节 3.4 子空间
建设中！
子节 3.4.1 主要知识点
例 3.4.2.
任意非零线性空间\(V\)，只含零元素的子集\(0\)是\(V\)的子空间，称为零子空间； 线性空间\(V\)本身也是\(V\)的一个子空间。这两个子空间称为\(V\)的平凡子空间，其它子空间称为非平凡子空间。
备注 3.4.3.
线性子空间也是数域\(\mathbb{F}\)上线性空间，它也有维数与基的概念。
任一子空间的维数不能超过整个空间的维数。
设\(U\)是\(V\)的非平凡子空间，则\(0<\dim U<\dim V\)。
例 3.4.4.
任意过原点的直线和平面都是三维空间的非平凡子空间。
例 3.4.5.
判断下列集合是否是\(\mathbb{F}^{n\times n}\)的子空间。
- \(\mathbb{F}\)上所有\(n\)阶对称矩阵构成的集合；
- \(\mathbb{F}\)上所有\(n\)阶反对称矩阵构成的集合；
- \(\mathbb{F}\)上所有\(n\)阶对称矩阵和反对称矩阵构成的集合；
- \(\mathbb{F}\)上所有\(n\)阶上三角矩阵构成的集合；
- \(\mathbb{F}\)上所有\(n\)阶下三角矩阵构成的集合。
例 3.4.6.
设\(U=\left\{\left(\begin{array}{cc}
a&b\\c&d
\end{array}\right)\Big{|}ad=0\right\}\)，判断\(U\)是否为\(\mathbb{F}^{2\times 2}\)的子空间。
- 设\(S\)是线性空间\(V\)的非空子集， 包含\(S\)的子空间应该满足什么条件？
定义 3.4.7.
设\(S\)是线性空间\(V\)的非空子集，则\begin{equation*} \{a_1\alpha_1+a_2\alpha_2+\cdots+a_m\alpha_m|m\in\mathbb{Z}^+,a_i\in \mathbb{F},\alpha_i\in S,i=1,\cdots,m\} \end{equation*}是\(V\)的子空间， 称做由\(S\)生成的子空间， 记为\(\langle S\rangle\)。 - 特别地， 若\(S=\{\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m\}\)，则\begin{align*} \langle S\rangle & = & \{a_1\alpha_1+a_2\alpha_2+\cdots+a_m\alpha_m|a_i\in \mathbb{F},i=1,2,\cdots,m\}\\ & \triangleq &\blue{ \langle \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m\rangle} \end{align*}
备注 3.4.8.
- \(\alpha\)可由\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)线性表出的充要条件是\begin{equation*} \alpha\in \langle \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\rangle ; \end{equation*}
- \(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)可由\(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_t\)线性表出的充要条件是\begin{equation*} \langle \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\rangle \subseteq \langle \beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_t\rangle \end{equation*}
- \(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)与\(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_t\)等价的充要条件是\begin{equation*} \langle \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\rangle =\langle \beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_t\rangle \end{equation*}
定理 3.4.9.
设\(S\)是线性空间\(V\)的非空子集，则
- \(\langle S\rangle \)是包含\(S\)的\(V\)的最小子空间；
- \(S\)的极大无关组是\(\langle S\rangle \)的基；
- \(\dim \langle S\rangle =r(S)\)。
设\(\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n\)是线性空间\(V\)的一个基，\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\in V\)，若
\begin{equation*}
(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s)=(\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n)A_{n\times s},
\end{equation*}
则向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)与矩阵\(A\)的列向量组具有相同的线性相关性。所以可对矩阵\(A\)作初等行变换化阶梯阵来求向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)的一个极大无关组，从而求出生成子空间\(\langle \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\rangle \)的基与维数。
例 3.4.10.
设\(V\)为数域\(\mathbb{F}\)上的线性空间，\(\xi_1,\xi_2,\xi_3,\xi_4\)为\(V\)的一个基，\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\in V\text{,}\)且
\begin{equation*}
\begin{array}{c}
\alpha_1=\xi_1+2\xi_2+3\xi_3+4\xi_4\\\alpha_2=2\xi_1-\xi_2+3\xi_3+4\xi_4\\\alpha_3=\xi_1+3\xi_2-3\xi_4
\end{array}
\end{equation*}
求生成子空间\(\langle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\rangle \)的一个基与维数。
定义 3.4.11.
设\(V_1,V_2\)是线性空间\(V\)的子空间，则
\begin{equation*}
V_1\bigcap V_2=\{\alpha |\alpha\in V_1,\alpha\in V_2\}
\end{equation*}
是\(V\)的子空间，称为\(V_1\)与\(V_2\)的交空间。
例 3.4.12.
设\(A\)是\(m\times n\)矩阵， \(B\)是\(s\times n\)矩阵， \(V\)是\(AX=0\)的解空间， \(U\)是\(BX=0\)的解空间， 则\(V\bigcap U\)是
\begin{equation*}
\left(\begin{array}{c}
A\\B
\end{array}\right)X=0
\end{equation*}
的解空间。
定义 3.4.13.
