主要内容

高等代数教学辅导

刘月, 唐丽丹

节 7.3 不变因子和Frobenius标准形

建设中！

子节 7.3.1 主要知识点

定义 7.3.1.

设\(A(\lambda)\)是\(\mathbb{F}\)上\(m\times n\)阶\(\lambda-\)矩阵，\(k\)是小于等于\(\min\{m,n\}\)的某个自然数。如果\(A(\lambda)\)的所有\(k\) 阶子式的最大公因式不等于零，则称首项系数为\(1\)的最大公因式为\(A(\lambda)\)的 \(k\)阶行列式因子，记为\(D_k(\lambda)\)。

备注 7.3.2.

若\(r(A(\lambda))=r\)，则\(A(\lambda)\)有\(r\)个行列式因子。
  • 由 推论 7.3.4 知：若\(D_1(\lambda),D_2(\lambda),\cdots ,D_r(\lambda)\)是\(A(\lambda)\)的行列式因子，则\(D_{i-1}(\lambda)|D_{i}(\lambda)\)，即
    \begin{equation*} \frac{D_{i}(\lambda)}{D_{i-1}(\lambda)}\in\mathbb{F} [\lambda ],\ (i=2,3,\cdots ,r)\mbox{。} \end{equation*}

定义 7.3.7.

设 \(D_1(\lambda),D_2(\lambda),\cdots ,D_r(\lambda)\)是\(A(\lambda)\)的行列式因子，则
\begin{equation*} g_1(\lambda)=D_1(\lambda),\ g_2(\lambda)=\frac{D_{2}(\lambda)}{D_{1}(\lambda)},\ g_3(\lambda)=\frac{D_{3}(\lambda)}{D_{2}(\lambda)},\cdots ,\ g_r(\lambda)=\frac{D_{r}(\lambda)}{D_{r-1}(\lambda)} \end{equation*}
称为\(A(\lambda)\)的不变因子。

备注 7.3.8.

\(A(\lambda)\)的不变因子是其法式的非零对角元。
  • 设\(A(\lambda)\)的行列式因子为\(D_1(\lambda),D_2(\lambda),\cdots ,D_r(\lambda)\)，则\(A(\lambda)\)的不变因子为
    \begin{equation*} g_1(\lambda)=D_1(\lambda),\ g_2(\lambda)=\frac{D_{2}(\lambda)}{D_{1}(\lambda)},\cdots ,\ g_r(\lambda)=\frac{D_{r}(\lambda)}{D_{r-1}(\lambda)}; \end{equation*}
  • 反之，若\(A(\lambda)\)的不变因子为\(g_1(\lambda),g_2(\lambda),\cdots ,g_r(\lambda)\)，则\(A(\lambda)\)的不变因子为
    \begin{equation*} D_1(\lambda)=g_1(\lambda),D_2(\lambda)=g_1(\lambda)g_2(\lambda),\cdots ,D_r(\lambda)=g_1(\lambda)g_2(\lambda)\cdots g_r(\lambda). \end{equation*}

定义 7.3.10.

设\(A\)是数域\(\mathbb{F}\)上的\(n\)阶方阵，多项式矩阵\(\lambda E-A\)称为矩阵\(A\)的特征矩阵 。
特征矩阵\(\lambda E-A\)的行列式因子和不变因子分别称为\(A\)的行列式因子 和不变因子。

备注 7.3.11.

  1. 数字矩阵\(A\)的最后一个行列式因子等于\(A\)的特征多项式；
  2. 数字矩阵\(A\)所有不变因子的乘积等于\(A\)的特征多项式。

定义 7.3.14.

设\(f(\lambda)=\lambda^r+a_{r-1}\lambda^{r-1}+\cdots +a_1\lambda+a_0\in\mathbb{F} [\lambda ]\)且\(r\geq 1\)，称矩阵
\begin{equation*} \begin{pmatrix} 0&0&\cdots&0&-a_0\\ 1&0&\cdots&0&-a_1\\ 0&1&\cdots&0&-a_2\\ \cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\ 0&0&\cdots&1&-a_{r-1}\\ \end{pmatrix} \end{equation*}
为关于\(f(\lambda)\)的Frobenius块（或关于\(f(\lambda)\)的伴侣阵），记为\(F(f(\lambda))\)。

定义 7.3.19.

设\(\phi\)是\(n\)维线性空间\(V\)的线性变换。\(\phi\)在某个基下的矩阵为\(A\)。我们将矩阵\(A\)的行列式因子、不变因子分别称为线性变换\(\phi\)的行列式因子、不变因子。

练习 7.3.2 练习

1.

