特征值与特征向量

矩阵\(A\)的特征多项式为

\begin{equation*} \chi_A(\lambda)=\begin{vmatrix} \lambda-6&-2&-4\\-2&\lambda-3&-2\\-4&-2&\lambda-6 \end{vmatrix}= (\lambda-11)(\lambda-2)^2, \end{equation*}

解得\(A\)的特征值为\(\lambda_1=11, \lambda_2=\lambda_3=2\)。

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对于特征值\(\lambda_1=11\)，解齐次线性方程组\((11E_3-A)X=0\)，即

\begin{equation*} \begin{pmatrix} 5&-2&-4\\-2&8&-2\\-4&-2&5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix}, \end{equation*}

得基础解系\(X_1=(2,1,2)^T\)。故属于\(\lambda_1=11\)的特征向量为\(c_1X_1\)，其中\(c_1\)是\(\mathbb{F}\)中任意非零常数。

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对于特征值\(\lambda_2=\lambda_3=2\)，解齐次线性方程组\((2E_3-A)X=0\)，即

\begin{equation*} \begin{pmatrix} -4&-2&-4\\-2&-1&-2\\-4&-2&-4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix}, \end{equation*}

得基础解系\(X_2=(-1,2,0)^T,X_3=(-1,0,1)^T\)。故属于\(\lambda_2=\lambda_3=2\)的特征向量为\(c_2X_2+c_3X_3\)，其中\(c_2,c_3\)是\(\mathbb{F}\)中不全为0的常数。

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矩阵\(A\)的特征多项式为

\begin{equation*} \chi_A(\lambda)=\begin{vmatrix} \lambda-1&0&0\\0&\lambda-a&-b\\0&0&\lambda-c \end{vmatrix}= (\lambda-1)(\lambda-a)(\lambda-c). \end{equation*}

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以下分5种情况考虑特征值、特征向量。
1. 当\(a=c=1\)时，\(\chi_A(\lambda)=(\lambda-1)^3\)，\(A\)的特征值为
  
  \begin{equation*} \lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=1. \end{equation*}
  
  对于\(\lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=1\)，解齐次线性方程组\((E_3-A)X=0\)，即
  
  \begin{equation*} \begin{pmatrix} 0&0&0\\0&0&-b\\0&0&0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix}, \end{equation*}
  
  得基础解系\(X_1=(1,0,0)^T,X_2=(0,1,0)^T\)。此时，属于\(\lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=1\)的特征向量为\(c_1X_1+c_2X_2\)，其中\(c_1,c_2\)是\(\mathbb{F}\)中不全为0的常数。
  
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2. 当\(a=c\neq 1\)时，\(\chi_A(\lambda)=(\lambda-1)(\lambda-a)^2\)，\(A\)的特征值为
  
  \begin{equation*} \lambda_1=1,\lambda_2=\lambda_3=a. \end{equation*}
  
  对于\(\lambda_1=1\)，解齐次线性方程组\((E_3-A)X=0\)，即
  
  \begin{equation*} \begin{pmatrix} 0&0&0\\0&1-a&-b\\0&0&1-a \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix}, \end{equation*}
  
  得基础解系\(X_1=(1,0,0)^T\)。此时，属于\(\lambda_1=1\)的特征向量为\(c_1X_1\)，其中\(c_1\)是\(\mathbb{F}\)中非零的常数。
  
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  对于\(\lambda_2=\lambda_3=a\)，解齐次线性方程组\((aE-A)X=0\)，即
  
  \begin{equation*} \begin{pmatrix} a-1&0&0\\0&0&-b\\0&0&0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix}, \end{equation*}
  
  得基础解系\(X_2=(0,1,0)^T\)。此时，属于\(\lambda_2=\lambda_3=a\)的特征向量为\(c_2X_2\)，其中\(c_2\)是\(\mathbb{F}\)中非零的常数。
  
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3. 当\(a=1,c\neq 1\)时，\(\chi_A(\lambda)=(\lambda-1)^2(\lambda-c)\)，\(A\)的特征值为
  
  \begin{equation*} \lambda_1=\lambda_2=1,\lambda_3=c. \end{equation*}
  
  对于\(\lambda_1=\lambda_2=1\)，解齐次线性方程组\((E_3-A)X=0\)，即
  
  \begin{equation*} \begin{pmatrix} 0&0&0\\0&0&-b\\0&0&1-c \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix}, \end{equation*}
  
  得基础解系\(X_1=(1,0,0)^T,X_2=(0,1,0)^T\)。此时，属于\(\lambda_1=\lambda_2=1\)的特征向量为\(c_1X_1+c_2X_2\)，其中\(c_1,c_2\)是\(\mathbb{F}\)中不全为0的常数。
  
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  对于\(\lambda_3=c\)，解齐次线性方程组\((cE-A)X=0\)，即
  
  \begin{equation*} \begin{pmatrix} c-1&0&0\\0&c-1&-b\\0&0&0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix}, \end{equation*}
  
  得基础解系\(X_3=(0,b,c-1)^T\)。此时，属于\(\lambda_3=c\)的特征向量为\(c_3X_3\)，其中\(c_3\)是\(\mathbb{F}\)中非零的常数。
  
