商空间与线性映射的结构

节 6.8 商空间与线性映射的结构

子节 6.8.1 基础知识回顾

定义 6.8.1.

设\(V'\)是数域\(\F\)上线性空间\(V\)的子空间。对任意两个模\(V'\)的同余类\(\alpha + V', \beta + V' \in V / V'\)，定义同余类的加法为

\begin{equation*} (\alpha + V') + (\beta + V') := (\alpha + \beta) + V'. \end{equation*}

对任意\(c \in \F\)，定义同余类的数乘为

\begin{equation*} c (\alpha + V') := c \alpha + V'. \end{equation*}

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定义 6.8.2.

设\(\varphi \in \mathcal{L}(V, U)\)，定义映射

\begin{equation*} \widetilde{\varphi}: V /\Ker \varphi \to \Ima \varphi, \alpha + \Ker \varphi \mapsto \varphi(\alpha). \end{equation*}

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定理 6.8.3.

\(\widetilde{\varphi}\)是从\(V / \Ker \varphi\)到\(\Ima \varphi\)的同构映射，因而我们有

\begin{equation*} \dim V / \Ker \varphi = \dim \Ima \varphi. \end{equation*}

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练习 6.8.2 练习

基础题.

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1.

验证定义6.8.1中同余类加法和数乘满足定义6.1.1和定义6.1.2中的10条性质。

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解答.

设 \(V\) 为定义在域 \(\F\) 上的线性空间，\(W\) 为 \(V\) 的子空间。商空间 \(V/W\) 中的元素形式为 \(\alpha + W\)。同余类的加法和数乘定义为：

\begin{equation*} (\alpha + W) + (\beta + W) = (\alpha + \beta) + W, \quad c(\alpha + W) = c\alpha + W \end{equation*}

这 10 条性质（包含2条封闭性和8条公理）验证如下：

加法封闭性：显然 \((\alpha + \beta) + W \in V/W\)。
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数乘封闭性：\(c\alpha + W \in V/W\)。
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加法交换律：

\begin{align*} (\alpha + W) + (\beta + W)\amp = (\alpha + \beta) + W\\ \amp = (\beta + \alpha) + W\\ \amp = (\beta + W) + (\alpha + W). \end{align*}

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加法结合律：

\begin{align*} \amp ((\alpha+W)+(\beta+W))+(\gamma+W) \\ =\amp (\alpha+\beta+\gamma)+W \\ =\amp (\alpha+W)+((\beta+W)+(\gamma+W)). \end{align*}

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存在零元素：\(W\) (即 \(0 + W\)) 为零元素，\((\alpha + W) + (0 + W) = \alpha + W\)。
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存在负元素：对于 \(\alpha + W\)，存在 \((-\alpha) + W\)，使得 \((\alpha + W) + ((-\alpha) + W) = 0 + W = W\)。
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数乘分配律 I：

\begin{align*} k((\alpha + W) + (\beta + W)) \amp = k(\alpha + \beta) + W\\ \amp = (k\alpha + k\beta) + W \\ \amp = k(\alpha + W) + k(\beta + W). \end{align*}

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数乘分配律 II：

\begin{align*} (k + l)(\alpha + W) \amp = (k + l)\alpha + W \\ \amp = (k\alpha + l\alpha) + W\\ \amp = k(\alpha + W) + l(\alpha + W). \end{align*}

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数乘结合律：

\begin{align*} (cd)(\alpha + W) \amp = (cd)\alpha + W \\ \amp = c(d\alpha) + W\\ \amp = c(d\alpha + W) \\ \amp = c(d(\alpha + W)). \end{align*}

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数乘单位元：\(1(\alpha + W) = 1\alpha + W = \alpha + W\)。
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由此可知，\(V/W\) 构成一个线性空间。

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2.

设\(W\)为\(\F^{n \times n}\)中所有反对称矩阵构成的子空间，求\(\F^{n \times n}/ W\)的维数和一个基。

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解答.

已知全空间 \(\F^{n \times n}\) 的维数为 \(n^{2}\)。反对称矩阵满足 \(A^{T} = -A\)，其主对角线元素必须为零，且上三角元素完全决定下三角元素，因此 \(W\) 的维数为 \(\dim(W) = \frac{n(n-1)}{2}\)。由商空间的维数公式可得：

\begin{align*} \dim(\F^{n \times n}/ W) \amp= \dim(\F^{n \times n}) - \dim(W) \\ \amp = n^{2} - \frac{n(n-1)}{2} \\ \amp = \frac{n(n+1)}{2} \end{align*}

构造基：令 \(E_{ij}\) 表示第 \((i, j)\) 位置为 \(1\)，其余位置全为 \(0\) 的 \(n \times n\) 矩阵。我们断言集合 \(\mathcal{B}= \{ E_{ij}+ W \mid 1 \le i \le j \le n \}\) 是 \(\F^{n \times n}/ W\) 的一个基。由于 \(\mathcal{B}\) 中元素的个数恰好为 \(\frac{n(n+1)}{2}\)，只需证明它们在商空间中线性无关即可。假设存在系数 \(c_{ij}\in \F\) 使得

\begin{equation*} \sum_{1 \le i \le j \le n}c_{ij}(E_{ij}+ W) = 0+W \end{equation*}

