主要内容\(\DeclarMathOperator{\deg}{deg}
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\)
节 8.1 一般内积空间的定义和举例
练习 练习
基础题.
1.
在\(\mathbb{R}^2\)中，对于任意\(\alpha=(a_1,a_2)^T,\beta=(b_1,b_2)^T\)，规定
\begin{equation*}
\left(\alpha,\beta\right)=a_1b_1-a_1b_2-a_2b_1+2a_2b_2,
\end{equation*}
判断\(\mathbb{R}^2\)关于以上定义的\((-,-)\)能否构成欧氏空间。
解答.
-
对任意
\(\alpha=(a_1,a_2)^T,\beta=(b_1,b_2)^T\in\mathbb{R}^2\)，有
\begin{equation*}
\begin{array}{ll}
\left(\alpha,\beta\right) & =a_1b_1-a_1b_2-a_2b_1+2a_2b_2\\
& =b_1a_1-b_1a_2-b_2a_1+2b_2a_2\\
& =\left(\beta,\alpha\right);\end{array}
\end{equation*}
-
对任意
\(\alpha=(a_1,a_2)^T,\beta=(b_1,b_2)^T,\gamma=(c_1,c_2)^T\in\mathbb{R}^2\)，有
\begin{equation*}
\begin{array}{cl}
&\left(\alpha+\beta,\gamma\right)\\
=&(a_1+b_1)c_1-(a_1+b_1)c_2-(a_2+b_2)c_1+2(a_2+b_2)c_2\\
=&(a_1c_1-a_1c_2-a_2c_1+2a_2c_2)+(b_1c_1-b_1c_2-b_2c_1+2b_2c_2)\\
=&\left(\alpha,\gamma\right)+\left(\beta,\gamma\right);
\end{array}
\end{equation*}
-
对任意\(\alpha=(a_1,a_2)^T,\beta=(b_1,b_2)^T\in\mathbb{R}^2,k\in\mathbb{R}\)，有
\begin{equation*}
\left(k \alpha,\beta\right)=ka_1b_1-ka_1b_2-ka_2b_1+2ka_2b_2=k\left(\alpha,\beta\right);
\end{equation*}
-
对任意\(\alpha=(a_1,a_2)^T\in\mathbb{R}^2\)，
\begin{equation*}
\left(\alpha,\alpha\right)=a_1^2-2a_1a_2+2a_2^2=(a_1-a_2)^2+a_2^2\geq 0,
\end{equation*}
且等号成立的充要条件是\(a_1=a_2=0\)，即\(\alpha=0\)。
因此\(\mathbb{R}^2\)关于以上定义的\((-,-)\)构成欧氏空间。
2.
设\(A\)是\(n\)阶可逆复矩阵。在\(\mathbb{C}^n\)中，对任意\(X,Y\in\mathbb{C}^n\)，规定
\begin{equation*}
\left(X,Y\right)=X^TA^T\bar{A}\overline{Y}.
\end{equation*}
证明：\(\mathbb{C}^n\)关于以上定义的\((-,-)\)构成酉空间。
解答.
对任意\(X,Y,Z\in\mathbb{C}^n,c\in\mathbb{C}\)，
-
由于
\begin{equation*}
X^TA^T\bar{A}\overline{Y}=(X^TA^T\bar{A}\overline{Y})^T=\overline{Y}^T\bar{A}^TAX=\overline{Y^TA^T\bar{A}\overline{X}},
\end{equation*}
所以 \(\left(X,Y\right)=\overline{\left(Y,X\right)}\text{;}\)
-
由于
\begin{equation*}
(X+Y)^TA^T\bar{A}\overline{Z}=X^TA^T\bar{A}\overline{Z}+Y^TA^T\bar{A}\overline{Z},
\end{equation*}
所以 \(\left(X+Y,Z\right)=\left(X,Z\right)+\left(Y,Z\right)\text{;}\)
-
\(\left(cX,Y\right)=(cX)^TA^T\bar{A}\overline{Y}=c(X^TA^T\bar{A}\overline{Y})=c\left(X,Y\right)\text{;}\)
-
\begin{equation*}
\left(X,X\right)=X^TA^T\bar{A}\overline{X}=(AX)^T\overline{(AX)},
\end{equation*}
设\(AX=(a_1,\dots,a_n)^T\)，则
\begin{equation*}
\left(X,X\right)=\left|a_1\right|^2+\dots+\left|a_n\right|^2\geq 0,
\end{equation*}
且等号成立的充要条件是\(a_1=\dots =a_n=0\)，即\(AX=0\)。注意到\(A\)可逆，故等号成立的充要条件是\(X=0\)。
因此\(\mathbb{C}^n\)关于以上定义的\((-,-)\)构成酉空间。
3.
