主要内容\(\newcommand{\Ima}{\rm Im }
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\)
节 2.4 初等行变换和初等矩阵
练习 练习
基础题.
1.
设\(A=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4\\
-1 & -2 & -3 & -4\\
1 & 2 & 3 & 4
\end{pmatrix}\)，计算：
-
\(\displaystyle \begin{pmatrix}
0 & 1 & 0\\
1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}^{2025}A;\)
-
\(\displaystyle \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & -1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}^{2025}A;\)
-
\(\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
2 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}A\)。
解答.
-
\(\begin{pmatrix}
-1 & -2 & -3 & -4\\
1 & 2 & 3 & 4\\
1 & 2 & 3 & 4
\end{pmatrix}\)；
-
\(\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4\\
1 & 2 & 3 & 4\\
1 & 2 & 3 & 4
\end{pmatrix}\)；
-
\(\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4\\
1 & 2 & 3 & 4\\
1 & 2 & 3 & 4
\end{pmatrix}\)。
2.
判断下列矩阵是否为阶梯形矩阵。
-
\(\displaystyle \begin{pmatrix}
1 & -1 & 2\\
0 & 0 & 3\\
0 & 1 & 2
\end{pmatrix};\)
-
\(\displaystyle \begin{pmatrix}
0 & 2 & 4 & 0 & 5\\
0 & 0 & 0 & 1 & -1
\end{pmatrix};\)
-
\(\displaystyle \begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix};\)
-
\(\displaystyle \begin{pmatrix}
0 & 0 & 1\\
0 & 1 & 0\\
1 & 0 & 0
\end{pmatrix};\)
-
\(\displaystyle \begin{pmatrix}
1 & -1 & 2\\
0 & 1 & 3\\
0 & 1 & 2\\
0 & 0 & -4
\end{pmatrix};\)
-
\(\begin{pmatrix}
1 & 3 & 9 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0
\end{pmatrix}\)。
3.
用初等行变换将矩阵\(A\)化为阶梯形矩阵。
-
\(\displaystyle A=\begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 & 3\\
0 & 1 & 0 & 2\\
1 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix};\)
-
\(\displaystyle A=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4\\
5 & 6 & 7 & 8\\
9 & 10 & 11 & 12
\end{pmatrix};\)
-
\(A=\begin{pmatrix}
2 & 0 & -1 & 3\\
1 & 2 & -2 & 4\\
0 & 1 & 3 & -1
\end{pmatrix}\)。
解答.
-
\(A\xrightarrow{r_1 \leftrightarrow r_3}\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 1\\
0 & 1 & 0 & 2\\
0 & 0 & 1 & 3
\end{pmatrix}\)；
-
对\(A\)施行如下行初等变换：
\begin{equation*}
\begin{array}{ll}
A&\xrightarrow{r_2-5r_1}\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4\\
0 & -4 & -8 & -12\\
9 & 10 & 11 & 12
\end{pmatrix}\\
&\xrightarrow{r_3-9r_1}\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4\\
0 & -4 & -8 & -12\\
0 & -8 & -16 & -24
\end{pmatrix}\\
&\xrightarrow{r_3-2r_2}\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4\\
0 & -4 & -8 & -12\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}\\
&\xrightarrow{-\frac{1}{4}r_2}\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4\\
0 & 1 & 2 & 3\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix};
\end{array}
\end{equation*}
-
对\(A\)施行如下行初等变换：
\begin{equation*}
\begin{array}{ll}
A&\xrightarrow{r_1\leftrightarrow r_2}\begin{pmatrix}
1 & 2 & -2 & 4\\
2 & 0 & -1 & 3\\
0 & 1 & 3 & -1
\end{pmatrix}\\
&\xrightarrow{r_2-2r_1}\begin{pmatrix}
1 & 2 & -2 & 4\\
0 & -4 & 3 & -5\\
0 & 1 & 3 & -1
\end{pmatrix}\\
&\xrightarrow{r_2\leftrightarrow r_3}\begin{pmatrix}
1 & 2 & -2 & 4\\
0 & 1 & 3 & -1\\
0 & -4 & 3 & -5
\end{pmatrix}\\
&\xrightarrow{r_3+4r_2}\begin{pmatrix}
1 & 2 & -2 & 4\\
0 & 1 & 3 & -1\\
0 & 0 & 15 & -9
\end{pmatrix}.