设\(V_1,V_2\)是\(V\)的子空间，则
\begin{equation*}
V_1+V_2=\{\alpha_1+\alpha_2|\alpha_1\in V_1,\alpha_2\in V_2\}
\end{equation*}
是\(V\)的子空间，称为\(V_1\)与\(V_2\)的和空间。设\(V_1,V_2,\cdots,V_s\)是线性空间\(V\)的子空间，则
- \begin{equation*} V_1\bigcap V_2\bigcap\cdots\bigcap V_s=\{\alpha|\alpha\in V_i,i=1,2,\cdots,s\} \end{equation*}是\(V\)的子空间，称为\(V_1,V_2,\cdots,V_s\)的交空间。
- \begin{equation*} V_1+V_2+\cdots+V_s=\{\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_s|\alpha_i\in V_i,i=1,2,\cdots,s\} \end{equation*}是\(V\)的子空间，称为\(V_1,V_2,\cdots,V_s\)的和空间。
例 3.4.14.
设\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s,\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_t\in V\)，则
\begin{equation*}
\langle \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\rangle +\langle \beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_t\rangle =\langle \alpha_1,\cdots,\alpha_s,\beta_1,\cdots,\beta_t\rangle
\end{equation*}
例 3.4.15.
设\(V_1,V_2\)是\(V\)的子空间，则\(\langle V_1\bigcup V_2\rangle =V_1+V_2\)。
- 即和空间\(V_1+V_2\)是包含\(V_1\bigcup V_2\)的最小的子空间。
例 3.4.16.
设\(V_1,V_2\)是\(\mathbb{R}^3\)中两个过原点的平面，求\(V_1\bigcap V_2,V_1+V_2\)。
解答.
当\(V_1,V_2\)重合时，则\({V_1} \cap {V_2} = {V_1}=V_1+V_2\)。
当\(V_1,V_2\)不重合时，则\({V_1} \cap {V_2}\)是过原点的直线，\(V_1+V_2=\mathbb{R}^3\)。
例 3.4.17.
设\(V_1=\{A\in \mathbb{F}^{n\times n}|A^T=A\},V_2=\{A\in \mathbb{F}^{n\times n}|A^T=-A\}\)，求\(V_1\bigcap V_2,V_1+V_2\)。
解答.
\(V_1\bigcap V_2=0,\ V_1+V_2=\mathbb{F}^{n\times n}\)。
定理 3.4.18.
设\(V_1,V_2\)是\(V\)的子空间，则
\begin{equation*}
{\rm{dim}}({V_{\rm{1}}} + {V_{\rm{2}}}) = {\rm{dim}}{V_{\rm{1}}} + {\rm{dim}}{V_{\rm{2}}} - {\rm{dim(}}{V_{\rm{1}}} \cap {V_{\rm{2}}}{\rm{)}}
\end{equation*}
例 3.4.19.
\begin{equation*}
\begin{array}{c}{\alpha _1} = (1,2,1,0)^T,\alpha _2 = ( - 1,1,1,1)^T,\\\beta_1=(2,-1,0,1)^T,\beta_2=(1,-1,3,7)^T,\end{array}
\end{equation*}
- 求\(\langle \alpha_1,\alpha_2\rangle +\langle \beta_1,\beta_2\rangle \)的维数与一个基；
- 求\(\langle \alpha_1,\alpha_2\rangle \bigcap \langle \beta_1,\beta_2\rangle \)的维数与一个基。
例 3.4.20.
设\(V_1,V_2\)是线性空间\(V\)的非平凡子空间， 则必存在\(\alpha\in V\)， 使得
\begin{equation*}
\alpha\notin V_1\bigcup V_2
\end{equation*}
例 3.4.21.
设\(V_1,V_2,\cdots,V_s\)是线性空间\(V\)的非平凡子空间，则存在\(\alpha\in V\)，使得
\begin{equation*}
\alpha\notin V_1\bigcup V_2\bigcup\cdots\bigcup V_s
\end{equation*}
练习 3.4.2 练习
1.
判断下列数域\(\mathbb{F}\)上\(n\)元方程的解集是否为\(\mathbb{F}^n\)的子空间：
- \(\sum\limits_{i=1}^n a_ix_i=0\)；
- \(\sum\limits_{i=1}^n a_ix_i=1\)；
- \(\sum\limits_{i=1}^n x_i^2=0\)。
解答.
a. 是；b. 不是；c. 与数域\(\mathbb{F}\)有关。
2.
设\(A=\begin{pmatrix}
1&1&0\\0&1&1\\0&0&1
\end{pmatrix},C(A)=\left\{B\in\mathbb{F}^{3\times 3}|AB=BA\right\}\)，求\(C(A)\)的一个基和维数。
解答.