求下列矩阵的行列式因子与不变因子： (1)\(\begin{pmatrix} \lambda&1&0&0\\ 0&\lambda&1&0\\ 0&0&\lambda&1\\ 0&4&3&\lambda+2 \end{pmatrix}\)； (2)\(\begin{pmatrix} 1&2&0\\0&2&0\\-2&-2&1 \end{pmatrix}\)；(3) \(\begin{pmatrix} 3&2&-5\\2&6&-10\\1&2&-3 \end{pmatrix}\)。
解答.
  1. 因为\(A(\lambda)\)存在\(3\)阶子式 \(\begin{vmatrix} 1&0&0\\ \lambda&1&0\\ 0&\lambda&1 \end{vmatrix}=1\)，所以\(D_3(\lambda)=1\)。于是，由\(D_k(\lambda)\mid D_{k+1}(\lambda)\)知：\(D_1(\lambda)=D_2(\lambda)=D_3(\lambda) =1\)。又
    \begin{equation*} D_4(\lambda)=\det \left(A(\lambda)\right)= \lambda^4+2 \lambda^3-3 \lambda^2+4 \lambda, \end{equation*}
    故\(A(\lambda)\)的行列式因子为
    \begin{equation*} D_1(\lambda)=D_2(\lambda)=D_3(\lambda) =1,D_4(\lambda) = \lambda^4+2 \lambda^3-3 \lambda^2+4 \lambda. \end{equation*}
    相应地，\(A(\lambda)\)的不变因子为
    \begin{equation*} g_1(\lambda)=D_1(\lambda)=1,g_2(\lambda)=\frac{D_2(\lambda)}{D_1(\lambda)}=1,g_3(\lambda)=\frac{D_3(\lambda)}{D_2(\lambda)} =1, \end{equation*}
    \begin{equation*} g_4(\lambda)=\frac{D_4(\lambda)}{D_3(\lambda)} = \lambda^4+2 \lambda^3-3 \lambda^2+4 \lambda. \end{equation*}
  2. 因为
    \begin{equation*} \lambda E-A=\begin{pmatrix} \lambda-1&-2&0\\0&\lambda-2&0\\2&2&\lambda-1 \end{pmatrix} \end{equation*}
    存在互素的\(2\)阶子式
    \begin{equation*} \begin{vmatrix} -2&0\\2&\lambda-1 \end{vmatrix}=-2(\lambda-1),\quad\begin{vmatrix} 0&\lambda-2\\2&2 \end{vmatrix}=-2(\lambda-2), \end{equation*}
    所以\(D_2(\lambda)=1\)。于是，由\(D_k(\lambda)\mid D_{k+1}(\lambda)\)知：\(D_1(\lambda)=D_2(\lambda)=1\)。又
    \begin{equation*} D_3(\lambda)=\det \left(\lambda E-A\right)= (\lambda-2)(\lambda-1)^2, \end{equation*}
    故\(A\)的行列式因子为
    \begin{equation*} D_1(\lambda)=D_2(\lambda)=1,D_3(\lambda) = (\lambda-2)(\lambda-1)^2. \end{equation*}
    相应地，\(A\)的不变因子为
    \begin{equation*} g_1(\lambda)=D_1(\lambda)=1,g_2(\lambda)=\frac{D_2(\lambda)}{D_1(\lambda)}=1,g_3(\lambda)=\frac{D_3(\lambda)}{D_2(\lambda)}=(\lambda-2)(\lambda-1)^2. \end{equation*}
  3. 方法一：对\(\lambda E-A\)进行初等变换：
    \begin{equation*} \begin{array}{l} \lambda E-A=\begin{pmatrix} \lambda-3&-2&5\\-2&\lambda-6&10\\-1&-2&\lambda+3 \end{pmatrix}\xrightarrow[]{\tiny{\begin{array}{c} E(1,3)\\E(1(-1)) \end{array}}}\begin{pmatrix} 1&2&-\lambda-3\\-2&\lambda-6&10\\\lambda-3&-2&5 \end{pmatrix}\\ \xrightarrow[]{\tiny{\begin{array}{c} E(2,1(2))\\E(3,1(3-\lambda)) \end{array}}}\begin{pmatrix} 1&2&-\lambda-3\\0&\lambda-2&4-2\lambda\\0&4-2\lambda&\lambda^2+4 \end{pmatrix}\xrightarrow[\tiny{\begin{array}{c} E(1,2(-2))\\E(1,3(3+\lambda)) \end{array}}]{}\begin{pmatrix} 1&0&0\\0&\lambda-2&4-2\lambda\\0&4-2\lambda&\lambda^2-4 \end{pmatrix}\\\xrightarrow[]{E(3,2(2))}\begin{pmatrix} 1&0&0\\0&\lambda-2&4-2\lambda\\0&0&(\lambda-2)^2 \end{pmatrix}\xrightarrow[E(2,3(2))]{}\begin{pmatrix} 1&0&0\\0&\lambda-2&0\\0&0&(\lambda-2)^2 \end{pmatrix}, \end{array} \end{equation*}