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4. 当\(a\neq 1,c=1\)时，\(\chi_A(\lambda)=(\lambda-1)^2(\lambda-a)\)，\(A\)的特征值为
  
  \begin{equation*} \lambda_1=\lambda_2=1,\lambda_3=a. \end{equation*}
  
  对于\(\lambda_1=\lambda_2=1\)，解齐次线性方程组\((E_3-A)X=0\)，即
  
  \begin{equation*} \begin{pmatrix} 0&0&0\\0&1-a&-b\\0&0&0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix}, \end{equation*}
  
  得基础解系\(X_1=(1,0,0)^T,X_2=(0,b,1-a)^T\)。此时，属于\(\lambda_1=\lambda_2=1\)的特征向量为\(c_1X_1+c_2X_2\)，其中\(c_1,c_2\)是\(\mathbb{F}\)中不全为0的常数。
  
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  对于\(\lambda_3=a\)，解齐次线性方程组\((aE-A)X=0\)，即
  
  \begin{equation*} \begin{pmatrix} a-1&0&0\\0&0&-b\\0&0&a-c \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix}, \end{equation*}
  
  得基础解系\(X_3=(0,1,0)^T\)。此时，属于\(\lambda_3=a\)的特征向量为\(c_3X_3\)，其中\(c_3\)是\(\mathbb{F}\)中非零的常数。
  
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5. 当\(a,c,1\)两两不同时，\(\chi_A(\lambda)=(\lambda-1)(\lambda-a)(\lambda-c)\)，\(A\)的特征值为
  
  \begin{equation*} \lambda_1=1,\lambda_2=a,\lambda_3=c. \end{equation*}
  
  对于\(\lambda_1=1\)，解齐次线性方程组\((E_3-A)X=0\)，即
  
  \begin{equation*} \begin{pmatrix} 0&0&0\\0&1-a&-b\\0&0&1-c \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix}, \end{equation*}
  
  得基础解系\(X_1=(1,0,0)^T\)。此时，属于\(\lambda_1=1\)的特征向量为\(c_1X_1\)，其中\(c_1\)是\(\mathbb{F}\)中非零常数。
  
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  对于\(\lambda_2=a\)，解齐次线性方程组\((aE-A)X=0\)，即
  
  \begin{equation*} \begin{pmatrix} a-1&0&0\\0&0&-b\\0&0&a-c \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix}, \end{equation*}
  
  得基础解系\(X_2=(0,1,0)^T\)。此时，属于\(\lambda_3=a\)的特征向量为\(c_2X_2\)，其中\(c_2\)是\(\mathbb{F}\)中非零的常数。
  
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  对于\(\lambda_3=c\)，解齐次线性方程组\((cE-A)X=0\)，即
  
  \begin{equation*} \begin{pmatrix} c-1&0&0\\0&c-a&-b\\0&0&0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix}, \end{equation*}
  
  得基础解系\(X_3=(0,b,c-a)^T\)。此时，属于\(\lambda_3=c\)的特征向量为\(c_3X_3\)，其中\(c_3\)是\(\mathbb{F}\)中非零的常数。
  
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4.

设矩阵\(A=\begin{pmatrix} -2&0&0\\2&a&2\\3&1&1 \end{pmatrix}\)、\(B=\begin{pmatrix} -1&0&0\\0&2&0\\0&0&b \end{pmatrix}\)相似，求\(a,b\)和\(A\)的特征值。

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解答.

因为\(A\)、\(B\)相似，所以\(A\)、\(B\)有相同的特征值。注意到\(-2\)是\(A\)的一个特征值，所以\(-2\)也是\(B\)的一个特征值。而\(B\)的全部特征值为\(-1,2,b\)，故\(b=-2\)，相应\(A\)的特征值为\(-1\)，\(-2\)，\(2\)。

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由\(A\)、\(B\)相似可知\({{\rm{tr}}}(A)={{\rm{tr}}(B)}\)，即\(a-1=b+1\)，因此\(a=0\)。

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5.

设\(3\)阶方阵\(A\)的特征值为\(\lambda_1=\lambda_2=1,\lambda_3=-4\)，求\({\rm tr} (A)\)和\(\det A\)。

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解答.

\({\rm tr}(A)=\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=-2\)，\(\det A =\lambda_1\lambda_2\lambda_3= -4\)。

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6.

设\(X=(a_1,\dots,a_n)\)且\(XX^T=1\)，求\(E_n-2X^TX\)的特征值。

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解答.

记\(M=E_n-2X^TX\)，则

\begin{equation*} \chi_M(\lambda)=\det(\lambda E_n-M)=\det [(\lambda-1)E_n+2X^TX]. \end{equation*}

注意到\(\forall A\in\mathbb{F}^{m\times n},B\in\mathbb{F}^{n\times m}\)，

\begin{equation*} \det (\lambda E_m-AB)=\lambda^{m-n} \det (\lambda E_n-BA), \end{equation*}

故

\begin{equation*} \chi_M(\lambda)=(\lambda-1)^{n-1}\det[(\lambda-1)E_1+2XX^T]. \end{equation*}

根据题设\(XX^T=1\)，得

\begin{equation*} \chi_M(\lambda)=(\lambda-1)^{n-1}(\lambda+1). \end{equation*}

因此\(M=E_n-2X^TX\)的特征值为

\begin{equation*} \lambda_1=\lambda_2=\dots =\lambda_{n-1}=1,\lambda_n=-1. \end{equation*}

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提高题.