对任意\(B=(b_{ij})_{3\times 3}\in C(A)\)，有\(AB=BA\)，即
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
b_{11}+b_{21}&b_{12}+b_{22}&b_{13}+b_{23}\\b_{21}+b_{31}&b_{22}+b_{32}&b_{23}+b_{33}\\b_{31}&b_{32}&b_{33}
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
b_{11}&b_{11}+b_{12}&b_{12}+b_{13}\\b_{21}&b_{21}+b_{22}&b_{22}+b_{23}\\b_{31}&b_{31}+b_{32}&b_{32}+b_{33}
\end{pmatrix},
\end{equation*}
比较系数得：\(b_{21}=b_{31}=b_{32}=0,b_{11}=b_{22}=b_{33},b_{12}=b_{23}\)。
故
\begin{equation*}
B=\begin{pmatrix}
b_{11}&b_{12}&b_{13}\\0&b_{11}&b_{12}\\0&0&b_{11}
\end{pmatrix}=b_{11}E_3+b_{12}J+b_{13}J^2,
\end{equation*}
其中\(J=\begin{pmatrix}
0&1&0\\0&0&1\\0&0&0
\end{pmatrix}\)，即\(B\)可由\(E_3,J,J^2\)线性表出。假设
\begin{equation*}
aE_3+bJ+cJ^2=0,
\end{equation*}
即\(\begin{pmatrix}
a&b&c\\0&a&b\\0&0&a
\end{pmatrix}=0\)，则\(a=b=c=0\)。故\(E_3,J,J^2\)线性无关。
综上，\(E_3,J,J^2\)是\(C(A)\)的一个基，\(\dim C(A)=3\)。
3.
设\(A\)是数域\(\mathbb{F}\)上\(n\)阶方阵，\(U=\{B\in\mathbb{F}^{n\times n}|AB=0\}\)。
- 证明：\(U\)是\(\mathbb{F}^{n\times n}\)的子空间；
- 设\(r(A)=r\)，求\(U\)的维数和一个基。
解答.
- 因为\(A0=0\)，所以\(0\in U\)，则\(U\)是\(\mathbb{F}^{n\times n}\)的非空子集。对任意\(B,C\in U, k\in \mathbb{F}\)，由\(AB=AC=0\)知\begin{equation*} A(B+C)=AB+AC=0,\ A(kB)=k(AB)=0, \end{equation*}则\(B+C,kB\in U\)。因此\(U\)是\(\mathbb{F}^{n\times n}\)的子空间。
- 设\(\xi_1,\xi_2,\cdots ,\xi_{n-r}\)是齐次线性方程组\(AX=0\)的基础解系，令\begin{equation*} \begin{array}{c} B_{11}=(\xi_1,0,\cdots ,0),B_{12}=(0,\xi_1,0,\cdots ,0),\cdots ,B_{1n}=(0,\cdots ,0,\xi_1),\\ B_{21}=(\xi_2,0,\cdots ,0),B_{22}=(0,\xi_2,0,\cdots ,0),\cdots ,B_{1n}=(0,\cdots ,0,\xi_2),\\ \cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\\ B_{n-r,1}=(\xi_{n-r},0,\cdots ,0),B_{n-r,2}=(0,\xi_{n-r},0,\cdots ,0),\cdots ,B_{n-r,n}=(0,\cdots ,0,\xi_{n-r}), \end{array} \end{equation*}则\(AB_{ij}=0,\forall 1\leq i\leq n-r,1\leq j\leq n\)，即\(B_{ij}\in U\)。假设\(\sum\limits_{i=1}^{n-r}\sum\limits_{j=1}^n k_{ij}B_{ij}=0\)，即\begin{equation*} (\sum\limits_{i=1}^{n-r} k_{i1}\xi_i,\sum\limits_{i=1}^{n-r} k_{i2}\xi_i,\cdots ,\sum\limits_{i=1}^{n-r} k_{in}\xi_i)=0, \end{equation*}则\begin{equation*} \sum\limits_{i=1}^{n-r} k_{i1}\xi_i=\sum\limits_{i=1}^{n-r} k_{i2}\xi_i=\cdots =\sum\limits_{i=1}^{n-r} k_{in}\xi_i=0. \end{equation*}由\(\xi_1,\xi_2,\cdots ,\xi_{n-r}\)线性无关知\(k_{ij}=0,\forall 1\leq i\leq n-r,1\leq j\leq n\)。因此\begin{equation*} B_{11},B_{12},\cdots ,B_{1n},B_{21},B_{22},\cdots ,B_{2n},\cdots ,B_{n-r,1},B_{n-r,2},\cdots ,B_{n-r,n} \end{equation*}线性无关。对任意\(B\in U\)，设\(B=(\beta_1,\beta_2,\cdots ,\beta_n)\)，由\(AB=0\)知\begin{equation*} A\beta_j=0,\ \forall 1\leq j\leq n, \end{equation*}即\(\forall 1\leq j\leq n,\ \beta_j\)是齐次线性方程组\(AX=0\)的解，故存在\(a_{ij}\in\mathbb{F}\)，使得\(\beta_j=\sum\limits_{i=1}^{n-r} a_{ij}\xi_i\)。于是，\begin{equation*} B=(\sum\limits_{i=1}^{n-r} a_{i1}\xi_i,\sum\limits_{i=1}^{n-r} a_{i2}\xi_i,\cdots ,\sum\limits_{i=1}^{n-r} a_{in}\xi_i)=\sum\limits_{i=1}^{n-r}\sum\limits_{j=1}^n a_{ij}B_{ij}, \end{equation*}即\(B\)可由\(B_{11},B_{12},\cdots ,B_{1n},B_{21},B_{22},\cdots ,B_{2n},\cdots ,B_{n-r,1},B_{n-r,2},\cdots ,B_{n-r,n}\)线性表出。因此\(B_{11},B_{12},\cdots ,B_{1n},B_{21},B_{22},\cdots ,B_{2n},\cdots ,B_{n-r,1},B_{n-r,2},\cdots ,B_{n-r,n}\)是\(U\)的一个基，\(\dim U=n(n-r)\)。
4.