这意味着矩阵 \(C = \sum_{1 \le i \le j \le n}c_{ij}E_{ij}\in W\)。注意到 \(C\) 是一个上三角矩阵。由于 \(C \in W\)（即 \(C\) 为反对称矩阵），有 \(C^{T} = -C\)。但 \(C^{T}\) 是下三角矩阵，一个矩阵既是上三角又是下三角，说明它只能是对角矩阵。而反对称矩阵的对角线元素必须全为\(0\)，因此 \(C = 0\)。这就推出所有的 \(c_{ij}= 0\)，证明了 \(\mathcal{B}\) 线性无关。因此，\(\mathcal{B}\) 就是所求的一个基。

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3.

设\(A \in \F^{m \times n}\)，\(\F^{n}\)的子空间\(\Ker A\)是\(n\)元齐次线性方程组\(AX=0\)的解集。证明：商空间\(\F^{n} / \Ker A\)中的任一元素是以\(A\)为系数矩阵的某个\(n\)元线性方程组的解集。

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解答.

商空间 \(\F^{n} / \Ker A\) 中的任一元素都是一个同余类，可以表示为 \(\alpha + \Ker A\)，其中 \(\alpha \in \F^{n}\)。

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令 \(b = A\alpha \in \F^{m}\)，我们考虑非齐次线性方程组 \(AX = b\)。

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对于任意 \(X \in \alpha + \Ker A\)，存在 \(\eta \in \Ker A\) 使得 \(X = \alpha + \eta\)。

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代入方程组左边得：

\begin{equation*} AX = A(\alpha + \eta) = A\alpha + A\eta = b + 0 = b, \end{equation*}

所以 \(X\) 是该方程组的解。

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反之，如果 \(X\) 是 \(AX = b\) 的解，则 \(AX = A\alpha\)，即 \(A(X - \alpha) = 0\)。

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这说明 \(X - \alpha \in \Ker A\)，即 \(X \in \alpha + \Ker A\)。

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综上所述，同余类 \(\alpha + \Ker A\) 恰好是线性方程组 \(AX = A\alpha\) 的全体解集。得证。

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4.

设有线性映射\(\varphi \in \mathcal{L}(V,U)\)，定义\(\pi\)如下：

\begin{equation*} \pi: V \to V / \Ker \varphi, \alpha \mapsto \alpha + \Ker \varphi. \end{equation*}

则定义 6.8.2中的\(\widetilde{\varphi}\)是满足下面关系的唯一同构映射

\begin{equation*} \varphi = \widetilde{\varphi}\pi. \end{equation*}

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解答.

首先证明\(\varphi = \widetilde{\varphi}\)。对于任意 \(\alpha \in V\)，有

\begin{equation*} (\widetilde{\varphi}\pi)(\alpha) = \widetilde{\varphi}(\alpha + \Ker \varphi) = \varphi(\alpha), \end{equation*}

即 \(\varphi = \widetilde{\varphi}\pi\)。

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再证唯一性。假设存在另一个同构映射 \(\psi: V/\Ker \varphi \to U\) 满足 \(\psi \pi = \varphi\)。对于任意同余类 \(\alpha + \Ker \varphi\)，有

\begin{equation*} \psi(\alpha + \Ker \varphi) = \psi (\pi(\alpha)) = \varphi(\alpha) = \widetilde{\varphi}(\alpha + \Ker \varphi). \end{equation*}

因此 \(\psi = \widetilde{\varphi}\)，唯一性得证。

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提高题.

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5.

设\(U,W\)都是线性空间\(V\)的子空间。证明：若\(V = U \oplus W\)，则\(U \cong V / W\)。

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解答.

构造映射 \(\varphi: U \to V/W\)，定义为 \(\varphi(u) = u + W\)。我们验证 \(\varphi\) 是一个同构映射：

线性映射：

\begin{align*} \varphi(c_{1} u_{1} + c_{2} u_{2})\amp = (c_{1} u_{1} + c_{2} u_{2}) + W \\ \amp = c_{1}(u_{1} + W) + c_{2}(u_{2} + W)\\ \amp = c_{1} \varphi(u_{1}) + c_{2} \varphi(u_{2}). \end{align*}

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单射：若 \(u \in \Ker \varphi\)，则 \(\varphi(u) = u + W = W\)，即 \(u \in W\)。由于 \(V = U \oplus W\)，故 \(U \cap W = \{0\}\)。因此 \(u = 0\)，所以 \(\Ker \varphi = \{0\}\)，\(\varphi\) 为单射。
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满射：对于 \(V/W\) 中的任意元素 \(v + W\)，由于 \(V = U \oplus W\)，存在唯一的 \(u \in U\) 和 \(w \in W\) 使得 \(v = u + w\)。于是

\begin{equation*} v + W = (u+w) + W = u + W = \varphi(u). \end{equation*}

故 \(\varphi\) 是满射。

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