    所以\(A\)的不变因子为
    \begin{equation*} g_1(\lambda)=1,g_2(\lambda)=\lambda-2,g_3(\lambda)=(\lambda-2)^2. \end{equation*}
    相应地，\(A\)的行列式因子为
    \begin{equation*} D_1(\lambda)=g_1(\lambda)=1,D_1(\lambda)=g_1(\lambda)g_2(\lambda)=\lambda-2,D_3(\lambda)=g_1(\lambda)g_2(\lambda)g_3(\lambda)=(\lambda-2)^3. \end{equation*}
    方法二：因为
    \begin{equation*} \lambda E-A=\begin{pmatrix} \lambda-3&-2&5\\-2&\lambda-6&10\\-1&-2&\lambda+3 \end{pmatrix} \end{equation*}
    存在一阶子式\(-1\)为非零常数，所以\(D_1(\lambda)=1\)。 注意到\(\lambda E-A\)所有非零\(2\)阶子式为
    \begin{equation*} (\lambda E-A)\begin{bmatrix} 1&2\\1&2 \end{bmatrix}=\begin{vmatrix} \lambda-3&-2\\-2&\lambda-6 \end{vmatrix}=(\lambda-2)(\lambda-7), \end{equation*}
    \begin{equation*} (\lambda E-A)\begin{bmatrix} 1&2\\1&3 \end{bmatrix}=\begin{vmatrix} \lambda-3&5\\-2&10 \end{vmatrix}=10(\lambda-2), \end{equation*}
    \begin{equation*} (\lambda E-A)\begin{bmatrix} 1&2\\2&3 \end{bmatrix}=\begin{vmatrix} -2&5\\\lambda-6&10 \end{vmatrix}=-5(\lambda-2), \end{equation*}
    \begin{equation*} (\lambda E-A)\begin{bmatrix} 1&3\\1&2 \end{bmatrix}=\begin{vmatrix} \lambda-3&-2\\-1&-2 \end{vmatrix}=-2(\lambda-2), \end{equation*}
    \begin{equation*} (\lambda E-A)\begin{bmatrix} 1&3\\1&3 \end{bmatrix}=\begin{vmatrix} \lambda-3&5\\-1&\lambda+3 \end{vmatrix}=(\lambda-2)(\lambda+2), \end{equation*}
    \begin{equation*} (\lambda E-A)\begin{bmatrix} 1&3\\2&3 \end{bmatrix}=\begin{vmatrix} -2&5\\-2&\lambda+3 \end{vmatrix}=(\lambda-2)(\lambda-1), \end{equation*}
    \begin{equation*} (\lambda E-A)\begin{bmatrix} 2&3\\1&2 \end{bmatrix}=\begin{vmatrix} -2&\lambda-6\\-1&-2 \end{vmatrix}=\lambda-2, \end{equation*}
    \begin{equation*} (\lambda E-A)\begin{bmatrix} 2&3\\1&3 \end{bmatrix}=\begin{vmatrix} -2&10\\-1&\lambda+3 \end{vmatrix}=-2(\lambda-2), \end{equation*}
    \begin{equation*} (\lambda E-A)\begin{bmatrix} 2&3\\2&3 \end{bmatrix}=\begin{vmatrix} \lambda-6&10\\-2&\lambda+3 \end{vmatrix}=-5(\lambda-2), \end{equation*}
    所以\(A\)的二阶行列式因子为\(D_2(\lambda)=\lambda-2\)。
    又
    \begin{equation*} D_3(\lambda)=\det\left(\lambda E-A\right)=(\lambda-2)^3, \end{equation*}
    所以\(A\)的行列式因子为
    \begin{equation*} D_1(\lambda)=1, D_2(\lambda)=\lambda-2, D_3(\lambda)=(\lambda-2)^3. \end{equation*}
    相应地，\(A\)的不变因子为
    \begin{equation*} g_1(\lambda)=D_1(\lambda)=1,g_2(\lambda)=\frac{D_2(\lambda)}{D_1(\lambda)}=\lambda-2,g_3(\lambda)=\frac{D_3(\lambda)}{D_2(\lambda)}=(\lambda-2)^2. \end{equation*}