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7.

设\(A\)是\(\mathbb{C}\)上\(m\times n\)矩阵，\(\lambda\)是\(\overline{A}^TA\)的一个特征值，证明：\(\lambda\)是非负实数。

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解答.

设\(\lambda\)是\(\overline{A}^TA\)的特征值，则存在\(0\neq X\in\mathbb{C}^n\)，使得\(\overline{A}^TAX=\lambda X\)。两边同时左乘\(\overline{X}^T\)，得

\begin{equation*} \overline{X}^T\overline{A}^TAX=\overline{X}^T(\lambda X), \end{equation*}

即

\begin{equation*} (\overline{AX})^T(AX)=\lambda (\overline{X}^TX). \end{equation*}

设\(X=(x_1,\dots ,x_n)^T\in\mathbb{C}^n, AX=(y_1,\dots ,y_m)^T\in\mathbb{C}^m\)，由\(X\neq 0\)可知

\begin{equation*} \overline{X}^TX=\overline{x_1}x_1+\dots +\overline{x_n}x_n \end{equation*}

是正实数，而

\begin{equation*} (\overline{AX})^T(AX)=\overline{y_1}y_1+\dots +\overline{y_m}y_m \end{equation*}

是非负实数，故

\begin{equation*} \lambda=\frac{(\overline{AX})^T(AX)}{\overline{X}^TX}=\frac{\overline{y_1}y_1+\dots +\overline{y_m}y_m}{\overline{x_1}x_1+\dots +\overline{x_n}x_n} \end{equation*}

是非负实数。

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8.

证明：如果任意非零向量都是方阵\(A\)的特征向量，则\(A\)是数量矩阵。

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解答.

设\(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\dots ,\varepsilon_n\)是\(n\)维标准单位列向量，由题设它们都是\(A\)的特征向量，即存在特征值\(\lambda_i\)使得\(A \varepsilon_i=\lambda_i \varepsilon_i\)，故

\begin{equation*} A(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\dots ,\varepsilon_n)=(\lambda_1\varepsilon_1,\lambda_2\varepsilon_2,\dots ,\lambda_n\varepsilon_n), \end{equation*}

则\(A={\rm{diag}}(\lambda_1,\lambda_2,\cdots ,\lambda_n)\)。又\(X=(1,1,\dots ,1)^T\)也是\(A\)的特征向量，故存在\(\mu\in\mathbb{F}\)使得\(AX=\mu X\)，即\((\lambda_1,\lambda_2,\dots ,\lambda_n)^T=(\mu,\mu,\dots ,\mu)^T\)，因此\(\lambda_1=\dots=\lambda_n=\mu\)，由此可知\(A=\mu E_n\)是数量矩阵。

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9.

设\(\alpha,\beta\)是矩阵\(A\)对应于不同特征值\(\lambda,\mu\)的特征向量，证明：\(\alpha+\beta\)不是\(A\)的特征向量。

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解答.

假设\(\alpha+\beta\)是\(A\)的特征向量，则存在\(a\in\mathbb{F}\)，使得

\begin{equation*} A(\alpha+\beta)=a(\alpha+\beta), \end{equation*}

即\(A\alpha+A\beta=a\alpha+a\beta\)。由已知，\(A\alpha=\lambda \alpha,A\beta=\mu \beta\)，所以

\begin{equation*} (\lambda-a)\alpha+(\mu-a)\beta=0. \end{equation*}

注意到属于不同特征值\(\lambda,\mu\)的特征向量\(\alpha,\beta\)线性无关，所以

\begin{equation*} \lambda-a=\mu-a=0. \end{equation*}

则\(\lambda=\mu=a\)，这与\(\lambda\neq \mu\)相矛盾。因此，\(\alpha+\beta\)不是\(A\)的特征向量。

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10.

设\(\phi\)是\(n\)维线性空间\(V\)上的线性变换，\(V\)有一个子空间直和分解\(V=V_1\oplus \cdots\oplus V_m,\)其中\(V_i\)是\(\phi\)-不变子空间。设\(\phi\)限制在\(V_i\)上的特征多项式为\(\chi_i(\lambda)\)，证明：\(\phi\)的特征多项式\(\chi_\phi(\lambda)=\chi_1(\lambda)\cdots \chi_m(\lambda)\)。

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解答.

