主要内容

节 6.3 线性映射

子节 6.3.1 基础知识回顾

例 6.3.4. 恒等映射.

设\(V\)为任一线性空间，同样容易验证从\(V\)到\(V\)的恒等映射 \({\rm id}_{V}: \alpha \mapsto \alpha\)是线性映射。

练习 6.3.2 练习

基础题.

1.

判断下面的映射是不是线性映射？
  1. \(\phi: \F^{3} \to \F^{3}, (x,y,z)^{T} \mapsto (x+3y, y-z, z+4x)^{T}\)；
  2. \(\phi: \F^{3} \to \F^{3}, (x,y,z)^{T} \mapsto (xy, yz, zx)^{T}\)；
  3. \(\phi: V \to V, \alpha \mapsto \alpha_{0}\)，其中\(V\)是线性空间，\(\alpha_{0} \in V\)是预先给定的一个向量；
  4. \(\phi: V \to V, \alpha \mapsto \alpha + \alpha_{0}\)，其中\(V\)是线性空间，\(\alpha_{0} \in V\)是预先给定的一个向量；
  5. \(\phi: \F^{n} \to \F^{m}, \alpha \mapsto A \alpha + \beta\)，其中\(A \in \F^{m \times n}, \beta \in \F^{m}\)；
  6. \(\phi: \C \to \C, z \mapsto \overline{z}\)，此处我们将复数域\(\C\)看成是\(\C\)上的线性空间。
解答.
  1. 是线性映射。任取\(\F^{3}\)中向量\((x_{1},y_{1},z_{1})^{T}\)和\((x_{2}, y_{2}, z_{2})^{T}\)，以及\(c_{1}, c_{2} \in \F\)，有
    \begin{align*} \amp c_{1} (x_{1}, y_{1},z_{1})^{T} + c_{2} (x_{2},y_{2},z_{2})^{T} \\ = \amp (c_{1} x_{1} + c_{2} x_{2}, c_{1} y_{1} + c_{2} y_{2}, c_{1} z_{1} + c_{2} z_{2})^{T}. \end{align*}
    根据\(\phi\)的定义有
    \begin{align*} \amp \phi(c_{1} (x_{1}, y_{1},z_{1})^{T} + c_{2} (x_{2},y_{2},z_{2})^{T})\\ = \amp \begin{pmatrix} c_{1} x_{1} + c_{2} x_{2}+ 3 c_{1} y_{1} + 3 c_{2} y_{2}\\ c_{1} y_{1} + c_{2} y_{2} - c_{1} z_{1} - c_{2} z_{2}\\ c_{1} z_{1} + c_{2} z_{2} + 4 c_{1} x_{1} + 4 c_{2} x_{2} \end{pmatrix}. \end{align*}
    将等式左侧重新组织一下有
    \begin{align*} \amp \phi(c_{1} (x_{1}, y_{1},z_{1})^{T} + c_{2} (x_{2},y_{2},z_{2})^{T})\\ = \amp c_{1}\begin{pmatrix} x_{1} + 3y_{1}\\ y_{1} - z_{1}\\ z_{1} + 4 x_{1} \end{pmatrix} + c_{2}\begin{pmatrix} x_{2} + 3y_{2}\\ y_{2} - z_{2}\\ z_{2} + 4 x_{2} \end{pmatrix}\\ = \amp c_{1} \phi((x_{1}, y_{1}, z_{1})^{T}) + c_{2} \phi((x_{2},y_{2},z_{2})^{T}) \end{align*}
    根据命题6.3.2，\(\phi\)是线性映射。
  2. 不是线性映射。例如，取\(c=2\)，向量\(\alpha = (1,1,1)^{T}\)，则\(\phi(c \alpha) = \phi((2,2,2)^{T}) = (4,4,4)^{T}\)，而\(c\phi(\alpha) = 2(1,1,1)^{T} = (2,2,2)^{T}\)，两者不相等。\(\phi\)不保持数乘运算，因而不是线性映射。
  3. 不一定是线性映射。只有当\(\alpha_{0} = 0\)时才是线性映射。因为若\(\alpha_{0} \neq 0\)，则\(\phi(0) = \alpha_{0} \neq 0\)，而线性映射必须将零向量映到零向量（命题6.3.3）。此外，我们也可以验证\(\phi\)不保持加法运算：\(\phi(\alpha+\beta) = \alpha_{0}\)，但\(\phi(\alpha)+\phi(\beta)=\alpha_{0}+\alpha_{0}=2\alpha_{0}\)，除非\(\alpha_{0}=0\)，否则不相等。
  4. 不一定是线性映射（除非\(\alpha_{0}=0\)）。因为，当时\(\alpha_{0} \neq 0\)，\(\phi(0) = 0 + \alpha_{0} = \alpha_{0} \neq 0\)，不满足线性映射保零的性质（命题6.3.3）。此外，也可以验证\(\phi\)不保持加法运算：\(\phi(\alpha+\beta) = \alpha+\beta+\alpha_{0}\)，而\(\phi(\alpha)+\phi(\beta) = (\alpha+\alpha_{0})+(\beta+\alpha_{0})=\alpha+\beta+2\alpha_{0}\)。当\(\alpha_{0} \neq 0\)时，两者不等。
  5. 不一定是线性映射（除非\(\beta=0\)）。类似于上一题，因为\(\phi(0)=A0+\beta=\beta\)，若\(\beta\neq0\)，则\(\phi(0)\neq0\)，不满足线性映射保零的性质（命题6.3.3）。只有当\(\beta=0\)时，它是线性映射（即矩阵乘法变换）。
  6. 不是线性映射。因为取\(c={\rm i } \in \C\)，\(\alpha=1\)，则\(\phi(c \alpha)=\phi({\rm i })=\overline{{\rm i }}=-{\rm i }\)，而\(c\phi(\alpha)={\rm i }\)，两者不相等，\(\phi\)不能保持数乘运算。注意：若将\(\C\)视为\(\R\)上的线性空间，则该映射是线性的，请自行验证。