2.

设\(A\)是数域\(\mathbb{F}\)上的\(n\)阶方阵，\(D_1(\lambda),D_2(\lambda),\cdots ,D_n(\lambda)\)是\(A\)的行列式因子，证明：存在\(n\)阶\(\lambda\)-矩阵\(B(\lambda)\)，使得\((\lambda E-A)^*=D_{n-1}(\lambda)B(\lambda)\)且\(B(\lambda)\)的一阶行列式因子为\(1\)。
解答.
\begin{equation*} (\lambda E-A)^*=\begin{pmatrix} A_{11}(\lambda)&A_{21}(\lambda)&\cdots&A_{n1}(\lambda)\\ A_{12}(\lambda)&A_{22}(\lambda)&\cdots&A_{n2}(\lambda)\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ A_{1n}(\lambda)&A_{2n}(\lambda)&\cdots&A_{nn}(\lambda) \end{pmatrix}, \end{equation*}
其中\(A_{ij}(\lambda)=(-1)^{i+j}M_{ij}(\lambda)\)是\(\lambda E-A\)第\(i\)行第\(j\)列元素的代数余子式。注意到\(M_{ij}(\lambda)(1\leq i,j\leq n)\)为\(\lambda E-A\)的\(n-1\)阶子式全体，所以\(D_{n-1}(\lambda)\)是\(M_{ij}(\lambda)(1\leq i,j\leq n)\)的首一最大公因式。 故存在\(B_{ij}(\lambda)\in\mathbb{F} [\lambda]\)，使得
\begin{equation*} M_{ij}(\lambda)=D_{n-1}(\lambda)B_{ij}(\lambda), \end{equation*}
且\(B_{ij}(\lambda)(1\leq i,j\leq n)\)互素。令
\begin{equation*} B(\lambda)=\left((-1)^{i+j} B_{ij}(\lambda)\right)_{n\times n}, \end{equation*}
则\(B(\lambda)\)为\(n\)阶\(\lambda\)-矩阵，满足\((\lambda E-A)^*=D_{n-1}(\lambda)B(\lambda)\)且\(B(\lambda)\)的一阶行列式因子为\(1\)。

3.

设\(A=\begin{pmatrix} 0&2&0&0\\ 1&-1&0&0\\ 0&0&0&-2\\ 0&0&1&3 \end{pmatrix}\)，求\(A\)的不变因子、特征多项式和极小多项式。
解答.
令
\begin{equation*} B=\begin{pmatrix} 0&2\\1&-1 \end{pmatrix},C=\begin{pmatrix} 0&-2\\1&3 \end{pmatrix}, \end{equation*}
则
\begin{equation*} A=\begin{pmatrix} B&0\\0&C \end{pmatrix}. \end{equation*}
计算可得
\begin{equation*} \lambda E-B\simeq \begin{pmatrix} 1&0\\0&(\lambda+2)(\lambda-1) \end{pmatrix},\quad \lambda E-C\simeq \begin{pmatrix} 1&0\\0&(\lambda-1)(\lambda-2) \end{pmatrix}. \end{equation*}
令
\begin{equation*} A(\lambda)=\begin{pmatrix} 1&0&0&0\\ 0&(\lambda+2)(\lambda-1)&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&(\lambda-1)(\lambda-2) \end{pmatrix}, \end{equation*}
则\(\lambda E-A\simeq A(\lambda)\)，故\(A\)与\(A(\lambda)\)有相同的行列式因子。因为\(A(\lambda)\)的行列式因子为
\begin{equation*} D_1(\lambda)=D_2(\lambda)=1,D_3(\lambda)=\lambda-1,D_4(\lambda)=(\lambda+2)(\lambda-2)(\lambda-1)^2, \end{equation*}
所以\(A\)的行列式因子也是
\begin{equation*} D_1(\lambda)=D_2(\lambda)=1,D_3(\lambda)=\lambda-1,D_4(\lambda)=(\lambda+2)(\lambda-2)(\lambda-1)^2. \end{equation*}
相应地，\(A\)的不变因子为
\begin{equation*} g_1(\lambda)=g_2(\lambda)=1,g_3(\lambda)=\lambda-1,g_4(\lambda)=(\lambda+2)(\lambda-2)(\lambda-1). \end{equation*}
从而，
\begin{equation*} f_A(\lambda)=D_4(\lambda)=(\lambda+2)(\lambda-2)(\lambda-1)^2,m_A(\lambda)=g_4(\lambda)=(\lambda+2)(\lambda-2)(\lambda-1). \end{equation*}

4.

