主要内容\(\newcommand{\Ima}{\rm Im }
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\)
节 2.5 可逆矩阵
练习 练习
基础题.
1.
设
\(A,B,C\)是
\(n\)阶方阵。若
\(AB=BC\)，且
\(B\)可逆，是否必有
\(A=C\)？请说明理由。
2.
设
\(A,B\)为
\(n\)阶方阵，且
\(A\)可逆。证明：若
\(A,B\)可交换，则
\(A^{-1},B\)也可交换。
3.
设
\(n\)维列向量
\(X=(a,0,\cdots ,0,a)^T,a<0\)。若矩阵
\(A=E-XX^T\)与
\(B=E+2XX^T\) 互逆，求
\(a\)。
4.
设
\(A\)为
\(n\)阶方阵，满足
\(A^2+A+E=0\)，其中
\(E\)是
\(n\)阶单位矩阵，证明：对任意实数
\(a\)，
\(A-aE\)都可逆。
5.
设
\(A=\begin{pmatrix}
1 & 0 & -1\\
-2 & 1 & 3\\
3 & -1& 2
\end{pmatrix}\)，求
\(A^{-1}\)。
6.
设
\(B=P^{-1}AP\)，其中
\(P=\begin{pmatrix}
-1 & -2\\
1 & 1
\end{pmatrix} , B=\begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & -1
\end{pmatrix}\)，求
\(A^{2025}\)。
提高题.
7.
设
\(A\)是
\(n\)阶可逆矩阵。若
\(A\)的每行元素之和均为
\(a\)，证明：
\(A^{-1}\)的每行元素之和必为
\(a^{-1}\)。
8.
设\(A\)是\(n\)阶方阵，\(E\)是\(n\)阶单位矩阵。
-
若存在正整数
\(k\)使得
\(A^k=0\)，证明：
\(E-A\)，
\(E+A+\cdots+A^{k-1}\)都可逆；并求
\((E-A)^{-1}\)与
\((E+A+\cdots+A^{k-1})^{-1}\)。
-
设
\(B=\begin{pmatrix}
1&b&b^2&\cdots&b^{n-2}&b^{n-1}\\
0&1&b&b^2&\cdots&b^{n-2}\\
0&0&1&b&\ddots&\vdots\\
\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\ddots&b^2\\
0&0&0&\cdots&1&b\\
0&0&0&\cdots&0&1
\end{pmatrix}\)，求
\(B^{-1}\)。
9.
证明：
-
若
\(A\)是可逆（反）对称矩阵，则
\(A^{-1}\)也是（反）对称矩阵；
-
若
\(A\)是可逆上（下）三角矩阵，则
\(A^{-1}\)也是上（下）三角矩阵。
10.
设\(A\)是\(n\times m\)矩阵，\(B\)是\(m\times n\)矩阵。证明：若\(E_n-AB\)可逆，则\(E_m-BA\)可逆，且
\begin{equation*}
(E_m-BA)^{-1}=E_m+B(E_n-AB)^{-1}A.
\end{equation*}
11.
设
\(A\)为
\(n\)阶方阵。若
\(A\)与任意
\(n\)阶可逆矩阵可交换，证明：
\(A\)是数量矩阵。
12.
设
\(A,B\)是数域
\(\F\)上
\(n\)阶方阵，
\(f(x),g(x)\in\F[x]\)满足
\(f(A)=0,g(B)=0\)。若
\(f(x),g(x)\)在复数域上没有公共根，证明：
\(f(B),g(A)\)都是可逆矩阵。
挑战题.
13. Cayley变换.
设\(A\)是\(n\)阶方阵，且\(E_n+A\)可逆，定义
\begin{equation*}
c(A)=(E_n-A)(E_n+A)^{-1},
\end{equation*}
证明：\(E_n+c(A)\)可逆，且\(c(c(A))=A\)。
14.
设
\(P\)是
\(n\)阶置换矩阵，证明：存在正整数
\(k\)，使得
\(P^k=E_n\)。