设\(\xi_{i1},\dots,\xi_{in_i}\)是\(V_i\)的基，\(i=1,\dots,m\)。由于\(V=V_1\oplus \cdots\oplus V_m\)，所以 \(\xi_{11},\dots ,\xi_{1n_1},\xi_{21},\dots,\xi_{2n_2},\dots,\xi_{m1},\dots ,\xi_{mn_m}\)是\(V\)的一个基。注意到\(V_i\)是\(\phi\)-不变子空间，所以\(\phi\)在基

\begin{equation*} \xi_{11},\dots ,\xi_{1n_1},\xi_{21},\dots ,\xi_{2n_2},\dots ,\xi_{m1},\cdots ,\xi_{mn_m} \end{equation*}

下的矩阵为

\begin{equation*} A=\begin{pmatrix} A_1&&&\\ &A_2&&\\ &&\ddots&\\ &&&A_m \end{pmatrix}, \end{equation*}

其中\(A_i\)是\(\phi|_{V_i}\)在基\(\xi_{i1},\dots ,\xi_{in_i}\)下的矩阵。因此\(\phi\)的特征多项式

\begin{equation*} \begin{array}{ll} \chi_\phi(\lambda) & =\chi_A(\lambda)=\begin{vmatrix} \lambda E-A_1&&&\\ &\lambda E-A_2&&\\ &&\ddots&\\ &&&\lambda E-A_m \end{vmatrix}\\ & =\chi_1(\lambda)\chi_2(\lambda)\cdots \chi_m(\lambda). \end{array} \end{equation*}

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11.

设\(\phi\)是\(\mathbb{F}\)上\(n\)维线性空间\(V \)的线性变换，\(\lambda_0\)是\(\phi\)的一个特征值，\(n_0\)是\(\lambda_0\)在特征多项式\(\chi_\phi (\lambda)\)中的重数，证明：\(\dim V_{\lambda_0}\leq n_0\)。

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解答.

设\(\xi_1,\dots,\xi_{s_0}\)是\(V_{\lambda_0}\)的一个基，将其扩充为\(V\)的一个基

\begin{equation*} \xi_1,\dots,\xi_{s_0},\xi_{s_0+1},\dots,\xi_n, \end{equation*}

则\(\phi\)在基\(\xi_1,\dots ,\xi_{s_0},\xi_{s_0+1},\dots ,\xi_n\)下的矩阵为

\begin{equation*} A=\begin{pmatrix} \lambda_0 E_{s_0}&B\\ 0&C \end{pmatrix}. \end{equation*}

于是

\begin{equation*} \chi_{\phi}(\lambda)=\chi_A(\lambda)=\begin{vmatrix} (\lambda -\lambda_0) E_{s_0}&-B\\ 0&\lambda E-C \end{vmatrix}=(\lambda- \lambda_0)^{s_0}\det(\lambda E-C). \end{equation*}

因此\(n_0\geq s_0\)，即\(n_0\geq\dim V_{\lambda_0}\)。

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12.

设\(A\)是数域\(\mathbb{F}\)上\(n\)阶可逆矩阵，特征值为\(\lambda_1,\dots ,\lambda_n\)，证明：

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\(\lambda_1^{-1},\dots ,\lambda_n^{-1}\)是\(A^{-1}\)的全部特征值；
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\((\det A)\lambda_1^{-1},\dots,(\det A)\lambda_n^{-1}\)是\({\rm adj}A\)的全部特征值。
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解答.

因为\(A\)可逆，所以\(\lambda_i\neq 0(i=1,\dots ,n)\)。根据题意，\(n\)阶矩阵\(A\)有\(n\)个特征值\(\lambda_1,\dots ,\lambda_n\)，所以\(A\)相似于上三角阵，即存在可逆矩阵\(P\)，使得

\begin{equation*} P^{-1}AP= \begin{pmatrix} \lambda_1&&&*\\ &\lambda_2&&\\ &&\ddots&\\ 0&&&\lambda_n \end{pmatrix}. \end{equation*}

两边同时取逆，得

\begin{equation*} P^{-1}A^{-1}P= \begin{pmatrix} \lambda_1^{-1}&&&*\\ &\lambda_2^{-1}&&\\ &&\ddots&\\ 0&&&\lambda_n^{-1} \end{pmatrix}. \end{equation*}

故\(\lambda_1^{-1},\dots ,\lambda_n^{-1}\)是\(A^{-1}\)的全部特征值。

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因\(A\)可逆，所以\({\rm adj}A=(\det A)A^{-1}\)，则

\begin{align*} P^{-1}{\rm adj}AP & = & \begin{pmatrix} (\det A)\lambda_1^{-1}&&*\\ &\ddots&\\ 0&&(\det A)\lambda_n^{-1} \end{pmatrix}. \end{align*}

因此\((\det A)\lambda_1^{-1},\dots ,(\det A)\lambda_n^{-1}\)是\({\rm adj}A\)的全部特征值。

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13.

已知线性方程组

\begin{equation*} \left\{\begin{array}{l} x_1+x_2+x_3=1\\ 2x_1+(a+2)x_2+(a+1)x_3=a+3\\ x_1+2x_2+ax_3=3 \end{array}\right. \end{equation*}

有无穷多解，\(A\)是\(3\)阶方阵，\(X_1=(1,a,0)^T,X_2=(-a,1,0)^T,X_3=(0,0,a)^T\)为\(A\)的属于特征值\(\lambda_1=1,\lambda_2=-2,\lambda_3=-1\)的特征向量。

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求\(A\)；
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求\(\det ({\rm adj}A+2E)\)。
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解答.