2.

设\(V\)为数域\(\F\)上的线性空间，给定\(c \in \F\)，考虑\(V\)到\(V\)的映射\(\phi: \alpha \mapsto c \alpha\)，证明：\(\phi\)为线性变换。（形如\(\phi\)的线性变换被称为数乘变换）
解答.
对任意\(\alpha, \beta \in V\)和任意\(k \in \F\)，有
\begin{align*} \phi(\alpha + \beta)\amp = c(\alpha + \beta)\\ \amp = c\alpha + c\beta\\ \amp = \phi(\alpha) + \phi(\beta),\\ \phi(k\alpha) \amp = c(k\alpha) = (ck)\alpha = (kc)\alpha = k(c\alpha) = k\phi(\alpha). \end{align*}
根据定义，\(\phi\)是线性变换。

3.

给定矩阵\(A \in \F^{m \times n}, B \in \F^{n \times m}\)，证明：
\begin{equation*} \phi: \F^{n \times n}\to \F^{m \times m}, X \mapsto AXB \end{equation*}
是线性映射。
解答.
对任意\(X, Y \in \F^{n \times n}\)和任意\(c \in \F\)，有
\begin{align*} \phi(X + Y) \amp =A(X + Y)B = AXB + AYB \\ \amp = \phi(X) + \phi(Y),\\ \phi(cX)\amp = A(cX)B = c(AXB) = c\phi(X). \end{align*}
根据定义，\(\phi\)是线性映射。

4.

