1.
在\(\mathbb{R}^2\)中，对于任意\(\alpha=(a_1,a_2)^T,\beta=(b_1,b_2)^T\)，规定
\begin{equation*}
\left(\alpha,\beta\right)=a_1b_1-a_1b_2-a_2b_1+2a_2b_2,
\end{equation*}
判断\(\mathbb{R}^2\)关于以上定义的\((-,-)\)能否构成欧氏空间。
节 8.1 一般内积空间的定义和举例
建设中！
练习 练习
基础题.
2.
设\(A\)是\(n\)阶可逆复矩阵。在\(\mathbb{C}^n\)中，对任意\(X,Y\in\mathbb{C}^n\)，规定
\begin{equation*}
\left(X,Y\right)=X^TA^T\bar{A}\overline{Y}.
\end{equation*}
证明：\(\mathbb{C}^n\)关于以上定义的\((-,-)\)构成酉空间。
3.
4.
提高题.
5.
设\(V\)是实或复内积空间，\(\alpha,\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_m\in V\)，
-
\(\alpha\bot\alpha\Leftrightarrow\alpha=0\)；
-
若\(\alpha\bot\alpha_i(i=1,2,\cdots ,m)\)，则对任意\(\xi\in\langle \alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_m\rangle\)，总有\(\alpha\bot\xi\)。
6.
设\(\xi_1,\xi_2,\cdots ,\xi_n\)是内积空间\(V\)的一个基，\(\alpha=\sum\limits_{i=1}^n x_i\xi_i,\beta=\sum\limits_{i=1}^n y_i\xi_i\in V\)。令
\begin{equation*}
G=\begin{pmatrix}
\left(\xi_1,\xi_1\right)&\left(\xi_1,\xi_2\right)&\cdots&\left(\xi_1,\xi_n\right)\\
\left(\xi_2,\xi_1\right)&\left(\xi_2,\xi_2\right)&\cdots&\left(\xi_2,\xi_n\right)\\
\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\
\left(\xi_n,\xi_1\right)&\left(\xi_n,\xi_2\right)&\cdots&\left(\xi_n,\xi_n\right)
\end{pmatrix},
\end{equation*}
证明：
-
\(\left(\alpha,\beta\right)=X^TG\overline{Y}\)，其中\(X=(x_1,x_2,\cdots,x_n)^T,Y=(y_1,y_2,\cdots ,y_n)^T\)；
-
\(G\)是可逆矩阵。
7.
对于实内积空间\(C[-1,1]\)，内积定义为
\begin{equation*}
\left(f(x),g(x)\right)=\int_{-1}^1 f(x)g(x)dx,
\end{equation*}
求\(\| 1\|\)。
8.
设\(V\)是实内积空间，证明：
\begin{equation*}
\left(\alpha,\beta\right)=\frac{1}{4}\left(\|\alpha+\beta\|^2-\|\alpha- \beta\|^2\right),\ \forall \alpha,\beta\in V.
\end{equation*}
(这个恒等式称为极化恒等式。)
9.
设\(V\)是实内积空间，\(\alpha,\beta\in V\)，证明：
\begin{equation*}
\|\alpha+\beta\|^2+\|\alpha- \beta\|^2=2\|\alpha\|^2+2\|\beta\|^2.
\end{equation*}
当\(V\)是几何空间时，说明这个恒等式的几何意义。
10.
-
\(d(\alpha,\beta)\geq 0\)；
-
\(d(\alpha,\beta)=d(\beta,\alpha)\)；
-
\(d(\alpha,\beta)\leq d(\alpha,\gamma)+d(\gamma,\beta)\)。