因为该线性方程组有无穷多解，所以

\begin{equation*} \begin{vmatrix} 1&1&1\\2&a+2&a+1\\1&2&a \end{vmatrix}=0, \end{equation*}

解得\(a=1\)。令\(P=(X_1,X_2,X_3)\)，则\(AP=P{\rm{diag}}(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3)\)，于是

\begin{equation*} A=P{\rm{diag}}(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3)P^{-1}=\begin{pmatrix} -\frac{1}{2}&\frac{3}{2}&0\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}&0\\0&0&-1 \end{pmatrix} \end{equation*}

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因为\(A\)的特征值为\(1,-2,-1\)，所以\(\det A=2\)。根据上题结论， \(A^*+2E=2A^{-1}+2E\)的特征值为\(4,1,0\) 。因此

\begin{equation*} \det (A^*+2E)=0. \end{equation*}

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挑战题.

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14. 第十一届全国大学生数学竞赛初赛.

设\(A\)是\(n\)阶复矩阵，\(p(x)\)是\(E_n-\overline{A}A\)的特征多项式，其中 \(\overline{A}\)是\(A\)的共轭矩阵。证明：\(p(x)\)是实系数多项式。

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解答.

根据题设，

\begin{equation*} p(x)=\det (xE_n-(E_n-\overline{A}A))=\det ((x-1)E_n+\overline{A}A). \end{equation*}

对任意实数\(a\)，

\begin{equation*} \begin{array}{ll} \overline{p(a)} & =\overline{\det ((a-1)E_n+\overline{A}A)}\\ & =\det (\overline{(a-1)E_n+\overline{A}A})\\ & =\det ((a-1)E_n+A\overline{A}). \end{array} \end{equation*}

根据降阶公式，

\begin{equation*} \det ((a-1)E_n+A\overline{A})=\det ((a-1)E_n+\overline{A}A), \end{equation*}

从而\(\overline{p(a)}=p(a)\)，即\(p(a)\)是实数，于是由\(a\)的任意性得\(p(x)\)是实系数多项式。

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15.

设\(V\)是\(\mathbb{C}\)上的\(n\)维线性空间，\(\phi ,\psi\)是\(V\)上的线性变换，且\(\phi\psi=\psi\phi\)，证明：

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如果\(\lambda_0\)是\(\phi\)的一个特征值，那么\(V_{\lambda_0}\)是\(\psi\)-不变子空间；
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\(\phi,\psi\)至少有一个公共的特征向量。
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解答.

对任意\(\alpha\in V_{\lambda_0}\)，因\(\phi\psi=\psi\phi\)，所以

\begin{equation*} \phi(\psi(\alpha))=\psi(\phi(\alpha))=\psi (\lambda_0 \alpha)=\lambda_0\psi(\alpha), \end{equation*}

即\(\psi(\alpha)\in V_{\lambda_0}\)。故\(V_{\lambda_0}\)是\(\psi\)-不变子空间。

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由项 7.3.15.a 知，\(\psi|_{V_{\lambda_0}}\)是\(V_{\lambda_0}\)上线性变换。由于\(V_{\lambda_0}\)是复数域上的线性空间，所以\(\psi|_{V_{\lambda_0}}\)至少存在一个复特征值\(c\)和相应特征向量\(X\)，故\(\psi|_{V_{\lambda_0}}(X)=cX\)，即\(\psi(X)=cX\)。因此，\(X\)是\(\psi\)的特征向量。又\(X\in V_{\lambda_0}\)，所以\(X\)也是\(\phi\)的特征向量。从而，\(\phi,\psi\)至少有一个公共的特征向量。
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16.

设\(\mathbb{C}\)上\(m\)个\(n\)阶方阵\(A_1,\dots,A_m\)满足\(A_iA_j=A_jA_i(i,j=1,\dots,m)\)，证明：\(A_1,\dots,A_m\)至少有一个公共的特征向量。

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解答.

对\(m\)归纳证明。

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当\(m=2\)时，将\(A_1,A_2\)看作线性变换，根据上题知结论成立。

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假设对于\(m-1\)个矩阵时结论成立，以下考虑\(m\)个矩阵的情形。因\(A_m\)是\(\mathbb{C}\)上\(n\)阶方阵，\(A_m\)至少存在一个特征值\(\lambda_m\)，相应的特征子空间为\(V_{\lambda_m}\)。由于\(A_1,\dots,A_m\)两两可交换，类似上题的证明知\(V_{\lambda_m}\)是\(A_i(i=1,\dots,m-1)\)的不变子空间。令\(A_i|_{V_{\lambda_m}}\)是\(A_i\)在\(V_{\lambda_m}\)上的限制，则

\begin{equation*} A_i|_{V_{\lambda_m}}A_j|_{V_{\lambda_m}}=A_j|_{V_{\lambda_m}}A_i|_{V_{\lambda_m}},(i,j=1,\dots ,m-1). \end{equation*}

由归纳假设，存在\(Y\in V_{\lambda_m}\)，使得

\begin{equation*} A_i|_{V_{\lambda_m}}Y=\lambda_i Y,\ i=1,\dots,m-1, \end{equation*}

即\(A_iY=\lambda_iY,i=1,\dots,m-1\)。又\(Y\in V_{\lambda_m}\)，故\(A_mY=\lambda_m Y\)。由此可知\(A_1,\dots,A_m\)至少有一个公共的特征向量\(Y\)。

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17.