若\(n\)阶方阵\(A\)是幂零矩阵，即有大于\(1\)的整数\(k\)，使得\(A^k=0,A^{k-1}\neq 0\)。求\(A\)的最后一个不变因子。
解答.
因为\(A^k=0\)，所以\(\lambda^k\)是\(A\)的一个零化多项式。由\(m_A(\lambda)\)整除\(A\)的零化多项式知：存在\(0<l\leq k\)，使得\(m_A(\lambda)=\lambda^l\)。注意到\(A^{k-1}\neq 0\)，所以\(m_A(\lambda)=\lambda^k\)。故\(A\)的最后一个不变因子\(g_n(\lambda)=m_A(\lambda)=\lambda^k\)。

5.

设\(A\)是数域\(\mathbb{F}\)上的\(n\)阶方阵，\(A\)的行列式因子是\(1,\cdots ,1,f(\lambda)\)，证明：\(f_A(\lambda)=m_A(\lambda)\)。
解答.
因\(A\)的行列式因子是\(1,\cdots ,1,f(\lambda)\)，所以\(A\)的不变因子为
\begin{equation*} g_1(\lambda)=1,g_2(\lambda)=\frac{D_(\lambda)}{D_1(\lambda)}=1,\cdots ,g_{n-1}(\lambda)=\frac{D_{n-1}(\lambda)}{D_{n-2}(\lambda)}=1,g_{n}(\lambda)=\frac{D_{n}(\lambda)}{D_{n-1}(\lambda)}=f(\lambda). \end{equation*}
故\(m_A(\lambda)=g_n(\lambda)=f(\lambda)\)。注意到\(A\)的最后一个行列式因子等于\(f_A(\lambda)\)，所以\(f_A(\lambda)=f(\lambda)\)。因此\(f_A(\lambda)=m_A(\lambda)=f(\lambda)\)。

6.

对于任意\(n\)阶方阵\(A\)，证明：\(A\)相似于\(A^T\)。
解答.
对任意方\(\lambda\)-矩阵\(B(\lambda)\)，\(\det B(\lambda)=\det B(\lambda)^T \)。\(\lambda E-A\) 的任意非零\(k\)阶子式其转置也是\(\lambda E-A^T \)的非零\(k\)阶子式。根据定义，\(A\)和\(A^T\)有相同的行列式因子组。于是，\(A\)相似于\(A^T\)。

7.

判断下列矩阵是否相似。
  1. \(\begin{pmatrix} 1&0\\0&-1 \end{pmatrix},\ \begin{pmatrix} 0&1\\1&0 \end{pmatrix}\)；
  2. \(\begin{pmatrix} 1&0\\0&1 \end{pmatrix},\ \begin{pmatrix} 1&1\\0&1 \end{pmatrix}\)；
  3. \(\begin{pmatrix} 1&0\\0&-1 \end{pmatrix},\ \begin{pmatrix} 2&0\\0&-\frac{1}{2} \end{pmatrix}\)；
  4. \(\begin{pmatrix} 3&2&-5\\2&6&-10\\1&2&-3 \end{pmatrix},\ \begin{pmatrix} 2&1&0\\0&2&0\\0&0&2 \end{pmatrix}\)。
解答.
（1）是；（2）否；（3）否；（4）是。

8.

设\(A\)为\(2n\)阶实方阵，且\(A^2+E=0\)，证明：\(A\)相似于\(\begin{pmatrix} 0&-E_n\\ E_n&0 \end{pmatrix}\)。
解答.
因为\(A^2+E=0\)，所以
\begin{equation*} g(\lambda)=\lambda^2+1 \end{equation*}
是\(A\)的一个零化多项式。注意到\(m_A(\lambda)\mid g(\lambda)\)且\(g(\lambda)\)在\(\mathbb{R}\)上不可约，所以
\begin{equation*} m_A(\lambda)=g(\lambda)=\lambda^2+1. \end{equation*}
因此\(A\)的最后一个不变因子
\begin{equation*} g_{2n}(\lambda)=m_A(\lambda)=\lambda^2+1. \end{equation*}
注意到对任意\(1\leq k\leq n-1\)，\(g_{k}(\lambda)\mid g_{2n}(\lambda)\)，且\(g_{2n}(\lambda)\)在\(\mathbb{R}\)上不可约，所以\(g_k(\lambda)=1\)或\(\lambda^2+1\)。又
\begin{equation*} f_A(\lambda)=g_1(\lambda)g_2(\lambda)\cdots g_{2n}(\lambda) \end{equation*}
是\(2n\)次多项式，所以\(A\)的不变因子为
\begin{equation*} g_1(\lambda)=\cdots=g_{n}(\lambda)=1,g_{n+1}(\lambda)=\cdots =g_{2n}(\lambda)=\lambda^2+1. \end{equation*}
令\(B=\begin{pmatrix} 0&-E_n\\ E_n&0 \end{pmatrix}\)，对\(\lambda E_{2n}-B\)进行初等变换
\begin{equation*} \begin{pmatrix} \lambda E_n&E_n\\ -E_n&\lambda E_n \end{pmatrix}\rightarrow\begin{pmatrix} 0&(\lambda^2+1)E_n\\ -E_n&\lambda E_n \end{pmatrix}\rightarrow\begin{pmatrix} 0&(\lambda^2+1)E_n\\ -E_n&0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} E_n&0\\ 0&(\lambda^2+1)E_n \end{pmatrix}, \end{equation*}
所以\(B\)的不变因子也是
\begin{equation*} g_1(\lambda)=\cdots=g_{n}(\lambda)=1,g_{n+1}(\lambda)=\cdots =g_{2n}(\lambda)=\lambda^2+1. \end{equation*}
\(A\)、\(B\)有相同的不变因子，因此\(A\)相似于\(B\)。