考虑连续函数空间\(C[a,b]\)到自身的映射\(\phi: f \mapsto \int_{a}^{x} f(t) dt\)，判断\(\phi\)是否是\(C[a,b]\)上的线性变换。
解答.
是线性变换。因为对任意\(f, g \in C[a,b]\)和任意\(c \in \R\)，有
\begin{align*} \phi(f+g)(x) \amp = \int_a^x (f(t)+g(t)) dt\\ \amp = \int_a^x f(t) dt + \int_a^x g(t) dt\\ \amp = \phi(f)(x) + \phi(g)(x), \quad \forall x \in [a,b]\\ \phi(c f)(x) \amp =\int_a^x c f(t) dt \\ \amp= c \int_a^x f(t) dt \\ \amp = c \phi(f)(x), \quad \forall x \in [a,b]. \end{align*}
所以\(\phi(f+g) = \phi(f) + \phi(g)\)，\(\phi(cf) = c\phi(f)\)，满足线性变换的定义。

提高题.

5.

设\(V\)是数域\(\F\)的线性空间，\(\dim V=1\)，\(\phi\in\mathcal{L} (V,V)\)。证明：存在\(c\in\F\)，使得对任意\(\alpha\in V\)，都有\(\phi(\alpha)=c\alpha\)。
解答.
取\(\alpha_{0}\ne 0\)，\(\alpha_{0}\)是\(V\)的基（\(\because\dim V=1\)）。则存在唯一\(c\in \F\)使得\(\phi(\alpha_{0})=c \alpha_{0}\)。
对\(\forall \alpha\in V\)，存在\(c_{0}\)，\(\alpha=c_{0} \alpha_{0}\)，
\begin{equation*} \phi(\alpha)=\phi(c_{0} \alpha_{0})=c_{0}\phi(\alpha_{0})=c_{0}c \alpha_{0}=c \alpha. \end{equation*}

6.

设\(V,U\)是有限维线性空间， \(V'\)是\(V\)的子空间。证明：对于任意\(V'\)到\(U\)的线性映射\(\phi' \in \mathcal{L}(V',U)\)，总存在\(V\)到\(U\)的线性映射\(\phi \in \mathcal{L}(V,U)\)使得\(\phi(\alpha) = \phi'(\alpha), \forall \alpha \in V'\)。（换言之，子空间\(V'\)上的线性映射\(\phi'\)总可以推广成全空间\(V\)的线性映射）
解答.
取\(V'\)的一组基\((\xi_{1},\ldots,\xi_{k})\)，并将其扩充为\(V\)的一组基\((\xi_{1},\ldots,\xi_{k},\xi_{k+1},\ldots,\xi_{n})\)（参考定理4.4.1）。对任意\(\alpha \in V\)，存在唯一坐标\((a_{1},\ldots,a_{n})^{T}\)使得\(\alpha = \sum_{i=1}^{n} a_{i} \xi_{i}\)。
定义映射\(\phi: V \to U\)如下：对任意\(\alpha = \sum_{i=1}^{n} a_{i} \xi_{i}\)，令
\begin{equation*} \phi(\alpha) = \sum_{i=1}^{k} a_{i} \phi'(\xi_{i}) + \sum_{i=k+1}^{n} a_{i} \cdot 0, \end{equation*}
其中\(0\)是\(U\)中的零向量。
下面首先说明\(\phi\)是线性映射。
对于任意\(\beta = \sum_{i=1}^{n} b_{i} \xi_{i} \in V\)（其中\((b_{1}, \ldots, b_{n})^{T}\)是\(\beta\)在\((\xi_{1}, \ldots, \xi_{n})\)下的坐标），以及任意\(c_{1}, c_{2} \in \F\)有
\begin{equation*} \phi(c_{1} \alpha + c_{2} \beta) = \phi( \sum_{i=1}^{n} (c_{1} a_{i} + c_{2} b_{i}) \xi_{i} ) = \sum_{i=1}^{k} (c_{1} a_{i} + c_{2} b_{i}) \phi'(\xi_{i}). \end{equation*}
对等式右边重新进行组织之后有
\begin{equation*} \phi(c_{1} \alpha + c_{2} \beta) = c_{1} \sum_{i=1}^{k} a_{i} \phi'(\xi_{i}) + c_{2} \sum_{i=1}^{k} b_{i} \phi'(\xi_{i}) = c_{1} \phi(\alpha) + c_{2} \phi(\beta). \end{equation*}
根据命题6.3.2，\(\phi\)是线性映射。
最后说明，\(\phi\)与\(\phi'\)在\(V'\)上一致。当\(\alpha \in V'\)时，\(\alpha\)可表示为\(\sum_{i=1}^{k} x_{i} \xi_{i}\)，此时\(\phi(\alpha) = \sum_{i=1}^{k} x_{i} \phi'(\xi_{i}) = \phi'(\alpha)\)。因此\(\phi\)是\(\phi'\)的扩张。

7.