设\(V\)是实或复内积空间，\(\alpha,\beta\in V\)，证明：
-
若对任意
\(v\in V\)，
\(\left(\alpha, v\right)=0\)，则
\(\alpha=0\)；
-
若对任意
\(v\in V\)，
\(\left(\alpha, v\right)=\left(\beta, v\right)\)，则
\(\alpha=\beta\)。
解答.
-
根据已知条件，有
\(\left(\alpha, \alpha\right)=0\)，故
\(\alpha=0\)。
-
由已知条件，对任意\(v\in V\)，
\begin{equation*}
\left(\alpha- \beta, v\right)=\left(\alpha, v\right)-\left(\beta, v\right)=0,
\end{equation*}
根据结论上题得，\(\alpha- \beta=0\)，即\(\alpha= \beta\)。
4.
在
\(\mathbb{R}^4\)中，求
\(\alpha=(2,1,0,2)^T\)与
\(\beta=(2,1,-3,2)^T\)的夹角。
解答.
\(\cos\theta=\frac{(\alpha,\beta)}{\|\alpha\|\cdot\|\beta\|}=\frac{9}{3\cdot 3\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)，故
\(\alpha\)与
\(\beta\)的夹角为
\(\frac{\pi}{4}\)。
提高题.
5.
设\(V\)是实或复内积空间，\(\alpha,\alpha_1,\dots ,\alpha_m\in V\)，
-
\(\alpha\bot\alpha\Leftrightarrow\alpha=0\)；
-
若
\(\alpha\bot\alpha_i(i=1,\dots ,m)\)，则对任意
\(\xi\in\langle \alpha_1,\dots ,\alpha_m\rangle\)，总有
\(\alpha\bot\xi\)。
解答.
-
根据定义，
\(\alpha\bot\alpha\Leftrightarrow (\alpha,\alpha)=0\Leftrightarrow \alpha=0\)。
-
对任意\(\xi\in\langle \alpha_1,\dots ,\alpha_m\rangle\)，存在 \(a_1,\dots,a_m\in\R(\text{或}\C)\)，使得\(\xi=a_1\alpha_1+\dots+a_m\alpha_m\)。由于\(\alpha\bot\alpha_i(i=1,\dots ,m)\)，所以
\begin{equation*}
(\alpha,\xi)=\overline{a_1}(\alpha,\alpha_1)+\dots+\overline{a_m}(\alpha,\alpha_m)=0,
\end{equation*}
因此\(\alpha\bot\xi\)。
6.
设\(\xi_1,\dots ,\xi_n\)是内积空间\(V\)的一个基，\(\alpha=\sum\limits_{i=1}^n x_i\xi_i,\beta=\sum\limits_{i=1}^n y_i\xi_i\in V\)。令
\begin{equation*}
G=\begin{pmatrix}
\left(\xi_1,\xi_1\right)&\left(\xi_1,\xi_2\right)&\cdots&\left(\xi_1,\xi_n\right)\\
\left(\xi_2,\xi_1\right)&\left(\xi_2,\xi_2\right)&\cdots&\left(\xi_2,\xi_n\right)\\
\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\
\left(\xi_n,\xi_1\right)&\left(\xi_n,\xi_2\right)&\cdots&\left(\xi_n,\xi_n\right)
\end{pmatrix},
\end{equation*}
证明：
-
\(\left(\alpha,\beta\right)=X^TG\overline{Y}\)，其中
\(X=(x_1,\dots,x_n)^T,Y=(y_1,\dots ,y_n)^T\)；
-
解答.
-
\(\displaystyle \left(\alpha,\beta\right)=\left(\sum\limits_{i=1}^n x_i\xi_i,\sum\limits_{i=1}^n y_i\xi_i\right)
=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^n x_i\overline{y_i}\left(\xi_i, \xi_j\right)=X^TG\overline{Y}.\)
-
设\(X\in\mathbb{C}^n\)满足\(GX=0\)，则\(\overline{X}^TGX=0\)。令
\begin{equation*}
\alpha=(\xi_1,\xi_2,\cdots ,\xi_n)\overline{X},
\end{equation*}
则
\(\alpha\in V\)。由
项 8.1.6.a可知
\((\alpha,\alpha)=0\)，则
\(\alpha=0\)，即
\(X=0\)。因此
\(G\)是可逆矩阵。
7.
