主要内容

高等代数教学辅导

刘月, 唐丽丹, 周宏

节 8.3 酉矩阵、正交矩阵与标准型

建设中！
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练习 练习

基础题.

1.
证明：酉（正交）相似关系是等价关系。
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解答.
  • 自反性：对任意\(n\)阶方阵\(A\)，取酉矩阵\(U = E_n\)，有 \(A = U^HAU \)，故\(A\)酉相似于自身。
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  • 对称性：若\(A\)酉相似于\(B\)，则存在酉矩阵\(U\)使得\(B = U^HAU\)。由\(U\)是酉矩阵知\(U^H\)也是酉矩阵，又\(A = (U^H)^HB U^H\) ，因此\(B\)酉相似于\(A\)。
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  • 传递性：若\(A\)酉相似于\(B\)，\(B\)酉相似于\(C\)，则存在酉矩阵 \(U,V\)使得
    \begin{gather*} \end{gather*}
    于是
    \begin{gather*} \end{gather*}
    注意到\(U,V\)是酉矩阵，所以\(UV\)也是酉矩阵，因此\(A\)酉相似于\(C\)。
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2.
设\(A\)是\(n\)阶幂零矩阵，且\(A\neq {\bf 0}\)，证明：\(A\)不可能酉相似于对角矩阵。
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解答.
假设\(A\)酉相似于对角矩阵\({\rm diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)\)，则 \(\lambda_1,\dots,\lambda_n\)是\(A\)的全部特征值。由于\(A\)是幂零矩阵，所以\(A\)的特征值只能为\(0\)，故\(A\)酉相似于零矩阵。而酉相似于零矩阵的只能是零矩阵，这与\(A\neq {\bf 0}\)相矛盾，因此\(A\)不可能酉相似于对角矩阵。
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3.
设\(A\)是\(n\)阶正交矩阵且\(\det A =-1\)。证明：\(-1\)是\(A\)的特征值。
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解答.
因为\(A\)是正交矩阵，所以存在正交矩阵\(Q\)使得
\begin{align*} \end{align*}
这里\(\cos\theta_1\pm\sin\theta_1,\dots,\cos\theta_l\pm\sin\theta_l,1,\dots,1,-1,\dots,-1\)是\(A\)的全部特征值，其中\(-1\)代数重数为\(s\)。 两边同取行列式得
\begin{align*} \end{align*}
由题设\(\det A=-1\)知\(s > 0\)，因此\(-1\)是\(A\)的特征值。
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4.
设\(A\)是\(n\)阶正交矩阵，其特征值均为实数，证明：\(A\)是实对称矩阵。
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解答.
因为正交矩阵\(A\)的特征值全为实数，所以存在正交矩阵\(Q\)使得
\begin{equation} A = Q^{-1}\begin{pmatrix} E_r & {\bf 0}\\ {\bf 0} & -E_s\end{pmatrix}Q. \tag{8.3.1} \end{equation}
注意到\(Q^{-1}=Q^T\)，所以(8.3.1)两边同取转置得
\begin{align*} \end{align*}
因此\(A\)是实对称矩阵。
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提高题.