\end{array}
\end{equation*}
提高题.
4.
上题所化的阶梯形矩阵能否通过初等行变换化为原矩阵
\(A\)？若能，写出所施行的初等行变换。
解答.
记所化的阶梯形矩阵为\(B\)，\(B\)可通过若干初等行变换化为原矩阵\(A\)。
-
\(B\xrightarrow{r_2\leftrightarrow r_3} \begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 & 3\\
0 & 1 & 0 & 2\\
1 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}=A\)；
-
对\(B\)施行如下行初等变换：
\begin{equation*}
\begin{array}{ll}
B&\xrightarrow{-4r_2}\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4\\
0 & -4 & -8 & -12\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}\\
&\xrightarrow{r_3+2r_2}\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4\\
0 & -4 & -8 & -12\\
0 & -8 & -16 & -24
\end{pmatrix}\\
&\xrightarrow{r_3+9r_1}\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4\\
0 & -4 & -8 & -12\\
9 & 10 & 11 & 12
\end{pmatrix}\\
&\xrightarrow{r_2+5r_1}\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4\\
5 & 6 & 7 & 8\\
9 & 10 & 11 & 12
\end{pmatrix}=A;
\end{array}
\end{equation*}
-
对\(B\)施行如下行初等变换：
\begin{equation*}
\begin{array}{ll}
B&\xrightarrow{r_3-4r_2}\begin{pmatrix}
1 & 2 & -2 & 4\\
0 & 1 & 3 & -1\\
0 & -4 & 3 & -5
\end{pmatrix}\\
&\xrightarrow{r_2\leftrightarrow r_3}\begin{pmatrix}
1 & 2 & -2 & 4\\
0 & -4 & 3 & -5\\
0 & 1 & 3 & -1
\end{pmatrix}\\
&\xrightarrow{r_2+2r_1}\begin{pmatrix}
1 & 2 & -2 & 4\\
2 & 0 & -1 & 3\\
0 & 1 & 3 & -1
\end{pmatrix}\\
&\xrightarrow{r_1\leftrightarrow r_2}\begin{pmatrix}
2 & 0 & -1 & 3\\
1 & 2 & -2 & 4\\
0 & 1 & 3 & -1
\end{pmatrix}=A.
\end{array}
\end{equation*}
5.
证明：
\(E(i,j)=E\left(j(-1)\right)E\left(i,j(1)\right)E\left(j,i(-1)\right)E\left(i,j(1)\right)\)。
解答.
将\(E(i,j(1))\)的第\(i\)行乘以\(-1\)加到第\(j\)行，得
\begin{equation*}
E(j,i(-1))E(i,j(1))=\begin{pmatrix}
1 & & & & & &\\
& \ddots & & & & &\\
& &1 & \cdots & 1 & &\\
& & \vdots & \ddots & \vdots & &\\
& &-1 & \cdots & 0 & &\\
& & & & & \ddots &\\
& & & & & & 1
\end{pmatrix},
\end{equation*}
再将\(E(j,i(-1))E(i,j(1))\)的第\(j\)行乘以\(1\)加到第\(i\)行，得
\begin{equation*}
E(i,j(1))E(j,i(-1))E(i,j(1))\\
=\begin{pmatrix}
1 & & & & & &\\
& \ddots & & & & &\\
& &0 & \cdots & 1 & &\\
& & \vdots & \ddots & \vdots & &\\
& &-1 & \cdots & 0 & &\\
& & & & & \ddots &\\
& & & & & & 1
\end{pmatrix},
\end{equation*}
最后，将\(j\)行乘以\(-1\)，得
\begin{equation*}
E(j(-1))E(i,j(1))E(j,i(-1))E(i,j(1))=E(i,j).
\end{equation*}
6.
请指出以下证明“任一
\(m\times n\)矩阵
\(A\)（
\(m\geq 2\)）必可经过初等行变换化为至少一行全为0的矩阵”中的错误。
“先将\(A\)的第1行加到第2行，第2行加到第1行得矩阵
\begin{equation*}
B=\begin{pmatrix}
a_{11}+a_{21} & a_{12}+a_{22} & \cdots & a_{1n}+a_{2n}\\
a_{11}+a_{21} & a_{12}+a_{22} & \cdots & a_{1n}+a_{2n}\\
a_{31} & a_{32} & \cdots & a_{3n}\\
\vdots & \vdots & & \vdots\\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{pmatrix},
\end{equation*}
再将\(B\)的第1行乘以\(-1\)加到第2行可得第2行全为0的矩阵
\begin{equation*}
C=\begin{pmatrix}
a_{11}+a_{21} & a_{12}+a_{22} & \cdots & a_{1n}+a_{2n}\\
0 & 0 & \cdots & 0\\
a_{31} & a_{32} & \cdots & a_{3n}\\
\vdots & \vdots & & \vdots\\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{pmatrix}.\mbox{”}
\end{equation*}
解答.