对于实内积空间\(C[-1,1]\)，内积定义为
\begin{equation*}
\left(f(x),g(x)\right)=\int_{-1}^1 f(x)g(x)dx,
\end{equation*}
求\(\| 1\|\)。
解答.
\(\|1\|=\sqrt{(1,1)}=\sqrt{\int_{-1}^1 1\cdot 1dx}=\sqrt{2}.\)
8.
设\(V\)是实内积空间，证明：
\begin{equation*}
\left(\alpha,\beta\right)=\frac{1}{4}\left(\|\alpha+\beta\|^2-\|\alpha- \beta\|^2\right),\ \forall \alpha,\beta\in V.
\end{equation*}
(这个恒等式称为极化恒等式。)
解答.
\(\begin{array}{ccl}
\frac{1}{4}\left(\|\alpha+\beta\|^2-\|\alpha- \beta\|^2\right)&=&\frac{1}{4}\left[\left(\alpha+\beta,\alpha+ \beta\right)-\left(\alpha- \beta,\alpha- \beta\right)\right]\\
&=&\frac{1}{4}\left[\left(\alpha,\alpha\right)+\left(\beta, \beta\right)+2\left(\alpha,\beta\right)\right.\\
&&\left.-\left(\left(\alpha,\alpha\right)+\left(\beta, \beta\right)-2\left(\alpha,\beta\right)\right)\right]\\
&=&\left(\alpha,\beta\right).
\end{array}\)
9.
设\(V\)是实内积空间，\(\alpha,\beta\in V\)，证明：
\begin{equation*}
\|\alpha+\beta\|^2+\|\alpha- \beta\|^2=2\|\alpha\|^2+2\|\beta\|^2.
\end{equation*}
当\(V\)是几何空间时，说明这个恒等式的几何意义。
解答.
\begin{equation*}
\begin{array}{cl}
&\|\alpha+\beta\|^2+\|\alpha- \beta\|^2\\=&\left(\alpha+\beta,\alpha+\beta\right)+\left(\alpha- \beta,\alpha- \beta\right)\\
=&\left(\alpha,\alpha\right)+\left(\beta,\beta\right)+2\left(\alpha,\beta\right)+\left(\alpha,\alpha\right)+\left(\beta,\beta\right)-2\left(\alpha,\beta\right)\\
=&2\|\alpha\|^2+2\|\beta\|^2.
\end{array}
\end{equation*}
当\(V\)是几何空间时，说明平行四行形两对角线的平方和等于四条边边长的平方和。
10.
在实或复内积空间\(V\)中，定义\(d(\alpha,\beta)=\|\alpha- \beta\|\)为两个向量\(\alpha,\beta\)间的距离，证明：
-
\(d(\alpha,\beta)\geq 0\)；
-
\(d(\alpha,\beta)=0\)当且仅当
\(\alpha=\beta\)；
-
\(d(\alpha,\beta)=d(\beta,\alpha)\)；
-
\(d(\alpha,\beta)\leq d(\alpha,\gamma)+d(\gamma,\beta)\)。
解答.
-
由内积定义知，
\(d(\alpha,\beta)=\sqrt{\left(\alpha- \beta,\alpha- \beta\right)}\geq 0\)；
-
由内积定义知，
\(d(\alpha,\beta)=\sqrt{\left(\alpha- \beta,\alpha- \beta\right)}=0\)当且仅当
\(\alpha-\beta=0\)，即
\(\alpha=\beta\)；
-
\(d(\alpha,\beta)=\|\alpha- \beta\|=\|- (\beta- \alpha)\|=|-1|\cdot\|\beta- \alpha\|=d(\beta,\alpha)\)；
-
根据三角不等式，
\begin{equation*}
\begin{array}{ll}
d(\alpha,\beta) & =\|\alpha- \beta\|\\
& =\|(\alpha- \gamma)+(\alpha- \beta)\|\\
& \leq \|\alpha- \gamma\|+\|\gamma- \beta\|\\
& =d(\alpha,\gamma)+d(\gamma,\beta).
\end{array}
\end{equation*}