9.

设\(\mathbb{Q}\)上的\(10\)阶方阵\(A\)的不变因子为
\begin{equation*} 1,1,\cdots ,1,(\lambda-2)^2(\lambda^2+2),(\lambda-2)^2(\lambda^2+2)^2, \end{equation*}
写出\(A\)的Frobenius标准形。
解答.
\(A\)的Frobenius标准形为
\begin{equation*} \begin{array}{cl} &\begin{pmatrix} F\left((\lambda-2)^2(\lambda^2+2)\right)&0\\ 0&F\left((\lambda-2)^2(\lambda^2+2)^2\right) \end{pmatrix}\\ =&\begin{pmatrix} F\left(\lambda^4-4\lambda^3+6\lambda^2-8\lambda+8\right)&0\\ 0&F\left(\lambda^6-4\lambda^5+8\lambda^4-16\lambda^3+20\lambda^2-16\lambda+16\right) \end{pmatrix}, \end{array} \end{equation*}
即
\begin{equation*} \begin{pmatrix} 0&0&0&-8&0&0&0&0&0&0\\ 1&0&0&8&0&0&0&0&0&0\\ 0&1&0&-6&0&0&0&0&0&0\\ 0&0&1&4&0&0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0&0&0&0&0&-16\\ 0&0&0&0&1&0&0&0&0&16\\ 0&0&0&0&0&1&0&0&0&-20\\ 0&0&0&0&0&0&1&0&0&16\\ 0&0&0&0&0&0&0&1&0&-8\\ 0&0&0&0&0&0&0&0&1&4 \end{pmatrix}. \end{equation*}

10.

写出下列矩阵\(A\)在Frobenius标准形。
(1)\(\begin{pmatrix} 3&2&-5\\2&6&-10\\1&2&-3 \end{pmatrix}\)；(2) \(\begin{pmatrix} 1&1&0&0&0\\ 0&1&0&0&0\\ 0&0&3&2&-5\\ 0&0&2&6&-10\\ 0&0&1&2&-3 \end{pmatrix}\)。
解答.
(1)由 练习 7.3.2.1的第3小题知： \(A\)的不变因子为
\begin{equation*} g_1(\lambda)=1,g_2(\lambda)=\lambda-2,g_3(\lambda)=(\lambda-2)^2, \end{equation*}
所以\(A\)的Frobenius标准形为
\begin{equation*} \begin{pmatrix} F(\lambda-2)&0\\ 0&F\left((\lambda-2)^2\right) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2&0&0\\ 0&0&-4\\ 0&1&4 \end{pmatrix}. \end{equation*}
(2)设\(B=\begin{pmatrix} 1&1\\ 0&1 \end{pmatrix},C=\begin{pmatrix} 3&2&-5\\ 2&6&-10\\ 1&2&-3 \end{pmatrix}\)，则\(A=\begin{pmatrix} B&0\\ 0&C \end{pmatrix}\)。计算可得
\begin{equation*} \lambda E-B\simeq \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&(\lambda-1)^2 \end{pmatrix},\quad \lambda E-C\simeq \begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&\lambda-2&0\\ 0&0&(\lambda-2)^2 \end{pmatrix}, \end{equation*}
所以
\begin{equation*} \lambda E-A\simeq \begin{pmatrix} 1&0&0&0&0\\ 0&(\lambda-1)^2&0&0&\\ 0&0&1&0&0\\ 0&0&0&\lambda-2&0\\ 0&0&0&0&(\lambda-2)^2 \end{pmatrix}. \end{equation*}
故\(A\)的行列式因子为
\begin{equation*} D_1(\lambda)=D_2(\lambda)=D_3(\lambda)=1,D_4(\lambda)=\lambda-2,D_5(\lambda)=(\lambda-1)^2(\lambda-2)^3. \end{equation*}
相应地，\(A\)的不变因子为
\begin{equation*} g_1(\lambda)=g_2(\lambda)=g_3(\lambda)=1,g_4(\lambda)=\lambda-2,g_5(\lambda)=(\lambda-1)^2(\lambda-2)^2. \end{equation*}
因此\(A\)的Frobenius标准形为
\begin{equation*} \begin{pmatrix} F(\lambda-2)&0\\ 0&F\left((\lambda-1)^2(\lambda-2)^2\right) \end{pmatrix}, \end{equation*}
即
\begin{equation*} \begin{pmatrix} 2&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&-4\\ 0&1&0&0&12\\ 0&0&1&0&-13\\ 0&0&0&1&6 \end{pmatrix}. \end{equation*}

