主要内容\(\newcommand{\Ima}{\rm Im }
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\)
节 6.8 商空间与线性映射的结构
子节 6.8.1 基础知识回顾
定义 6.8.1.
设\(V'\)是数域\(\F\)上线性空间\(V\)的子空间。对任意两个模\(V'\)的同余类\(\alpha + V', \beta + V' \in V / V'\)，定义同余类的加法为
\begin{equation*}
(\alpha + V') + (\beta + V') := (\alpha + \beta) + V'.
\end{equation*}
对任意\(c \in \F\)，定义同余类的数乘为
\begin{equation*}
c (\alpha + V') := c \alpha + V'.
\end{equation*}
练习 6.8.2 练习
基础题.
1.
2.
设
\(W\)为
\(\F^{n \times n}\)中所有反对称矩阵构成的子空间，求
\(\F^{n \times n}/ W\)的维数和一个基。
3.
设
\(A \in \F^{m \times n}\)，
\(\F^{n}\)的子空间
\(\Ker A\)是
\(n\)元齐次线性方程组
\(AX=0\)的解集。证明：商空间
\(\F^{n} / \Ker A\)中的任一元素是以
\(A\)为系数矩阵的某个
\(n\)线性方程组的解集。
提高题.
4.
设
\(U,W\)都是线性空间
\(V\)的子空间。证明：若
\(V = U \oplus W\)，则
\(U \cong V / W\)。
5.
设
\(U,W\)都是线性空间
\(V\)的子空间，证明：
\((U+W) / W \cong U / (U \cap W)\)。
6.
设有线性映射\(\varphi \in \mathcal{L}(V,U)\)，定义\(\pi\)如下：
\begin{equation*}
\pi: V \to V / \Ker \varphi, \alpha \mapsto \alpha + \Ker \varphi.
\end{equation*}
则\(\widetilde{\varphi}\)是满足下面关系的唯一同构映射
\begin{equation*}
\varphi = \widetilde{\varphi}\pi.
\end{equation*}
7.
设\(\varphi\)是从线性空间\(V\)到\(U\)的线性映射，证明存在直和分解
\begin{equation*}
V = \Ker \varphi \oplus W, \quad U = M \oplus N
\end{equation*}
使得\(W \cong M\)。
