命题 6.4.1. 乘法结合律.
设\(\phi \in \mathcal{L}(V_{1}, V_{2}), \psi \in \mathcal{L}(V_{2}, V_{3}), \delta \in \mathcal{L}(V_{3}, V_{4})\)为线性映射，则
\begin{equation*}
\delta (\psi \phi) = (\delta \psi) \phi.
\end{equation*}
节 6.4 线性映射的运算
子节 6.4.1 基础知识回顾
命题 6.4.2. 乘法单位元.
设\({\rm id}_{V} \in \mathcal{L}(V,V)\)和\({\rm id}_{U} \in \mathcal{L}(U,U)\)分别为线性空间\(V\)和\(U\)上的恒等变换，对于任意为从\(V\)到\(U\)的线性映射\(\phi \in \mathcal{L}(V,U)\)，有
\begin{equation*}
\phi{\rm id}_{V} ={\rm id}_{U} \phi = \phi,
\end{equation*}
即\({\rm id}_{V}\)和\({\rm id}_{U}\)分别为右乘和左乘单位元。
练习 6.4.2 练习
基础题.
1.
设\(V,U\)是数域\(\F\)上的线性空间，\(\phi, \psi, \delta \in \mathcal{L}(V,U)\)是从\(V\)到\(U\)的线性映射，证明：
-
\(\phi + (\psi + \delta) = (\phi + \psi) + \delta\)；
-
\(c (\phi + \psi) = c \phi + c \psi, \forall c \in \F\)。
解答.
-
对任意\(\alpha \in V\)，由线性映射加法的定义，\begin{align*} (\phi + (\psi + \delta))(\alpha)\amp = \phi(\alpha) + (\psi + \delta)(\alpha) \\ \amp = \phi(\alpha) + (\psi(\alpha) + \delta(\alpha))\\ \amp = (\phi(\alpha) + \psi(\alpha)) + \delta(\alpha) \quad (\text{由于$U$中加法结合律})\\ \amp = (\phi + \psi)(\alpha) + \delta(\alpha) \\ \amp = ((\phi + \psi) + \delta)(\alpha). \end{align*}所以\(\phi + (\psi + \delta) = (\phi + \psi) + \delta\)。
-
对任意\(\alpha \in V\)，有\begin{align*} (c(\phi + \psi))(\alpha) \amp = c \cdot (\phi + \psi)(\alpha)\\ \amp =c \cdot (\phi(\alpha) + \psi(\alpha)) \\ \amp =c \cdot \phi(\alpha) + c \cdot \psi(\alpha) \quad (\text{由于$U$中数乘对加法的分配律}) \\ \amp = (c\phi)(\alpha) + (c\psi)(\alpha) \\ \amp =(c\phi + c\psi)(\alpha). \end{align*}所以\(c (\phi + \psi) = c \phi + c \psi\)。
2.
3.
4.
设\(V\)是线性空间，\(\phi\)是从\(V\)到\(V\)的线性变换。定义\(\phi\)的零次幂为\(\phi^{0} :={\rm id}_{V}\)；对于整数\(k \geq 1\)，递归定义\(\phi\)的\(k\)次幂为\(\phi^{k} := \phi \phi^{k-1}\)。证明：对于任意正整数\(k \geq 0\)，\(\phi^{k}\)都是\(V\)上的线性变换。
提高题.
5.
设有从线性空间\(\F[x]\)到\(\F[x]\)的映射
\begin{equation*}
\phi: f(x) \mapsto f'(x), \quad \psi: f(x) \mapsto x f(x),
\end{equation*}
其中\(f'(x) \in \F[x]\)是多项式\(f(x)\)的形式导数。 证明：\(\phi, \psi\)都是线性变换，且\(\phi \psi - \psi \phi ={\rm id}_{\F[x]}\)。
解答.
首先证明\(\phi\)和\(\psi\)是线性变换。
-
对任意\(f,g\in\F[x]\)，\(c\in\F\)，有\begin{align*} \phi(f+g) \amp =(f+g)' = f' + g' = \phi(f) + \phi(g), \\ \phi(cf) \amp =(cf)' = c f' = c \phi(f), \end{align*}所以\(\phi\)是线性变换。
-
对任意\(f,g\in\F[x]\)，\(c\in\F\)，有\begin{align*} \psi(f+g) \amp = x(f+g) = xf + xg = \psi(f) + \psi(g),\\ \psi(cf) \amp =x(cf) = c(xf) = c \psi(f), \end{align*}所以\(\psi\)是线性变换。
其次，计算\(\phi\psi - \psi\phi\)。对任意\(f\in\F[x]\)，
\begin{align*}
(\phi\psi)(f) \amp = \phi(\psi(f)) = \phi(xf) = (xf)' = f + x f',\\
(\psi\phi)(f) \amp = \psi(\phi(f)) = \psi(f') = x f'.