设\(A\)是\(m\times n\)行满秩实矩阵，\(B=A^TA\)。令\(V=\left\{X\in\mathbb{R}^n\ |\ X^TBX=0\right\}\)，证明\(V\)是\(\mathbb{R}^n\)的一个子空间，并求\(\dim V\)。
解答.
对任意\(X\in V\)，有\(X^TBX=0\)，则\(X^TA^TAX=0\)，即
\begin{equation*}
(AX)^T(AX)=0.
\end{equation*}
由\(AX\in\mathbb{R}^m\)知\(AX=0\)，故\(V\subseteq \{X\in\mathbb{R}^n|AX=0\}\)。显然\(\{X\in\mathbb{R}^n|AX=0\}\subseteq V\)，故\(V\)是\(AX=0\)的解空间。因此\(V\)是\(\mathbb{R}^n\)的一个子空间，且
\begin{equation*}
\dim V=n-r(A)=n-m.
\end{equation*}
5.
设\(V_1\)、\(V_2\)是线性空间\(V\)的子空间且\(V_1\subseteq V_2\)。证明：\(V_1=V_2\)的充分必要条件是\(\dim V_1=\dim V_2\)。
解答.
必要性：显然成立。
充分性：设\(\dim V_1= \dim V_2=m\)，\(\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_m\)是\(V_1\)的一组基。因\(V_1\subseteq V_2\)，所以\(\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_m\)也是\(V_2\)中\(m\)个线性无关的向量。由\(\dim V_2=m\)知：\(\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_m\)也是\(V_2\)的一个基，因此\(V_1=V_2\)。
6.
在线性空间\(\mathbb{F}^n\)中，证明：
- 存在\(\mathbb{F}^n\)的子空间\(U\)，使得\(U\)中任一非零向量的分量均不为零；
- 若\(\mathbb{F}^n\)的子空间\(U\)中任一非零向量的分量均不为零，则\(\dim U=1\)。
解答.
- 令\(U=\langle (1,1,\cdots ,1)^T\rangle\)，则\(U\)中任一非零向量的分量均不为零。
- 假设存在\(\mathbb{F}^n\)的子空间\(U\)，满足\(U\)中任一非零向量的分量均不为零且\(\dim U\geq 2\)，则存在\begin{equation*} \alpha=(a_1,a_2,\cdots ,a_n)^T,\beta=(b_1,b_2,\cdots ,b_n)^T\in U, \end{equation*}使得\(\alpha,\beta\)线性无关。因\(\beta\)是\(U\)中非零向量，故\(b_1,b_2,\cdots ,b_n\)均不为零。由\(\alpha,\beta\in U\)，\(U\)是\(\mathbb{F}^n\)的子空间知：\begin{equation*} \alpha-\frac{a_1}{b_1}\beta=(0,a_2-\frac{a_1b_2}{b_1},\cdots ,a_n-\frac{a_1b_n}{b_1})^T\in U. \end{equation*}又\(\alpha,\beta\)线性无关，所以\(\alpha-\frac{a_1}{b_1}\beta\neq 0\)。从而\(U\)中存在非零向量\(\alpha-\frac{a_1}{b_1}\beta\)，其分量不全非零，与已知矛盾。因此\(\dim U=1\)。
7.
设\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)是线性空间\(V\)中的向量，若它们两两线性无关但全体线性相关，求证：
\begin{equation*}
\langle \alpha_1,\alpha_2\rangle=\langle \alpha_2,\alpha_3\rangle=\langle \alpha_1,\alpha_3\rangle.
\end{equation*}
解答.