5.
设\(\phi\)是欧氏空间\(V\)上的变换，且对任意\(\alpha,\beta\in V\)，都有
\begin{gather*} \end{gather*}
证明：\(\phi\)是线性变换，因而是正交变换。
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解答.
对任意\(\alpha,\beta\in V, a,b\in\mathbb{R}\)，根据已知条件，有
\begin{align*} \end{align*}
则\(\phi(a\alpha+b \beta)-a\phi(\alpha)-b\phi(\beta)=0\)，即
\begin{gather*} \end{gather*}
由此可知\(\phi\)是线性变换，因而是正交变换。
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6.
设\(\phi\)是正交变换，\(U\)是\(\phi\)-子空间，证明：\(U^\perp\)也是\(\phi\)-子空间。
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解答.
证法一：由\(\phi\)是正交变换可知，\(\phi^{-1}\)也是正交变换。故\(\forall\alpha\in U^\perp ,\beta\in U\)，
\begin{gather*} \end{gather*}
因为\(U\)是\(\phi\)-不变子空间且\(\phi\)可逆，所以\(U\)也是\(\phi^{-1}\)-不变子空间，于是\(\phi^{-1}(\beta)\in U\)，则
\begin{gather*} \end{gather*}
即\(\phi(\alpha)\in U^\perp\)。因此\(U^\perp\)也是\(\phi\)-不变子空间。
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证法二：设\(\xi_1,\dots ,\xi_r\)是\(U\)的一个标准正交基，将其扩充为\(V\)的一个标准正交基\(\xi_1,\dots ,\xi_r,\xi_{r+1},\dots ,\xi_n\)，则
\begin{gather*} \end{gather*}
因\(\phi\)是正交变换，所以\(\phi(\xi_1),\dots ,\phi(\xi_r),\phi(\xi_{r+1}),\dots ,\phi(\xi_n)\)也是\(V\)的一个标准正交基。故\(\phi(\xi_1),\dots ,\phi(\xi_r)\)线性无关。又\(U\)是\(\phi\)-不变子空间，所以\(\phi(\xi_1),\dots ,\phi(\xi_r)\in U\)。因此\(\phi(\xi_1),\dots ,\phi(\xi_r)\)是\(U\)的一个基。
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对任意\(r+1\leq i \leq n, 1\leq j\leq r\)，由
\begin{gather*} \end{gather*}
得\(\phi(\xi_i)\in U^\perp\)。因此\(U^\perp\)也是\(\phi\)-不变子空间。
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证法三：设\(\xi_1,\dots ,\xi_r\)是\(U\)的一个标准正交基，将其扩充为\(V\)的一个标准正交基\(\xi_1,\dots ,\xi_r,\xi_{r+1},\dots ,\xi_n\)，则
\begin{gather*} \end{gather*}
因为\(U\)是\(\phi\)-不变子空间，所以
\begin{align*} \end{align*}
又因为\(\phi\)是正交变换，故\(\begin{pmatrix} A&B\\{\bf 0}&C \end{pmatrix}\)是正交矩阵，则\(\begin{pmatrix} A&B\\{\bf 0}&C \end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix} A&B\\{\bf 0}&C \end{pmatrix}^T\)，即
\begin{align*} \end{align*}
则\(B={\bf 0}\)。从而\(U^\perp\)也是\(\phi\)-不变子空间。
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7.
设\(\phi\)是酉变换，证明：\(\phi\)的属于不同特征值的特征向量必正交。
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解答.
设\(\lambda, \mu\)是\(\phi\)的两个不同的特征值，\(\alpha ,\beta\)分别是\(\phi\)的属于\(\lambda, \mu\)的特征向量，则
\begin{gather*} \end{gather*}
由\((\phi(\alpha),\phi(\beta))=(\alpha,\beta)\)得
\begin{gather*} \end{gather*}
注意到\(\left|\mu\right|=1\)且\(\lambda\neq \mu\)，所以\(\lambda\overline{\mu}\neq 1\)。因此\((\alpha,\beta)=0\)。
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8.
设\(\xi,\eta\)是\(n\)维欧氏空间\(V\)中两个不同的单位向量，证明：存在一个镜面反射\(\phi\)，使得\(\phi(\xi)=\eta\)。
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解答.
令\(\alpha=\frac{\xi- \eta}{\|\xi-\eta\|}\)，则\(\alpha\)是单位向量。定义\(V\)上变换\(\phi\)如下
\begin{gather*} \end{gather*}
则\(\phi\)是镜面反射，且
\begin{align*} \end{align*}
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9.
设\(A\)是\(n\)阶正交矩阵。证明：\(A\)是第一类正交矩阵的充分必要条件是存在正交矩阵\(B\)，使得\(A=B^2\)。
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解答.
充分性：由于\(B\)是正交矩阵，所以\(\det B=\pm 1\)。又\(A=B^2\)，两边同取行列式得
\begin{gather*} \end{gather*}
必要性：因为\(A\)是正交矩阵，所以存在正交矩阵\(Q\)使得
\begin{align*} \end{align*}
由于\(\det A=1\)，所以\(s\)为偶数，设\(s=2t\)。注意到
\begin{align*} \end{align*}
所以令 \(B=Q^{-1}{\rm diag}\left(B_1, \dots , B_l, E_r, C_1, \dots ,C_t\right)Q\)， 其中\(B_i=\begin{pmatrix} \cos\frac{\theta_i}{2} & -\sin\frac{\theta_i}{2}\\ \sin\frac{\theta_i}{2} & \cos\frac{\theta_i}{2}\end{pmatrix},C_j =\begin{pmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0\end{pmatrix},i=1,\dots,l,j=1,\dots,t\)， 则\(B\)是正交矩阵，且\(A=B^2\)。
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挑战题.