设\(\mathbb{C}\)上\(n\)阶方阵\(A,B\)满足\(AB=BA\)，证明：存在可逆矩阵\(P\)，使得\(P^{-1}AP,P^{-1}BP\)同时为上三角矩阵。

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解答.

对\(n\)归纳证明。

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当\(n=1\)时，结论显然成立。

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假设对于\(n-1\)阶矩阵结论成立，以下考虑\(n\)阶矩阵的情形。

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由于\(AB=BA\)，根据上题结论，\(A\)、\(B\)至少存在一个公共的特征向量\(X\)，即存在\(\lambda,\mu\in\mathbb{C}\)使得\(AX=\lambda X,BX=\mu X\)。

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将\(X\)扩充为\(\mathbb{C}^n\)的一个基\(X,X_2,\dots ,X_n\)。令\(P_1=(X,X_2,\dots ,X_n)\)，则\(P_1\)可逆且

\begin{equation*} P_1^{-1}AP_1=\begin{pmatrix} \lambda&\alpha \\ 0&A_1 \end{pmatrix},P_1^{-1}BP_1=\begin{pmatrix} \mu&\beta \\ 0&B_1 \end{pmatrix}, \end{equation*}

其中\(A_1,B_1\)是\(\mathbb{C}\)上\(n-1\)阶方阵。由\(AB=BA\)可知

\begin{equation*} (P_1^{-1}AP_1)(P_1^{-1}BP_1)=(P_1^{-1}BP_1)(P_1^{-1}ABP_1), \end{equation*}

即

\begin{equation*} \begin{pmatrix} \lambda&\alpha \\ 0&A_1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \mu&\beta \\ 0&B_1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \mu&\beta \\ 0&B_1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \lambda&\alpha \\ 0&A_1 \end{pmatrix}, \end{equation*}

故\(A_1B_1=B_1A_1\)。根据归纳假设，存在\(n-1\)阶可逆复矩阵\(P_2\)，使得\(P_2^{-1}A_1P_2,P_2^{-1}B_1P_2\)均为上三角矩阵。

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令\(P=P_1 \begin{pmatrix} 1&0\\0&P_2 \end{pmatrix}\)，则\(P\)为\(n\)阶可逆矩阵且

\begin{equation*} P^{-1}AP=\begin{pmatrix} 1&0\\0&P_2 \end{pmatrix}^{-1}P_1^{-1}AP_1\begin{pmatrix} 1&0\\0&P_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \lambda&\alpha P_2\\ 0&P_2^{-1}A_1P_2 \end{pmatrix}, \end{equation*}

\begin{equation*} P^{-1}BP=\begin{pmatrix} 1&0\\0&P_2 \end{pmatrix}^{-1}P_1^{-1}BP_1\begin{pmatrix} 1&0\\0&P_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \mu&\beta P_2\\ 0&P_2^{-1}B_1P_2 \end{pmatrix} \end{equation*}

均为上三角矩阵。

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18.

设\(\phi\)是\(\mathbb{F}\)上\(n\)维线性空间\(V\)的线性变换，\(W\)是\(\phi\)-子空间。如果\(\alpha_1,\dots,\alpha_k\)是\(\phi\)的分别属于\(k\)个不同特征值\(\lambda_1,\dots,\lambda_k\)的特征向量，且\(\alpha_1+\dots +\alpha_k\in W\)，证明：\(\dim W\geq k\)。

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解答 1.

记\(\beta_0=\alpha_1+ \dots +\alpha_k\)。因\(W\)是\(\phi\)-不变子空间且\(\beta_0\in W\)，所以

\begin{equation*} \begin{array}{c}\phi(\beta_0) =\lambda_1 \alpha_1+ \dots +\lambda_k \alpha_k\in W,\\ \phi^2(\beta_0)=\lambda_1^2 \alpha_1+\dots +\lambda_k^2 \alpha_k\in W,\\\vdots \\\phi^{k-1}(\beta_0)=\lambda_1^{k-1} \alpha_1 +\dots +\lambda_k^{k-1} \alpha_k\in W.\end{array} \end{equation*}

记\(\beta_i=\phi^i(\beta_0),i= 1,\dots ,k-1\)。我们断言，\(\beta_0,\beta_1,\dots ,\beta_{k-1}\)线性无关。事实上，若

\begin{equation*} x_0\beta_0+x_1\beta_1+ \dots +x_{k-1}\beta_{k-1}=0, \end{equation*}

则

\begin{equation*} \begin{array}{ll} & (x_0+\lambda_1x_1+\dots +\lambda_1^{k-1}x_{k-1})\alpha_1\\ + &(x_0+\lambda_2x_1+\dots +\lambda_2^{k-1}x_{k-1})\alpha_2\\ + & \cdots \\ +& (x_0+\lambda_kx_1+\lambda_k^2x_2+\cdots +\lambda_k^{k-1}x_{k-1})\alpha_k\\ = & 0\end{array} \end{equation*}