证法一：记\(W=\langle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\rangle\)。 因为\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)两两线性无关但全体线性相关，所以\(\dim W =rank(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)=2\)。
因为\(\alpha_1,\alpha_2\)线性无关，所以\(\dim \langle \alpha_1,\alpha_2\rangle=2\)。又因为\(\alpha_1\in W\)，\(\alpha_2\in W\)，所以\(\langle \alpha_1,\alpha_2\rangle\subseteq W\)。故\(\langle \alpha_1,\alpha_2\rangle=W\)。同理可证\(\langle \alpha_2,\alpha_3\rangle=\langle \alpha_1,\alpha_3\rangle=W\)，结论成立。
证法二：因为\(\alpha_1,\alpha_2\)线性无关，\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)线性相关，所以\(\alpha_3\)可由\(\alpha_1,\alpha_2\)线性表出，则向量组\(\alpha_1,\alpha_3\)可由\(\alpha_1,\alpha_2\)线性表出。因此\(\langle \alpha_1,\alpha_3\rangle\subseteq\langle \alpha_1,\alpha_2\rangle\)。
同理由\(\alpha_1,\alpha_3\)线性无关、\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)线性相关可证\(\langle \alpha_1,\alpha_2\rangle\subseteq\langle \alpha_1,\alpha_3\rangle\)。因此\(\langle \alpha_1,\alpha_3\rangle =\langle \alpha_1,\alpha_2\rangle\)。
同理可证\(\langle \alpha_1,\alpha_3\rangle =\langle \alpha_2,\alpha_3\rangle\)，结论成立。
8.
在\(\mathbb{F}^{2\times 3}\)中，\(U=\langle A_1,A_2,A_3\rangle\)，其中
\begin{equation*}
A_1=\begin{pmatrix}
1&3&-2\\2&1&1
\end{pmatrix},A_2=\begin{pmatrix}
1&4&-3\\4&2&1
\end{pmatrix},A_3=\begin{pmatrix}
2&3&-1\\-2&-1&2
\end{pmatrix},
\end{equation*}
求\(U\)的维数和一个基。
解答.
设\(A_1,A_2,A_3\)在基\(E_{11},E_{12},E_{13},E_{21},E_{22},E_{23}\)下坐标分别为\(X_1,X_2,X_3\)，则
\begin{equation*}
(A_1,A_2,A_3)=(E_{11},E_{12},E_{13},E_{21},E_{22},E_{23})A,
\end{equation*}
其中\(A=(X_1,X_2,X_3)\)。对\(A\)进行初等行变换
\begin{equation*}
A=\begin{pmatrix}
1&1&2\\
3&4&3\\
-2&-3&-1\\
2&4&-2\\
1&2&-1\\
1&1&2
\end{pmatrix}\rightarrow\begin{pmatrix}
1&1&2\\
0&1&-3\\
0&0&0\\
0&0&0\\
0&0&0\\
0&0&0
\end{pmatrix},
\end{equation*}
故\(X_1,X_2\)是\(X_1,X_2,X_3\)的一个极大无关组。因为\(A_1,A_2,A_3\)与\(X_1,X_2,X_3\)有相同的线性关系，所以\(A_1,A_2\)是\(A_1,A_2,A_3\)的一个极大无关组。因此，\(A_1,A_2\)是\(U=\langle A_1,A_2,A_3\rangle\)的一个基，\(\dim U=2\)。
9.
设\(A\in\mathbb{F}^{m\times n}\)且\(A=(A_1,A_2,\cdots ,A_n)\)，其中\(A_i\in\mathbb{F}^m(1\leq i\leq n)\)。记
\begin{equation*}
V=\{\ AX\ |\ X\in\mathbb{F}^n\ \}.
\end{equation*}
求证：
- \(V\)是\(\mathbb{F}^m\)的子空间；
- \(V=\langle A_1,A_2,\cdots ,A_n\rangle\)；
- \(\dim V=r(A)\)。
解答.
-
显然\(0\in V\)，所以\(V\)是\(\mathbb{F}^m\)的非空子集。对任意\(Y_1,Y_2\in V,k_1,k_2\in\mathbb{F}\)，则存在\(X_1,X_2\in \mathbb{F}^n\)使得\(Y_1=AX_1,Y_2=AX_2\)。故\begin{equation*} k_1Y_1+k_2Y_2=k_1(AX_1)+k_2(AX_2)=A(k_1X_1+k_2X_2)\in V. \end{equation*}因此\(V\)是\(\mathbb{F}^m\)的子空间。
- 对任意\(Y\in V\)，存在\(X\in\mathbb{F}^n\)使得\(Y=AX\)。记\(X=(x_1,x_2,\cdots ,x_n)^T\)，则\begin{equation*} \begin{array}{rcl} AX &= &(A_1,A_2,\cdots ,A_n)\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\ \vdots\\x_n\end{pmatrix}\\ &= &x_1A_1+x_2A_2+\cdots +x_nA_n\\ &\in &\langle A_1,A_2,\cdots ,A_n\rangle,\end{array} \end{equation*}所以\(V\subseteq \langle A_1,A_2,\cdots ,A_n\rangle\)。反之，对任意\(Z\in \langle A_1,A_2,\cdots ,A_n\rangle\)，有\(Z=a_1A_1+a_2A_2+\cdots +a_nA_n\)。令\(X=(a_1,a_2,\cdots ,a_n)^T\)，则\(X\in\mathbb{F}^n\)且\(Z=AX\)，即\(Z\in V\)。因此\(V=\langle A_1,A_2,\cdots ,A_n\rangle\)。
- 由上题结论知\(\dim V= r(A_1,A_2,\cdots ,A_n)=r(A)\)。
10.