11.

若\(n\)阶方阵\(A\)是幂零矩阵，即有大于\(1\)的整数\(k\)，使得\(A^k=0,A^{k-1}\neq 0\)。求\(A\)的最后一个不变因子。
解答.
因为\(A^k=0\)，所以\(\lambda^k\)是\(A\)的一个零化多项式。由\(m_(A)\)整除\(A\)的零化多项式知：存在\(0<l\leq k\)，使得\(m_A(\lambda)=\lambda^l\)。注意到\(A^{k-1}\neq 0\)，所以\(m_A(\lambda)=\lambda^k\)。故\(A\)的最后一个不变因子\(g_n(\lambda)=\lambda^k\)。

12.

设\(A\)是数域\(\mathbb{F}\)上的\(n\)阶方阵，\(A\)的行列式因子是\(1,\cdots ,1,f(\lambda)\)，证明：\(f_A(\lambda)=m_A(\lambda)\)。
解答.
因\(A\)的行列式因子是\(1,\cdots ,1,f(\lambda)\)，所以\(A\)的不变因子为
\begin{equation*} g_1(\lambda)=1,g_2(\lambda)=\frac{D_(\lambda)}{D_1(\lambda)}=1,\cdots , \end{equation*}
\begin{equation*} g_{n-1}(\lambda)=\frac{D_{n-1}(\lambda)}{D_{n-2}(\lambda)}=1,g_{n}(\lambda)=\frac{D_{n}(\lambda)}{D_{n-1}(\lambda)}=f(\lambda). \end{equation*}
故\(m_A(\lambda)=g_n(\lambda)=f(\lambda)\)。注意到\(A\)的最后一个行列式因子等于\(f_A(\lambda)\)，所以\(f_A(\lambda)=f(\lambda)\)。因此\(f_A(\lambda)=m_A(\lambda)=f(\lambda)\)。

13.

设\(A\)是数域\(\mathbb{F}\)上的\(n\)阶方阵，证明：若\(\deg m_A(\lambda)=n\)，则\(A\)的Frobenius标准形是一个Frobenius块。
解答.
因为\(g_n(\lambda)=m_A(\lambda)\)，所以\(\deg g_n(\lambda)=\deg m_A(\lambda)=n\)。注意到\(\deg\left(\prod\limits_{i=1}^n g_i(\lambda)\right)=n\)，故\(A\)的不变因子为
\begin{equation*} g_1(\lambda)=\cdots =g_{n-1}(\lambda)=1,g_n(\lambda)=m_A(\lambda). \end{equation*}
因此\(A\)的Frobenius标准形\(F(m_A(\lambda))\)是一个Frobenius块。

14.

