\)
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\(\displaystyle \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix};\)
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\(\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2\\ 0 & 1 & 3\\ 0 & 1 & 2\\ 0 & 0 & -4 \end{pmatrix};\)
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\(\begin{pmatrix} 1 & 3 & 9 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\)。
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3.

用初等行变换将矩阵\(A\)化为阶梯形矩阵。

\(\displaystyle A=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 3\\ 0 & 1 & 0 & 2\\ 1 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix};\)
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\(\displaystyle A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4\\ 5 & 6 & 7 & 8\\ 9 & 10 & 11 & 12 \end{pmatrix};\)
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\(A=\begin{pmatrix} 2 & 0 & -1 & 3\\ 1 & 2 & -2 & 4\\ 0 & 1 & 3 & -1 \end{pmatrix}\)。
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提高题.

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4.

上题所化的阶梯形矩阵能否通过初等行变换化为原矩阵\(A\)？若能，写出所施行的初等行变换。

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5.

证明：\(E(i,j)=E\left(j(-1)\right)E\left(i,j(1)\right)E\left(j,i(-1)\right)E\left(i,j(1)\right)\)。

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6.

请指出以下证明“任一\(m\times n\)矩阵\(A\)（ \(m\geq 2\)）必可经过初等行变换化为至少一行全为0的矩阵”中的错误。

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“先将\(A\)的第1行加到第2行，第2行加到第1行得矩阵

\begin{equation*} B=\begin{pmatrix} a_{11}+a_{21} & a_{12}+a_{22} & \cdots & a_{1n}+a_{2n}\\ a_{11}+a_{21} & a_{12}+a_{22} & \cdots & a_{1n}+a_{2n}\\ a_{31} & a_{32} & \cdots & a_{3n}\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}, \end{equation*}

再将\(B\)的第1行乘以\(-1\)加到第2行可得第2行全为0的矩阵

\begin{equation*} C=\begin{pmatrix} a_{11}+a_{21} & a_{12}+a_{22} & \cdots & a_{1n}+a_{2n}\\ 0 & 0 & \cdots & 0\\ a_{31} & a_{32} & \cdots & a_{3n}\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}.\mbox{”} \end{equation*}

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