求由向量\(\alpha_i\)生成的子空间与由向量\(\beta_i\)生成的子空间的交与和空间的基与维数：
- \(\displaystyle \left\{\begin{array}{c} \alpha_1=(1,2,1,0)^T,\\ \alpha_2=(-1,1,1,1)^T, \end{array} \right.\quad\left\{\begin{array}{c} \beta_1=(2,-1,0,1)^T,\\ \beta_2=(1,-1,3,7)^T; \end{array}\right.\)
- \(\displaystyle \left\{\begin{array}{l}\alpha_1=\begin{pmatrix} 1&2\\-1&-2 \end{pmatrix},\\\alpha_2=\begin{pmatrix} 3&1\\1&1 \end{pmatrix},\\\alpha_3= \begin{pmatrix} -1&0\\1&-1 \end{pmatrix},\end{array}\right.\quad\left\{\begin{array}{l} \beta_1=\begin{pmatrix} 2&5\\-6&-5 \end{pmatrix},\\\beta_2=\begin{pmatrix} -1&2\\-7&3 \end{pmatrix}. \end{array}\right. \)
解答.
-
令\(V_1=\langle\alpha_1,\alpha_2 \rangle ,V_2=\langle\beta_1,\beta_2\rangle\)。因为\begin{equation*} V_1+V_2=\langle\alpha_1,\alpha_2 \rangle +\langle\beta_1,\beta_2\rangle=\langle\alpha_1,\alpha_2 ,\beta_1,\beta_2\rangle , \end{equation*}所以向量组\(\alpha_1,\alpha_2 ,\beta_1,\beta_2\)的一个极大无关组就是\(V_1+V_2\)的一个基。令\(A=(\alpha_1,\alpha_2 ,\beta_1,\beta_2)\)，对\(A\)进行初等行变换，化为阶梯形矩阵：\begin{equation*} A=(\alpha_1,\alpha_2,\beta_1,\beta_2)=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 & 1\\ 2 & 1 & -1 & -1\\ 1 & 1 & 0 & 3\\ 0 & 1 & 1 & 7 \end{pmatrix}\xrightarrow{rref}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -1\\ 0 & 1 & 0 & 4\\ 0 & 0 & 1 & 3\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \end{equation*}由此得出，\(\alpha_1,\alpha_2,\beta_1\)是\(\alpha_1,\alpha_2 ,\beta_1,\beta_2\)的一个极大无关组，从而\(\alpha_1,\alpha_2 ,\beta_1\)是\(V_1+V_2\)的一个基，因此\(\dim(V_1+V_2) =r (\alpha_1,\alpha_2,\beta_1,\beta_2)=3\)。从上述简化行阶梯形矩阵的前\(2\)列可以看出：\(\alpha_1,\alpha_2\)线性无关；从后\(2\)列看出，\(\beta_1,\beta_2\)线性无关。因此\(\dim V_1=2,\dim V_2=2\)。由维数公式得\begin{equation*} \dim (V_1\cap V_2)=\dim V_1+\dim V_2-\dim (V_1+V_2)=2+2-3=1. \end{equation*}设\(\alpha\in V_1\cap V_2\)，则存在\(x_1,x_2,x_3,x_4\in\mathbb{F}\)，使得\begin{equation*} \alpha=x_1\alpha_1+x_2\alpha_2=x_3\beta_1+x_4\beta_2, \end{equation*}即\(x_1\alpha_1+x_2\alpha_2-x_3\beta_1-x_4\beta_2=0\)，解得\(x_1=-c,x_2=4c,x_3=-3c,x_4=c\)，其中\(c\)为数域\(\mathbb{F}\)上任意常数。于是，\(\alpha=c(-\alpha_1+4\alpha_2)=c(-3\beta_1+\beta_2)(\forall c\in\mathbb{F})\)，故\(4\alpha_2-\alpha_1=(-5,2,3,4)^T\)是\(V_1\cap V_2\)的一个基。
-
令\(V_1=\langle\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3 \rangle ,V_2=\langle\beta_1,\beta_2\rangle\)。因为\begin{equation*} V_1+V_2=\langle\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3 \rangle +\langle\beta_1,\beta_2\rangle=\langle\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\beta_1,\beta_2\rangle , \end{equation*}所以向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\beta_1,\beta_2\)的一个极大线性无关组是\(V_1+V_2\)的一个基。注意到\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\beta_1,\beta_2\)在\(\mathbb{F}^{2\times 2}\)的一个基\(E_{11},E_{12},E_{21},E_{22}\)下的坐标为\begin{equation*} X_1=(1,2,-1,-2)^T,X_2=(3,1,1,1)^T,X_3=(-1,0,1,-1)^T, \end{equation*}\begin{equation*} Y_1=(2,5,-6,-5)^T,Y_2=(-1,2,-7,3)^T, \end{equation*}所以\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\beta_1,\beta_2\)与\(X_1,X_2,X_3,Y_1,Y_2\)有相同的线性关系。