1.
对线性映射\(\varphi: \F^{n \times n}\to \F, A \mapsto {\rm tr } A\)，求\(\Ker \varphi\)和\(\Ima \varphi\)，并求它们的一个基和维数。
节 6.7 线性映射的像与核
练习 练习
基础题.
2.
\begin{equation*}
\varphi(a_{0} + a_{1} x + \cdots + a_{n-1}x^{n-1}) = a_{0} x + \frac{1}{2} a_{1} x^{2} + \frac{1}{3} a_{2} x^{3} + \cdots + \frac{1}{n}a_{n-1}x^{n},
\end{equation*}
其中\(a_{0},a_{1},\ldots,a_{n-1}\in \F\)。 求\(\Ker \varphi\)和\(\Ima \varphi\)以及它们的维数。
3.
设\(V,U,W\)是有限维线性空间，\(\varphi \in \mathcal{L}(V,U), \psi \in \mathcal{L}(U,W)\)，证明：
\begin{equation*}
\dim \Ker \psi \varphi \leq \dim \Ker \varphi + \dim \Ker \psi.
\end{equation*}
4.
设\(V,U\)是有限维线性空间，\(\varphi \in \mathcal{L}(V,U)\)，证明：存在\(V\)的子空间\(V'\)使得\(V' \cap \Ker \varphi = 0\)且\(\Ima \varphi = \{ \varphi(\alpha) \mid \alpha \in V'\}\)。
提高题.
5.
设\(V\)是数域\(\F\)上的有限维线性空间，\(\varphi \in \mathcal{L}(V, \F)\)，证明：若存在\(\alpha \not\in \Ker \varphi\)，则
\begin{equation*}
V = \Ker \varphi \oplus \langle \alpha \rangle.
\end{equation*}
6.
设\(V,U\)是数域\(\F\)上的有限维线性空间，\(\varphi \in \mathcal{L}(V,U)\)，\((\eta_{1}, \ldots, \eta_{r})\)是\(\Ima \varphi\)的一个基。证明：存在\(\psi_{1}, \ldots, \psi_{r} \in \mathcal{L}(V,\F)\)使得
\begin{equation*}
\varphi(\alpha) = \psi_{1}(\alpha) \eta_{1} + \cdots + \psi_{r}(\alpha) \eta_{r}, \quad \forall \alpha \in V.
\end{equation*}
7.
设\(V\)是\(n\)维线性空间，\(U\)是\(m\)维线性空间，\(\varphi \in \mathcal{L}(V,U)\)是从\(V\)到\(U\)的线性映射且是单射，证明：存在\(U\)到\(V\)的满射\(\psi\)使得\(\psi \varphi ={\rm id}_{V}\)。
8.
设\(V,U\)是有限维线性空间，\(\varphi\)是从\(V\)到\(U\)的线性映射。证明下列三个命题是等价的。
-
\(\varphi\)是单射；
9.
设\(V,U\)是有限维线性空间，\(\varphi\)是从\(V\)到\(U\)的线性映射。证明下列三个命题是等价的。
-
\(\varphi\)是满射；
10.
设\(\varphi\)是\(n\)维线性空间\(V\)上的线性变换，\(i\)是任意正整数，证明：
\begin{equation*}
\dim (\Ima \varphi^{i-1}\cap \Ker \varphi) = \dim \Ker \varphi^{i} - \dim \Ker \varphi^{i-1}.
\end{equation*}
11.
从线性映射的观点证明Sylvester不等式：
\begin{equation*}
r(AB) \geq r(A) + r(B) - n,
\end{equation*}
其中，\(A \in \F^{m \times n}, B \in \F^{n \times p}\)。
挑战题.
12.
从线性映射的观点证明：
\begin{equation*}
r(ABC) \geq r(AB) + r(BC) - r(B),
\end{equation*}
其中，矩阵\(A,B,C\)的维数使\(ABC\)相乘合法。
