节 8.3 酉矩阵、正交矩阵与标准型
建设中！
练习 练习
提高题.
2.
设\(\varphi\)是欧氏空间\(V\)上的变换，且对任意\(\alpha,\beta\in V\)，都有
\begin{equation*}
\left(\varphi(\alpha),\varphi(\beta)\right)=\left(\alpha,\beta\right),
\end{equation*}
证明：\(\varphi\)是线性变换，因而是正交变换。
3.
4.
5.
挑战题.
6.
7.
设\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_m\)和\(\beta_1,\beta_2,\cdots ,\beta_m\)是\(n\)维欧氏空间\(V\)中的两个向量组，证明：存在\(V\)上的一个正交变换\(\varphi\)，使得
\begin{equation*}
\varphi(\alpha_i)=\beta_i,\ i=1,2,\cdots ,m
\end{equation*}
的充分必要条件是
\begin{equation*}
\left(\alpha_i,\alpha_j\right)=\left(\beta_i,\beta_j\right),\ i,j=1,2,\cdots ,m.
\end{equation*}
8.
记
\begin{equation*}
R_{xy}= \left\{ \left.\begin{pmatrix}
\cos\theta & -\sin\theta & 0 \\
\sin\theta & \cos\theta & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}\right| \theta\in \R \right\},\quad \mbox{（xoy平面上的旋转）}
\end{equation*}
\begin{equation*}
R_{yz}= \left\{ \left.\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & \cos\theta & -\sin\theta \\
0 & \sin\theta & \cos\theta
\end{pmatrix}\right| \theta\in \R \right\},\quad \mbox{（yoz平面上的旋转）}
\end{equation*}
证明：对欧氏空间\(\R^3\)上的第一类正交变换\(A\)，存在\(B_1,B_2\in R_{xy}\)，\(C\in R_{yz}\)，使得
\begin{equation*}
A = B_1CB_2.
\end{equation*}