令\(A=(X_1,X_2,X_3,Y_1,Y_2)\)，对\(A\)进行初等行变换，化为阶梯形矩阵：\begin{equation*} A=\begin{pmatrix} 1&3&-1&2&-1\\ 2&1&0&5&2\\ -1&1&1&-6&-7\\ -2&1&-1&-5&3 \end{pmatrix}\xrightarrow{rref}\begin{pmatrix} 1&0&0&3&0\\ 0&1&0&-1&0\\ 0&0&1&-2&0\\ 0&0&0&0&1 \end{pmatrix}, \end{equation*}由此得出，\(X_1,X_2,X_3,Y_2\)是向量组\(X_1,X_2,X_3,Y_1,Y_2\)的一个极大线性无关组。相应地，\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\beta_2\)是向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\beta_1,\beta_2\)的一个极大无关组，因此\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\beta_2\)是\(V_1+V_2\)的一个基，\(\dim(V_1+V_2) =r (\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\beta_1,\beta_2)=4\)。从上述简化行阶梯形矩阵的前\(3\)列可以看出：\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)线性无关；从后\(2\)列看出，\(\beta_1,\beta_2\)线性无关。因此\(\dim V_1=3,\dim V_2=2\)。由维数公式得\begin{equation*} \dim (V_1\cap V_2)=\dim V_1+\dim V_2-\dim (V_1+V_2)=3+2-4=1. \end{equation*}设\(\alpha\in V_1\cap V_2\)，则存在\(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5\in\mathbb{F}\)，使得\begin{equation*} \alpha=x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+x_3\alpha_3=x_4\beta_1+x_5\beta_2, \end{equation*}即\begin{equation*} x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+x_3\alpha_3-x_4\beta_1-x_5\beta_2=0, \end{equation*}则\begin{equation*} x_1X_1+x_2X_2+x_3X_3-x_4Y_1-x_5Y_2=0, \end{equation*}解得\(x_1=3c,x_2=-c,x_3=-2c,x_4=c,x_5=0\)，其中\(c\)为数域\(\mathbb{F}\)上任意常数。于是，\(\alpha=c(3\alpha_1-\alpha_2-2\alpha_3)=c\beta_1(\forall c\in\mathbb{F})\)，故\(\beta_1=\begin{pmatrix} -1&2\\-7&3 \end{pmatrix}\)是\(V_1\cap V_2\)的一个基。
11.
证明：\(\mathbb{F}^n\)的任意一个子空间都是某一\(n\)元齐次线性方程组的解空间。
解答.
设\(V\)是\(\mathbb{F}^n\)的子空间，\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_r\)是\(V\)的一个基。令
\begin{equation*}
A=(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_r),
\end{equation*}
则\(A\)是秩为\(r\)的\(n\times r\)矩阵。故\(n\)元齐次线性方程组\(A^TX=0\)解空间的维数为\(n-r\)，设\(\xi_1,\xi_2,\cdots ,\xi_{n-r}\)是\(n\)元齐次线性方程组\(A^TX=0\)的解空间的一个基。令
\begin{equation*}
B=(\xi_1,\xi_2,\cdots ,\xi_{n-r}),
\end{equation*}
则\(B\)是秩为\(n-r\)的\(n\times (n-r)\)矩阵，且\(A^TB=(A^T\xi_1,A^T\xi_2,\cdots ,A^T\xi_{n-r})=0\)。从而\(B^TA=0\)，即\((B^T\alpha_1,B^T\alpha_2,\cdots ,B^T\alpha_r)=0\)，因此\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_r\)都是\(n\)元齐次线性方程组\(B^TX=0\)的解。注意到\(B^TX=0\)解空间的维数为
\begin{equation*}
n-r(B)=n-(n-r)=r,
\end{equation*}
故\(B^TX=0\)的任意\(r\)个线性无关解向量为\(B^TX=0\)解空间的基，因此\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_r\)是\(B^TX=0\)解空间的一个基。从而，\(V=\langle\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_r\rangle\)是\(n\)元齐次线性方程组\(B^TX=0\)的解空间。
12.
证明：\(\mathbb{F}^n\)的任意一个真子空间都是若干个\(n-1\)维子空间的交。
解答.
设\(V\)是\(\mathbb{F}^n\)的子空间，由上题结论知：\(V\)是\(n\)元齐次线性方程组
\begin{equation}
\left\{\begin{array}{c}
a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots +a_{1n}x_n=0,\\
a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots +a_{2n}x_n=0,\\
\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\\
a_{n-r,1}x_1+a_{n-r,2}x_2+\cdots +a_{n-r,n}x_n=0
\end{array}\right.\tag{3.1}
\end{equation}
的解空间。不妨设线性方程组 (3.1) 无多余方程，\(W_i\)是齐次线性方程组
\begin{equation*}
a_{i1}x_1+a_{i2}x_2+\cdots +a_{in}x_n=0
\end{equation*}
的解空间（\(1\leq i\leq n-r\)），则\(W_1,W_2,\cdots ,W_{n-r}\)都是\(n-1\)维子空间，且
\begin{equation*}
V=W_1\cap W_2\cap\cdots\cap W_{n-r}.