设\(\phi: V \to U\)是从线性空间\(V\)到线性空间\(U\)的线性映射，证明：若\(U'\)是\(U\)的子空间，则\(\{ \alpha \in V \mid \phi(\alpha) \in U' \}\)是\(V\)的子空间。
解答.
记\(W = \{ \alpha \in V \mid \phi(\alpha) \in U' \}\)。
  • 首先，由于\(\phi(0)=0 \in U'\)，所以\(0 \in W\)，非空。
  • 对任意\(\alpha, \beta \in W\)，有\(\phi(\alpha) \in U'\)，\(\phi(\beta) \in U'\)。由于\(U'\)是子空间，\(\phi(\alpha)+\phi(\beta) \in U'\)。由于\(\phi\)保持加法运算，有\(\phi(\alpha+\beta)=\phi(\alpha)+\phi(\beta)\)，所以\(\alpha+\beta \in W\)。
  • 对任意\(\alpha \in W\)有\(\phi(\alpha) \in U'\)。因为\(U'\)是子空间，所以对任意\(c \in \F\)有\(c\phi(\alpha) \in U'\)。由于\(\phi\)保持数乘运算，\(\phi(c\alpha)=c\phi(\alpha)\)，所以\(c\alpha \in W\)。
因此\(W\)关于加法和数乘都是封闭的，因此是\(V\)的子空间。

8.

设\(V\)为线性空间，向量组\(\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{k} \in V\)线性相关，又设\(U\)是维数大于等于\(1\)的线性空间。证明：可以找到\(U\)中的\(k\)个向量\(\beta_{1}, \ldots, \beta_{k} \in U\)使得，不存在\(V\)到\(U\)的线性映射\(\phi \in \mathcal{L}(V,U)\)满足\(\phi(\alpha_{i}) = \beta_{i}, \forall i \in [k]\)。
解答.
由于\(\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{k}\)线性相关，存在不全为零的标量\(c_{1}, \ldots, c_{k}\)使得
\begin{equation*} c_{1} \alpha_{1} + \cdots + c_{k} \alpha_{k} = 0. \end{equation*}
不妨设\(c_{j} \neq 0, j \in [k]\)。因为\(\dim U \geq 1\)，可取非零向量\(\beta \in U\)。定义\(U\)中的向量
\begin{equation*} \beta_{i} = \begin{cases}\beta, & i = j, \\ 0, & i \neq j.\end{cases} \end{equation*}
下面用反证法，假设存在线性映射\(\phi: V \to U\)满足\(\phi(\alpha_{i}) = \beta_{i}\)对所有\(i\)成立。则
\begin{align*} \phi(c_{1} \alpha_{1} + \cdots + c_{k} \alpha_{k}) \amp = c_{1} \phi(\alpha_{1}) + \cdots + c_{k} \phi(\alpha_{k})\\ \amp = c_{1} \beta_{1} + \cdots + c_{k} \beta_{k}\\ \amp = c_{j} \beta. \end{align*}
但\(c_{1} \alpha_{1} + \cdots + c_{k} \alpha_{k} = 0\)，根据命题6.3.3有\(\phi(0)=0\)，于是\(c_{j} \beta = 0\)。由于\(c_{j} \neq 0\)，所以必然有\(\beta=0\)。这与已知条件\(\beta \neq 0\)矛盾。因此这样的线性映射\(\phi\)不存在。

挑战题.

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