将\(A\)的第\(1\)行加到第\(2\)行，得矩阵
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\
a_{11}+a_{21} & a_{12}+a_{22} & \cdots & a_{1n}+a_{2n}\\
a_{31} & a_{32} & \cdots & a_{3n}\\
\vdots & \vdots & & \vdots\\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{pmatrix},
\end{equation*}
再将第\(2\)行加到第\(1\)行得到的矩阵是
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
2a_{11}+a_{12} & 2a_{12}+a_{22} & \cdots & 2a_{1n}+a_{2n}\\
a_{11}+a_{21} & a_{12}+a_{22} & \cdots & a_{1n}+a_{2n}\\
a_{31} & a_{32} & \cdots & a_{3n}\\
\vdots & \vdots & & \vdots\\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{pmatrix}.
\end{equation*}
挑战题.
7.
设
\(A=\begin{pmatrix}
a & 0\\
0 & a^{-1}
\end{pmatrix}\)，其中
\(a\neq 0\)。证明：
\(A\)可表示成若干消法矩阵的乘积。
解答.
对\(A\)施行如下行消法变换，得
\begin{equation*}
\begin{array}{ll}
A&\xrightarrow{r_2+r_1}\begin{pmatrix}
a&0\\a&a^{-1}
\end{pmatrix}\xrightarrow{r_1+\frac{1-a}{a}r_2}\begin{pmatrix}
1&\frac{1-a}{a^2}\\a&a^{-1}
\end{pmatrix}\\
&\xrightarrow{r_2-ar_1}\begin{pmatrix}
1&\frac{1-a}{a^2}\\0&1
\end{pmatrix}\xrightarrow{r_1-\frac{1-a}{a^2}r_2}E_2,\end{array}
\end{equation*}
故\(E_2\)可经过若干行消法变换化为\(A\)
\begin{equation*}
\begin{array}{ll}
E_2&\xrightarrow{r_1+\frac{1-a}{a^2}r_2}\begin{pmatrix}
1&\frac{1-a}{a^2}\\0&1
\end{pmatrix}\xrightarrow{r_2+ar_1}\begin{pmatrix}
1&\frac{1-a}{a^2}\\a&a^{-1}
\end{pmatrix}\\
&\xrightarrow{r_1-\frac{1-a}{a}r_2}\begin{pmatrix}
a&0\\a&a^{-1}
\end{pmatrix}\xrightarrow{r_2-r_1}\begin{pmatrix}
a & 0\\
0 & a^{-1}
\end{pmatrix}=A,
\end{array}
\end{equation*}
即
\begin{equation*}
E(2,1(-1))E(1,2(\frac{a-1}{a}))E(2,1(a))E(1,2(\frac{1-a}{a^2}))E_2=A.
\end{equation*}
因此
\begin{equation*}
A=E(2,1(-1))E(1,2(\frac{a-1}{a}))E(2,1(a))E(1,2(\frac{1-a}{a^2}))
\end{equation*}
可表示成若干消法矩阵的乘积。
8.
设
\(A\)是
\(n\)阶方阵，证明：
\(A\)是置换矩阵的充分必要条件为
\(A\)可表示成若干互换矩阵的乘积。
解答.
充分性：由于互换矩阵是特殊的置换矩阵，由
项 2.3.12.b知置换矩阵的乘积仍是置换矩阵，因此有限个互换矩阵的乘积
\(A\)仍是置换矩阵。
必要性：因为
\(A\)是
\(n\)阶置换矩阵，所以
\(A\)的行向量组可视为
\(E_n\)的行向量组
\(\varepsilon_1^T,\ldots ,\varepsilon_n^T\)适当调整行的次序得到的，即
\(E_n\)适当左乘若干互换矩阵可得到
\(A\)。因此
\(A\)可表示成若干互换矩阵的乘积。