因为属于不同特征值的特征向量\(\alpha_1,\dots ,\alpha_k\)线性无关，所以

\begin{equation*} \left\{\begin{array}{c} x_0+\lambda_1x_1+\lambda_1^2x_2+\cdots +\lambda_1^{k-1}x_{k-1}=0,\\ x_0+\lambda_2x_1+\lambda_2^2x_2+\cdots +\lambda_2^{k-1}x_{k-1}=0,\\ \vdots\\ x_0+\lambda_kx_1+\lambda_k^2x_2+\cdots +\lambda_k^{k-1}x_{k-1}=0. \end{array}\right. \end{equation*}

注意到系数行列式

\begin{equation*} \left| \begin{array}{ccccc} 1&\lambda_1&\lambda_1^2&\cdots&\lambda_1^{k-1}\\ 1&\lambda_2&\lambda_2^2&\cdots&\lambda_2^{k-1}\\ \cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\ 1&\lambda_k&\lambda_k^2&\cdots&\lambda_k^{k-1} \end{array}\right|=\prod\limits_{1\leq i< j\leq k}(\lambda_j- \lambda_i)\neq 0, \end{equation*}

所以\(x_0=x_1=\dots=x_{k-1}=0\)。因此\(W\)中存在\(k\)个线性无关的向量\(\beta_0,\beta_1,\dots ,\beta_{k-1}\)，从而\(\dim W\geq k\)。

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解答 2.

（吴家伟，2022级）设\(f_{i}(\lambda)=\frac{\chi_{\phi}(\lambda)}{(\lambda-\lambda_{i})^{n_i}},i=1,\dots k\)，其中\(n_{i}\)是\(\lambda_{i}\)在特征多项式\(\chi_{\phi}(\lambda)\)中的重数，则\(f_{i}(\lambda)\in\F [\lambda]\)。因为\(\alpha_{1}+ \dots +\alpha_{k}\in W\)且\(W\)是\(\phi\)-不变子空间，所以\(f_{i}(\phi)(\alpha_{1}+\dots+\alpha_{k})\in W\)，即

\begin{equation} f_{i}(\phi)(\alpha_{1})+\dots +f_{i}(\phi)(\alpha_{k})\in W.\tag{7.3.1} \end{equation}

当\(j\neq i\)时，由\(\lambda-\lambda_{j}\mid f_{i}(\lambda)\)知存在\(q_{ij}(\lambda)\in\F[\lambda]\)使得

\begin{equation*} f_{i}(\lambda)=q_{ij}(\lambda)(\lambda-\lambda_{j}), \end{equation*}

则

\begin{equation*} f_{i}(\phi)(\alpha_{j})=q_{ij}(\phi)(\phi-\lambda_{j} id_{V})(\alpha_{j}). \end{equation*}

注意到\(\alpha_{j}\)是\(\phi\)属于\(\lambda_{j}\)的特征向量，所以\((\phi-\lambda_{j} id_{V})(\alpha_{j})=0\)，则

\begin{equation*} f_{i}(\phi)(\alpha_{j})=0,\quad\forall 1\leq i\neq j\leq k. \end{equation*}

于是结合(7.3.1)知

\begin{equation*} f_{i}(\phi)(\alpha_{i})=f_{i}(\phi)(\alpha_{1})+\dots +f_{i}(\phi)(\alpha_{k})\in W. \end{equation*}

由于\((f_{i}(\lambda),\lambda-\lambda_{i})=1\)，所以存在\(u(\lambda),v(\lambda)\in\F[\lambda]\)，使得

\begin{equation*} u(\lambda)f_{i}(\lambda)+v(\lambda)(\lambda-\lambda_{i})=1, \end{equation*}

则

\begin{equation*} u(\phi)f_{i}(\phi)+v(\phi)(\phi-\lambda_{i} id_{V})=id_{V}. \end{equation*}

于是，

\begin{equation*} \begin{array}{ll} \alpha_{i} & =u(\phi)f_{i}(\phi)(\alpha_{i})+v(\phi)(\phi-\lambda_{i} id_{V})(\alpha_{i})\\ & =u(\phi)f_{i}(\phi)(\alpha_{i}). \end{array} \end{equation*}

由\(f_{i}(\phi)(\alpha_{i})\in W\)且\(W\)是\(\phi\)-子空间可知\(u(\phi)f_{i}(\phi)(\alpha_{i})\in W\)，即\(\alpha_{i}\in W\)。因此\(W\)中存在\(k\)个线性无关的向量\(\alpha_{1},\dots ,\alpha_{k}\)，从而

\begin{equation*} \dim W\geq k. \end{equation*}

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解答 3.