\end{equation*}
13.
设\(V_1\)、\(V_2\)是线性空间\(V\)的子空间。证明：\(V_1\bigcup V_2\)是\(V\)的子空间的充要条件是\(V_1\subseteq V_2\)或\(V_2\subseteq V_1\)。
解答.
充分性：由\(V_1\subseteq V_2\)或\(V_2\subseteq V_1\)知\(V_1\bigcup V_2=V_2\)或\(V_1\)。故\(V_1\bigcup V_2\)是\(V\)的子空间。
必要性：设\(V_1\not\subseteq V_2\)，则存在\(\alpha\in V_1\)但\(\alpha\not\in V_2\)。对任意\(\beta\in V_2\)，由\(V_1\bigcup V_2\)是\(V\)的子空间、\(\alpha,\beta\in V_1\bigcup V_2\)可知\(\alpha +\beta\in V_1\bigcup V_2\)，则\(\alpha +\beta\in V_1\)或\(V_2\)。
- 若\(\alpha+\beta\in V_2\)，由\(\beta\in V_2\)且\(V_2\)是\(V\)的子空间可知\(\alpha=(\alpha +\beta)-\beta\in V_2\)，与假设矛盾。
故\(\alpha +\beta\in V_1\)。注意到\(\alpha\in V_1\)且\(V_1\)是\(V\)的子空间，所以\(\beta =(\alpha +\beta )-\alpha\in V_1\)。因此，\(V_2\subseteq V_1\)。
14.
设\(V\)是数域\(\mathbb{F}\)上线性空间，写出\(V\)的\(s(s\geq 2)\)个有限维子空间\(V_1,V_2,\cdots ,V_s\)的相应维数公式，并予以证明。
解答.
推广的维数公式为
\begin{equation*}
\dim \left(\sum\limits_{i=1}^{s} V_i\right)=\sum\limits_{i=1}^{s} \dim V_i-\sum\limits_{k=2}^{s}\dim\left[(\sum\limits_{j=1}^{k-1}V_j)\cap V_k\right].
\end{equation*}
下面用数学归纳法证明。
- 当\(s=2\)时，由维数公式知结论成立。
- 假设对\(s-1\)个子空间结论成立，即\begin{equation*} \dim \left(\sum\limits_{i=1}^{s-1} V_i\right)=\sum\limits_{i=1}^{s-1} \dim V_i-\sum\limits_{k=2}^{s-1}\dim\left[(\sum\limits_{j=1}^{k-1}V_j)\cap V_k\right]. \end{equation*}因为\(\sum\limits_{i=1}^{s} V_i=\left(\sum\limits_{i=1}^{s-1} V_i\right)+V_s\)，所以由维数公式，有\begin{equation*} \dim\left(\sum\limits_{i=1}^{s} V_i\right)=\dim\left(\sum\limits_{i=1}^{s-1} V_i\right)+\dim V_s-\dim\left[\left(\sum\limits_{i=1}^{s-1} V_i\right)\cap V_s\right]. \end{equation*}由归纳假设得\begin{equation*} \dim \left(\sum\limits_{i=1}^{s} V_i\right)=\sum\limits_{i=1}^{s-1} \dim V_i-\sum\limits_{k=2}^{s-1}\dim\left[(\sum\limits_{j=1}^{k-1}V_j)\cap V_k\right]+\dim V_s-\dim\left[\left(\sum\limits_{i=1}^{s-1} V_i\right)\cap V_s\right]. \end{equation*}因此，\begin{equation*} \dim \left(\sum\limits_{i=1}^{s} V_i\right)=\sum\limits_{i=1}^{s} \dim V_i-\sum\limits_{k=2}^{s}\dim\left[(\sum\limits_{j=1}^{k-1}V_j)\cap V_k\right]. \end{equation*}
15.
设\(V_1,V_2,V_3\)是\(V\)的子空间，举例说明：
\begin{equation*}
V_1\cap (V_2 +V_3)=(V_1\cap V_2)+(V_1\cap V_3)
\end{equation*}
未必成立。
解答.
设\(V=\mathbb{R}^2,V_1=\left\{(x,x)^T|x\in\mathbb{R}\right\},V_2=\left\{(x,0)^T|x\in\mathbb{R}\right\},V_3=\left\{(0,y)^T|y\in\mathbb{R}\right\}\)，则
\begin{equation*}
V_1\cap (V_2+V_3)=V_1\cap \mathbb{R}^2=V_1,
\end{equation*}
而
\begin{equation*}
(V_1\cap V_2)+(V_1\cap V_3)=\{0\}+\{0\}=\{0\},
\end{equation*}
此时\(V_1\cap (V_2 +V_3)=(V_1\cap V_2)+(V_1\cap V_3)\)不成立。
