主要内容

高等代数教学辅导

刘月, 唐丽丹, 周宏

节 7.3 特征值与特征向量

建设中！
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练习 练习

基础题.

1.
求数域\(\mathbb{F}\)上矩阵\(A\)的全部特征值和特征向量：
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(1)\(A=\begin{pmatrix} 6&2&4\\2&3&2\\4&2&6 \end{pmatrix}\)；(2)\(A=\begin{pmatrix} 1&0&0\\0&a&b\\0&0&c \end{pmatrix}\)，其中\(b\neq 0\)。
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2.
设矩阵\(A=\begin{pmatrix} -2&0&0\\2&a&2\\3&1&1 \end{pmatrix}\)、\(B=\begin{pmatrix} -1&0&0\\0&2&0\\0&0&b \end{pmatrix}\)相似，求\(a,b\)和\(A\)的特征值。
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3.
设\(3\)阶方阵\(A\)的特征值为\(\lambda_1=\lambda_2=1,\lambda_3=-4\)，求\({\rm tr} (A)\)和\(\det A\)。
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4.
设\(X=(a_1,\dots,a_n)\)且\(XX^T=1\)，求\(E_n-2X^TX\)的特征值。
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提高题.

5.
设\(A\)是数域\(\mathbb{F}\)上的幂等矩阵，即\(A^2=A\)。证明：\(A\)的特征值是\(0\)或\(1\)。
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6.
设\(A\)是数域\(\mathbb{F}\)上的幂零矩阵，即存在\(k\in\mathbb{N}\)使得\(A^k=0\)。证明：\(A\)的特征值都是\(0\)。
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7.
设\(A\)是\(\mathbb{C}\)上\(m\times n\)矩阵，\(\lambda\)是\(\overline{A}^TA\)的一个特征值，证明：\(\lambda\)是非负实数。
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8.
证明：如果任意非零向量都是方阵\(A\)的特征向量，则\(A\)是数量矩阵。
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9.
设\(\alpha,\beta\)是矩阵\(A\)对应于不同特征值\(\lambda,\mu\)的特征向量，证明：\(\alpha+\beta\)不是\(A\)的特征向量。
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10.
设\(A\)是数域\(\mathbb{F}\)上\(n\)阶可逆矩阵，特征值为\(\lambda_1,\dots ,\lambda_n\)，证明：
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  1. \(\lambda_1^{-1},\lambda_2^{-1},\cdots ,\lambda_n^{-1}\)是\(A^{-1}\)的全部特征值；
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  2. \((\det A)\lambda_1^{-1},(\det A)\lambda_2^{-1},\cdots ,(\det A)\lambda_n^{-1}\)是\({\rm adj}A\)的全部特征值。
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11.
已知线性方程组
\begin{equation*} \left\{\begin{array}{l} x_1+x_2+x_3=1\\ 2x_1+(a+2)x_2+(a+1)x_3=a+3\\ x_1+2x_2+ax_3=3 \end{array}\right. \end{equation*}
有无穷多解，\(A\)是\(3\)阶方阵，\(X_1=(1,a,0)^T,X_2=(-a,1,0)^T,X_3=(0,0,a)^T\)为\(A\)的属于特征值\(\lambda_1=1,\lambda_2=-2,\lambda_3=-1\)的特征向量。
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  1. 求\(A\)；
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  2. 求\(\det ({\rm adj}A+2E)\)。
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挑战题.

12.
设\(V\)是\(\mathbb{C}\)上的\(n\)维线性空间，\(\varphi ,\psi\)是\(V\)上的线性变换，且\(\varphi\psi=\psi\varphi\)，证明：
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  1. 如果\(\lambda_0\)是\(\varphi\)的一个特征值，那么\(V_{\lambda_0}\)是\(\psi\)-不变子空间；
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  2. \(\varphi,\psi\)至少有一个公共的特征向量。
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13.
设\(\mathbb{C}\)上\(n\)阶方阵\(A,B\)满足\(AB=BA\)，证明：\(A,B\)至少有一个公共的特征向量。
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14.
设\(\mathbb{C}\)上\(m\)个\(n\)阶方阵\(A_1,\dots ,A_m\)满足
\begin{equation*} A_iA_j=A_jA_i \ (i,j=1,\dots,m), \end{equation*}
证明：\(A_1,\dots,A_m\)至少有一个公共的特征向量。
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15.
设\(\mathbb{C}\)上\(n\)阶方阵\(A,B\)满足\(AB=BA\)，证明：存在可逆矩阵\(P\)，使得\(P^{-1}AP,P^{-1}BP\)同时为上三角矩阵。
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16.
设\(\varphi\)是\(n\)维线性空间\(V\)上的线性变换，\(V\)有一个子空间直和分解\(V=V_1\oplus V_2\oplus\cdots\oplus V_m,\)其中\(V_i\)是\(\varphi\)-不变子空间。设\(\varphi\)限制在\(V_i\)上的特征多项式为\(f_i(\lambda)\)，证明：\(\varphi\)的特征多项式\(f(\lambda)=f_1(\lambda)f_2(\lambda)\cdots f_m(\lambda)\)。
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17.
设\(\varphi\)是\(\mathbb{F}\)上\(n\)维线性空间\(V \)的线性变换，\(\lambda_0\)是\(\varphi\)的一个特征值，\(n_0\)是\(\lambda_0\)在特征多项式\(f_\varphi (\lambda)\)中的重数，证明：\(\dim V_{\lambda_0}\leq n_0\)。
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18.
设\(\varphi\)是\(\mathbb{F}\)上\(n\)维线性空间\(V\)的线性变换，\(W\)是\(\varphi\)-子空间。如果\(\alpha_1,\dots,\alpha_k\)是\(\varphi\)的分别属于\(k\)个不同特征值\(\lambda_1\dots,\lambda_k\)的特征向量，且\(\alpha_1+\cdots +\alpha_k\in W\)，证明：\(\dim W\geq k\)。
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19. 第九届全国大学生数学竞赛初赛.
设 \(\Gamma=\{W_1,\ldots ,W_r\}\)为\(r\)个各不相同的可逆\(n\)阶复矩阵构成的集合。若该集合关于矩阵乘法封闭（即\(\forall M,N\in\Gamma\)，有\(MN\in\Gamma\)）。证明： \(\sum\limits_{i=1}^r W_i=0\)当且仅当 \(\sum\limits_{i=1}^r {\rm tr}(W_i)=0\)，其中\({\rm tr}(W_i)\)表示\(W_i\)的迹。
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