（谢文涛，2022级）因\(W\)是\(\phi\)-不变子空间且\(\alpha_{1}+\dots +\alpha_{k} \in W\)，所以

\begin{equation*} \phi(\alpha_{1}+\dots +\alpha_{k}) =\lambda_{1} \alpha_{1}+\dots +\lambda_{k} \alpha_{k}\in W, \end{equation*}

则\((\lambda_{1} \alpha_{1}+\dots +\lambda_{k} \alpha_{k})-\lambda_{1}(\alpha_{1}+\dots +\alpha_{k})\in W\)，即

\begin{equation*} (\lambda_{2}-\lambda_{1})\alpha_{2}+(\lambda_{3}-\lambda_{1})\alpha_{3}+\dots+(\lambda_{k}-\lambda_{1})\alpha_{k}\in W, \end{equation*}

于是

\begin{equation*} \phi(\sum\limits_{i=2}^j(\lambda_i-\lambda_1)\alpha_i)-\sum\limits_{i=2}^j(\lambda_i-\lambda_1)\alpha_i\in W \end{equation*}

即

\begin{equation*} \begin{array}{r}(\lambda_{3}-\lambda_{2})(\lambda_{3}-\lambda_{1})\alpha_{3}+(\lambda_{4}-\lambda_{2})(\lambda_{4}-\lambda_{1})\alpha_{4}\\+\cdots+(\lambda_{k}-\lambda_{2})(\lambda_{k}-\lambda_{1})\alpha_{k}\in W,\end{array} \end{equation*}

依此类推，有\((\lambda_{k}-\lambda_{k-1})(\lambda_{k}-\lambda_{k-2})\cdots(\lambda_{k}-\lambda_{1})\alpha_{k}\in W\)。由于\(W\)是\(V\)的子空间且\(\lambda_{1},\dots ,\lambda_{k}\)两两互异，所以\(\alpha_{k}\in W\)，于是

\begin{equation*} (\alpha_{1}+\dots+\alpha_{k})-\alpha_{k}\in W, \end{equation*}

即\(\alpha_{1}+\dots+\alpha_{k-1}\in W\)。同上，由\(\alpha_{1}+\dots+\alpha_{k-1}\in W\)且\(W\)是\(\phi\)-不变子空间可证\(\alpha_{k-1}\in W\)且\(\alpha_1+\dots+\alpha_{k-1}\in W\)。不断重复上述步骤可知\(\alpha_{1},\dots ,\alpha_{k}\in W\)。因此\(W\)中存在\(k\)个线性无关的向量\(\alpha_{1},\dots ,\alpha_{k}\)，从而\(\dim W\geq k\)。

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19. 第九届全国大学生数学竞赛初赛.

设 \(\Gamma=\{W_1,\ldots ,W_r\}\)为\(r\)个各不相同的可逆\(n\)阶复矩阵构成的集合。若该集合关于矩阵乘法封闭（即\(\forall M,N\in\Gamma\)，有\(MN\in\Gamma\)）。证明： \(\sum\limits_{i=1}^r W_i={\bf 0}\)当且仅当 \(\sum\limits_{i=1}^r {\rm tr}(W_i)=0\)，其中\({\rm tr}(W_i)\)表示\(W_i\)的迹。

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解答.

当\(\sum\limits_{i=1}^r W_i=0\)时，

\begin{equation*} \sum\limits_{i=1}^r {\rm tr}(W_i)={\rm tr}(\sum\limits_{i=1}^r W_i)=0. \end{equation*}

反之，当\(\sum\limits_{i=1}^r {\rm tr}(W_i)=0\)时，记\(A=\sum\limits_{i=1}^r W_i\)，则

\begin{equation*} {\rm tr}(A)=0. \end{equation*}

对任意\(1\leq j\leq r\)，根据题设\(W_j\)可逆且\(\Gamma\)关于矩阵乘法封闭可知：\(W_jW_1,W_jW_2,\dots,W_jW_r\)是集合\(\Gamma\)中\(r\)个各不相同的矩阵，所以

\begin{equation*} \Gamma=\{W_jW_1,W_jW_2,\dots,W_jW_r\}=\{W_1,\dots,W_r\}, \end{equation*}

于是\(\sum\limits_{i=1}^r (W_jW_i)=\sum\limits_{i=1}^r W_i\)，即 \(W_jA=A\)。因此

\begin{equation} A^2=(\sum\limits_{j=1}^rW_j)A=\sum\limits_{j=1}^r(W_jA)=rA,\tag{7.3.2} \end{equation}

\(A\)的特征值为\(0\)或\(r\)。注意到\({\rm tr}(A)=0\)，而\({\rm tr}(A)\)等于\(A\)的所有特征值之和，所以\(A\)的特征值全为\(0\)。由 \(r\)不是\(A\)特征值知\(\det (rE_n-A)\neq 0\)，故\(rE_n-A\)可逆。由 (7.3.2)知

\begin{equation*} A(A-rE_n)={\bf 0}, \end{equation*}

两边同时右乘 \((rE_n-A)^{-1}\)得 \(A={\bf 0}\)。

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节 7.3 特征值与特征向量

练习 练习

基础题.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

提高题.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

挑战题.

14. 第十一届全国大学生数学竞赛初赛.

15.

16.

17.

18.

19. 第九届全国大学生数学竞赛初赛.

练习练习