10.
证明：\(n\)维欧氏空间\(V\)中任意正交变换\(\phi\)都可以表为一系列镜面反射的乘积。
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解答.
证法一：设\(\xi_1,\dots ,\xi_n\)是\(V\)的一个标准正交基，\(\eta_i=\phi(\xi_i),i=1,\dots ,n\)。由\(\phi\)是正交变换知，\(\eta_1,\dots ,\eta_n\)也是\(V\)的一个标准正交基。
  1. 若\(\xi_i=\eta_i(i=1,2,\cdots ,n)\)，令\(\phi_1(\alpha)=\alpha-2(\xi_1,\alpha)\xi_1\)，则
    \begin{gather*} \end{gather*}
    故\(\phi_1\)是镜面反射且\(\phi=\phi_1\phi_1\)。
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  2. 若\(\xi_1,\cdots ,\xi_n\)与\(\eta_1,\cdots ,\eta_n\)不尽相同，不妨设\(\xi_1\neq \eta_1\)，那么由上题结论，存在镜面反射\(\phi_1\)，使得
    \begin{gather*} \end{gather*}
    即
    \begin{gather*} \end{gather*}
    • 若\(\eta_j=\zeta_j(j=2,\cdots ,n)\)，则\(\phi=\phi_1\)，结论成立。
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    • 否则，不妨假设\(\eta_2\neq\zeta_2\)，令镜面反射
      \begin{gather*} \end{gather*}
      则\(\phi_2(\eta_2)=\zeta_2\)。注意到\((\eta_2,\eta_1)=(\zeta_2,\eta_1)=0\)，所以\(\phi_2(\eta_1)=\eta_1\)。于是
      \begin{gather*} \end{gather*}
      依此类推，
      \begin{gather*} \end{gather*}
      \begin{gather*} \end{gather*}
      故\(\phi=\phi_s\phi_{s-1}\cdots\phi_1\)，其中\(\phi_i\)都是镜面反射\((i=1,2,\cdots,s)\)。
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证法二：对维数\(n\)用数学归纳法。
  1. 当\(n=1\)时，设\(\xi\)是\(V\)的一个标准正交基，定义镜面反射
    \begin{gather*} \end{gather*}
    因\(\phi\)是正交变换，所以\(\phi={\rm id}_V\)或\(-{\rm id}_V\)。
    1. 当\(\phi=-{\rm id}_V\) 时，则\(\phi=\psi\)是一个镜面反射。
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    2. 当\(\phi={\rm id}_V\)时，则\(\phi=\psi\psi\)是两个镜面反射的乘积。
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  2. 假设对于\(n-1\)维欧氏空间结论成立。对\(n\)维欧氏空间\(V\)上的任一正交变换\(\phi\)，
    1. 若\(\phi={\rm id}_V\)，则\(\phi=\psi\psi\)，其中\(\psi\)是任一镜面反射。
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    2. 若\(\phi\neq {\rm id}_V\)，则存在\(V\)中单位向量\(\xi_1\)，使得\(\phi(\xi_1)\neq \xi_1\)。令\(\eta_1=\phi(\xi_1)\)，由\(\phi\)是正交变换知，\(\|\eta_1\|=\|\phi(\xi_1)\|=\|\xi_1\|=1\)。由上题结论知，存在镜面反射\(\phi_1\)，使得\(\phi_1(\eta_1)=\xi_1\)，则\(\phi_1\phi(\xi_1)=\xi_1\)，即\(U=\langle \xi_1\rangle\)是\(\phi_1\phi\)-不变子空间。由于\(\phi_1\phi\)仍是正交变换，所以由 练习 8.3.6 结论可知，\(U^\perp\)也是\(\phi_1\phi\)-不变子空间。故\(\left. (\phi_1\phi)\right|_{U^\perp}\)是正交变换，其中\(\dim U^\perp =n-1\)。由归纳假设，在\(U^\perp\)内存在单位向量\(\xi_2,\cdots,\xi_s\)，它们分别决定\(U^\perp\)上的镜面反射\(\phi_2,\cdots ,\phi_s\)，使得
      \begin{gather*} \end{gather*}
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现将\(\phi_i(i=2,\cdots, s)\)定义范围扩大到\(V\)上，即补充定义\(\phi_i(\xi_1)=\xi_1\)。
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\(\forall \alpha\in V\)，存在唯一的\(\alpha_1=a \xi_1\in U, \alpha_2\in U^\perp\)，使得\(\alpha=\alpha_1+\alpha_2\)，注意到