设\(A,B\)是数域\(\mathbb{F}\)上\(3\)阶方阵，证明：\(A\)相似于\(B\)的充分必要条件是\(m_A(\lambda)=m_B(\lambda)\)且\(f_A(\lambda)=f_B(\lambda)\)。当\(A,B\)为\(4\)阶方阵时，情况如何？
解答.
1、\(A,B\)均为\(3\)阶矩阵时，必要性显然。以下分情况讨论充分性。
  • 若\(\deg m_A(\lambda)=1\)，因为\(m_A(\lambda)=m_B(\lambda)\)，所以\(A\)和\(B\)的不变因子均为\(g_1(\lambda)=g_2(\lambda)=g_3(\lambda)=m_A(\lambda)\)，故\(A\)相似于\(B\)。
  • 若\(\deg m_A(\lambda)=2\)，则由\(m_A(\lambda)=m_B(\lambda),f_A(\lambda)=f_B(\lambda)\)，可知\(A\)和\(B\)的不变因子均为\(g_1(\lambda)=1,g_2(\lambda)=\frac{f_A(\lambda)}{m_A(\lambda)},g_3(\lambda)=m_A(\lambda)\)，故\(A\)相似于\(B\)。
  • 若\(\deg m_A(\lambda)=3\)，即\(m_A(\lambda)=f_A(\lambda)\)，则\(A\)和\(B\)的不变因子均为\(g_1(\lambda)=g_2(\lambda)=1,g_3(\lambda)=m_A(\lambda)\)，故\(A\)相似于\(B\)。
2、若\(A,B\)均为\(4\)阶矩阵时，必要性依然成立，但充分性不成立。反例，当
\begin{equation*} A=\begin{pmatrix} 0&1&&\\0&0&&\\&&0&1\\&&0&0 \end{pmatrix},B=\begin{pmatrix} 0&0&&\\0&0&&\\&&0&1\\&&0&0 \end{pmatrix}, \end{equation*}
则\(m_A(\lambda)=m_B(\lambda)=\lambda^2,f_A(\lambda)=f_B(\lambda)=\lambda^4\)，但\(r(A)=2\neq 1=r(B)\)，故\(A\)与\(B\)不相似。

15.

设\(\varphi,\psi\)是\(n\)维线性空间\(V\)上的线性变换，且\(\deg m_\varphi(\lambda)=n\)。证明：\(\varphi\psi=\psi\varphi\)的充分必要条件是\(\psi=h(\varphi)\)，其中\(\deg h(\lambda)<n\)。
解答.
充分性显然成立。
必要性：设\(\xi_1,\xi_2,\cdots ,\xi_n\)是\(V\)的一个基，且
\begin{equation*} \varphi(\xi_1,\xi_2,\cdots ,\xi_n)=(\xi_1,\xi_2,\cdots ,\xi_n)\begin{pmatrix} 0&0&\cdots&0&-a_0\\ 1&0&\cdots&0&-a_1\\ 0&1&\cdots&0&-a_2\\ \vdots&\vdots&&\vdots&\vdots\\ 0&0&\cdots&1&-a_{n-1} \end{pmatrix}, \end{equation*}
则\(\varphi(\xi_1)=\xi_2,\varphi(\xi_2)=\xi_3,\cdots,\varphi(\xi_{n-1})=\xi_n\)，即
\begin{equation*} \varphi(\xi_1)=\xi_2,\varphi^2(\xi_1)=\xi_3,\cdots ,\varphi^{n-1}(\xi_1)=\xi_n\mbox{。} \end{equation*}
由\(\psi(\xi_1)\in V\)知，存在\(b_0,b_1,\cdots ,b_{n-1}\in\mathbb{F}\)，使得
\begin{equation*} \psi(\xi_1)=b_0\xi_1+b_1 \xi_2+\cdots+b_{n-1}\xi_n=b_0\xi_1+b_1\varphi(\xi_1)+\cdots +b_{n-1}\varphi^{n-1}(\xi_1), \end{equation*}
即\(\psi(\xi_1)=\sum\limits_{i=0}^{n-1}b_i\varphi^i(\xi_1)\)。令\(h(\lambda)=\sum\limits_{i=0}^{n-1}b_i \lambda^i\)，则\(\deg h(\lambda)<n\)。我们断言\(\psi=h(\varphi)\)。
事实上，对任意\(2\leq j\leq n\)，因为\(\psi\varphi=\varphi\psi\)，所以
\begin{equation*} \psi(\xi_j)=\psi\left(\varphi^{j-1}(\xi_1)\right)=\varphi^{j-1}\left(\psi(\xi_1)\right)=\varphi^{j-1}\left(\sum\limits_{i=0}^{n-1}b_i\varphi^i(\xi_1)\right) \end{equation*}
\begin{equation*} =\sum\limits_{i=0}^{n-1}b_i\varphi^{i+j-1}(\xi_1)=\sum\limits_{i=1}^{n-1}b_i\varphi^i\left(\varphi^{j-1}(\xi_1)\right)=\sum\limits_{i=1}^{n-1}b_i\varphi^i(\xi_j)=h(\varphi)(\xi_j). \end{equation*}
故\(\forall 1\leq j\leq n\)，均有\(\psi(\xi_j)=h(\varphi)(\xi_j)\)。因此，\(\psi=h(\varphi)\)，其中\(\deg h(\lambda)<n\)。
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