\end{align*}
所以
\begin{equation*}
(\phi\psi - \psi\phi)(f) = (f + x f') - x f' = f,
\end{equation*}
即\(\phi\psi - \psi\phi ={\rm id}_{\F[x]}\)。
6.
设\(\phi, \psi\)是线性空间\(V\)上的线性变换。证明：若\(\phi \psi - \psi \phi ={\rm id}_{V}\)，则
\begin{equation*}
\phi^{k} \psi - \psi \phi^{k} = k \phi^{k-1}, \quad \forall k \geq 1.
\end{equation*}
解答.
用数学归纳法证明。
当\(k=1\)时，结论就是已知条件：\(\phi\psi - \psi\phi ={\rm id}_{V} = \phi^{0}\)，这里定义\(\phi^{0}={\rm id}_{V}\)，所以成立。
假设对\(k\)成立，即\(\phi^{k} \psi - \psi \phi^{k} = k \phi^{k-1}\)。则对\(k+1\)：
\begin{align*}
\phi^{k+1} \psi - \psi \phi^{k+1} \amp = \phi (\phi^k \psi) - \psi \phi^{k+1} \\
\amp = \phi (\psi \phi^k + k \phi^{k-1}) - \psi \phi^{k+1} \quad (\text{归纳假设}) \\
\amp =\phi \psi \phi^k + k \phi^k - \psi \phi^{k+1}\\
\amp =(\psi \phi + {\rm id}_V) \phi^k + k \phi^k - \psi \phi^{k+1} \quad (\text{已知条件 }\phi\psi = \psi\phi + {\rm id}_V) \\
\amp =\psi \phi^{k+1} + \phi^k + k \phi^k - \psi \phi^{k+1} \\
\amp = (k+1) \phi^k.
\end{align*}
所以结论对\(k+1\)成立。由归纳法，对任意\(k\geq 1\)成立。
7.
设\(\phi, \psi\)是线性空间\(V\)上的线性变换，且\(\phi^{2} = \phi\)，\(\psi^{2} = \psi\)。证明：\((\phi + \psi)^{2} = \phi + \psi\)当且仅当\(\phi \psi = \psi \phi = 0\)，其中\(0\)表示\(V\)上的零变换。（注：满足\(\phi^{2} = \phi\)的线性变换也被称为幂等变换）
解答.
计算\((\phi+\psi)^{2}\)：
\begin{equation*}
(\phi+\psi)^{2} = \phi^{2} + \phi\psi + \psi\phi + \psi^{2} = \phi + \phi\psi + \psi\phi + \psi,
\end{equation*}
因为\(\phi^{2}=\phi\)，\(\psi^{2}=\psi\)。 所以\((\phi+\psi)^{2} = \phi + \psi\)等价于
\begin{equation*}
\phi + \phi\psi + \psi\phi + \psi = \phi + \psi,
\end{equation*}
即
\begin{equation*}
\phi\psi + \psi\phi = 0.
\tag{*}
\end{equation*}
需要证明(*)等价于\(\phi\psi = \psi\phi = 0\)。
首先，若\(\phi\psi = \psi\phi = 0\)，则显然(*)成立。
反之，假设(*)成立，即\(\phi\psi + \psi\phi = 0\)。两边左乘\(\phi\)，利用\(\phi^{2}=\phi\)，得
\begin{equation*}
\phi^{2}\psi + \phi\psi\phi = \phi\psi + \phi\psi\phi = 0.
\tag{1}
\end{equation*}
同理，(*)两边右乘\(\phi\)，得
\begin{equation*}
\phi\psi\phi + \psi\phi^{2} = \phi\psi\phi + \psi\phi = 0.
\tag{2}
\end{equation*}
(1)和(2)相减得\(\phi\psi - \psi\phi = 0\)，即\(\phi\psi = \psi\phi\)。代入(*)得\(2\phi\psi = 0\)，所以\(\phi\psi = 0\)，进而\(\psi\phi = 0\)。