\begin{gather*} \end{gather*}
所以
\begin{align*} \end{align*}
即\(\phi_i\)是\(\xi_i\)在\(V\)上确定的镜面反射。又
\begin{align*} \end{align*}
所以\(\phi_1\phi=\phi_2\cdots \phi_s\)。注意到\(\phi_1^2={\rm id}_V\)，上式两边同时左乘\(\phi_1\)，得
\begin{gather*} \end{gather*}
是一系列镜面反射的乘积。
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11.
设\(\alpha_1,\dots,\alpha_m\)和\(\beta_1,\dots,\beta_m\)是\(n\)维欧氏空间\(V\)中的两个向量组，证明：存在\(V\)上的一个正交变换\(\phi\)，使得
\begin{gather*} \end{gather*}
的充分必要条件是
\begin{gather*} \end{gather*}
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解答.
必要性：因为\(\phi\)是正交变换且\(\phi(\alpha_i)=\beta_i\)，所以
\begin{gather*} \end{gather*}
充分性：设\(\alpha_1,\dots ,\alpha_r\)是\(\alpha_1,\dots ,\alpha_m\)的一个极大无关组，则
\begin{gather*} \end{gather*}
这里\(G(\alpha_1,\dots ,\alpha_r)=\left((\alpha_i,\alpha_j)\right)_{r\times r}\)。由\(\left(\alpha_i,\alpha_j\right)=\left(\beta_i,\beta_j\right)\)知
\begin{gather*} \end{gather*}
故\(\beta_1,\dots ,\beta_r\)线性无关。
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由\(\alpha_1,\dots ,\alpha_r\)是\(\alpha_1,\dots ,\alpha_m\)的一个极大无关组知\(\forall 1\leq i\leq m\)，存在\(a_{1i},\dots ,a_{ri}\in\mathbb{R}\)，使得\(\alpha_i=a_{1i}\alpha_1+\dots +a_{ri}\alpha_r\)，则
\begin{align*} \end{align*}
即\(\beta_i=a_{1i}\beta_1+\cdots +a_{ri}\beta_r\)，故\(\beta_1,\dots,\beta_r\)是向量组\(\beta_1,\dots ,\beta_m\)的一个极大无关组。令\(U_1=\langle \alpha_1,\dots ,\alpha_m\rangle ,\ U_2=\langle \beta_1,\dots ,\beta_m\rangle\)，则\(\dim U_1=\dim U_2=r\)。
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定义\(U_1\)到\(U_2\)的线性映射\(\phi_1\)，满足\(\phi_1(\alpha_i)=\beta_i,\ i=1,\dots ,r\)，则\(\phi_1\)是线性同构。由\(\left(\alpha_i,\alpha_j\right)=\left(\beta_i,\beta_j\right)\)知：\(\forall \alpha=\sum\limits_{k=1}^r a_k \alpha_k ,\beta=\sum\limits_{l=1}^r b_l \alpha_l\in U_1\)，有
\begin{align*} \end{align*}
故\(\phi_1\)是欧氏空间\(U_1\)到\(U_2\)的同构映射。
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又因为\(\dim U_1^\bot=\dim U_2^\bot=n-r\)，所以存在欧氏空间同构映射
\begin{gather*} \end{gather*}
注意到\(V=U_1\oplus U_1^\bot\)，所以可定义\(V\)上的变换\(\phi\)如下
\begin{gather*} \end{gather*}
不难验证，\(\phi\)是\(V\)上的线性变换，下证\(\phi\)保内积。对任意\(X,Y\in V\)，存在唯一的\(X_1,Y_1\in U_1, X_2,Y_2\in U_1^\bot\)，使得\(X=X_1+X_2,\ Y=Y_1+Y_2\)，则
\begin{align*} \end{align*}
即\(\phi\)保内积，进而\(\phi\)是正交变换，且对\(i=1,\dots,m\)，有
\begin{align*} \end{align*}
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12.
记
\begin{align*} \end{align*}
\begin{align*} \end{align*}
证明：对欧氏空间\(\R^3\)上的第一类正交变换\(A\)，存在\(B_1,B_2\in R_{xy}\)，\(C\in R_{yz}\)，使得
\begin{gather*} \end{gather*}
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