主要内容

高等代数教学辅导

刘月, 唐丽丹

节 3.2 基和维数

建设中！

子节 3.2.1 主要知识点

定义 3.2.1.

设\(V\)是数域\(\mathbb{F}\)上的线性空间， \(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s,\beta\in V\)， 若存在\(\mathbb{F}\)中\(s\)个数\(a_1,a_2,\cdots,a_s\)， 使
\begin{equation*} \beta=a_1\alpha_1+a_2\alpha_2+\cdots+a_s\alpha_s, \end{equation*}
则称\(\beta\)是\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)的线性组合， 或称向量\(\beta\)可用\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)线性表出。

定义 3.2.2.

设\(\mathbb{F}\)上线性空间\(V\)中有向量组 \(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\) 和 \(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_t\)。
  • 若 \(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)中每个向量都可由\(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_t\)线性表出， 则称向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)可由向量组\(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_t\)线性表出。
  • 若向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)和向量组\(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_t\)可相互线性表出， 则称向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)和向量组\(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_t\)等价。

定义 3.2.3.

设\(V\)是数域\(\mathbb{F}\)上线性空间，\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\in V\)，
  • 称\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)线性相关， 若在\({\color{blue}\mathbb{F}}\)中存在不全为零的数\(a_1, a_2,\cdots, a_s\)， 使得
    \begin{equation*} a_1\alpha_1+a_2\alpha_2+\cdots+a_s\alpha_s=0; \end{equation*}
  • 称\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)线性无关， 若有\({\color{blue}\mathbb{F}}\)中的数\(a_1, a_2,\cdots, a_s\)， 使得
    \begin{equation*} a_1\alpha_1+a_2\alpha_2+\cdots+a_s\alpha_s=0, \end{equation*}
    则必有 \(a_1= 0, a_2= 0, \cdots, a_s= 0\)。

例 3.2.4.

若\(n\)阶方阵\(A\)满足\(A^{m-1}\neq 0,A^m=0\)。证明：线性空间\(\mathbb{F}^{n\times n}\)中向量组\(E,A,A^2,\cdots,A^{m-1}\)线性无关。

定义 3.2.11.

向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)的部分组\(\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\cdots,\alpha_{i_r}\)适合如下条件:
  1. \(\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\cdots,\alpha_{i_r}\) 线性无关；
  2. 将向量组中任意向量添加到 \(\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\cdots,\alpha_{i_r}\)得到的\(r+1\)个向量线性相关，即任意的\(\alpha_i\)可由\(\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\cdots,\alpha_{i_r}\)线性表出；
则称\(\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\cdots,\alpha_{i_r}\)是向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)的一个极大线性无关组， 简称极大无关组。 \(r\)称为\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)的秩， 记为\(r(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s)\)。

定义 3.2.14.

如果在线性空间\(V\)中存在\(n\)个向量\(\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n\)满足
  1. \(\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n\)线性无关；
  2. \(V\)中任一向量均可表示为\(\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n\)的线性组合，
则称\(\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n\)为\(V\)的一个基。

备注 3.2.15.

  1. 一般地， 线性空间V的基不唯一确定。
  2. \(V\)的不同基是等价的，所含向量个数相同。
  3. 若\(V=0\)， 此时\(V\)没有基。一般我们讨论的线性空间维数\(>0\)。

定义 3.2.16.

若线性空间的基含由\(n\)个向量组成， 则称\(V\)为\(n\)维线性空间， \(n\)称为\(V\)的维数， 记作\(\dim_\mathbb{F} V=n\)或\(\dim V=n\)。
  • 若\(V=0\)，则记 \(\dim V=0\)。
  • \(n\)维线性空间\(V\)中任意\(n+1\)个向量必线性相关。
  • 线性空间的维数与其数域\(\mathbb{F}\)的选取有关。

例 3.2.17.

  1. 分别求\(_\mathbb{R}\mathbb{R}\)、\(_\mathbb{C}\mathbb{C}\)和\(_\mathbb{R}\mathbb{C}\)的一个基和维数。
  2. 求\(\mathbb{F}^n\) 的一个基和维数。
  3. 求\(\mathbb{F}^{m\times n}\)的一个基和维数。
  4. 分别求
    \begin{equation*} V_1=\{A\in \mathbb{F}^{n\times n}|A^T=A\}, V_2=\{A\in \mathbb{F}^{n\times n}|A^T=-A\} \end{equation*}
    的一个基和维数。
  5. 求\(V=\{X\in \mathbb{F}^n|AX=0\}\)的一个基和维数，其中\(A\)是\(m\times n\)矩阵且\(r(A)=r<n\)。

例 3.2.20.

在\(\mathbb{F}^{2\times 2}\)中，
  1. 证明：\(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2\\ 1&1 \end{array}} \right)\)、\(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2\\ 1&2 \end{array}} \right)\)线性无关；
  2. 将其扩为\(\mathbb{F}^{2\times 2}\)的一个基。

练习 3.2.2 练习

1.

\(\mathbb{R}^+\)按如下定义的加法与数乘
\begin{equation*} a \oplus b = ab,\ k \circ a = a^k,\ \forall a,b\in\mathbb{R}^+, k\in\mathbb{R}, \end{equation*}
构成\(\mathbb{R}\)上线性空间。试问：\(\mathbb{R}^+\)中向量\(2\)能否由\(1\)线性表出？说明理由。
解答.
若\(\mathbb{R}^+\)中向量\(2\)可由\(1\)线性表出，则存在\(k\in \mathbb{R}\)，使得
\begin{equation*} 2=k\circ 1, \end{equation*}
即\(2=1^k=1\)，矛盾。因此\(\mathbb{R}^+\)中向量\(2\)不能由\(1\)线性表出。

2.

判断实数域\(\mathbb{R}\)上的线性空间\(C(-\infty ,+\infty)\)中下列向量组是否线性无关？
  1. \(1,\sin x,\cos x\)；
  2. \(1,e^x,e^{2x},e^{3x},\cdots,e^{nx}\)。
解答.
  1. 设\(k_1\cdot 1+k_2\sin x+k_3\cos x=0\)，则
    \begin{equation*} \left\{\begin{array}{c}k_1+k_2\cos 0+k_3\sin 0=0\\k_1+k_2\sin \frac{\pi}{2}+k_3\cos \frac{\pi}{2}=0\\k_1+k_2\sin\pi+k_3\cos\pi=0\end{array}\right.\Rightarrow k_1=k_2=k_3=0. \end{equation*}
    所以，\(1,\sin x,\cos x\)线性无关。
  2. 设\(k_0\cdot 1+k_1e^x+k_2e^{2x}+\cdots +k_ne^{nx}=0\)，则
    \begin{equation*} \left\{\begin{array}{c}k_0+k_1+k_2+\cdots +k_n=0\\k_0+k_1e+k_2e^{2}+\cdots +k_ne^{n}=0\\k_0+k_1e^{2}+k_2(e^{2})^2+\cdots +k_n(e^{n})^2=0\\\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\\k_0+k_1e^{n}+k_2(e^{2})^n+\cdots +k_n(e^{n})^n=0\end{array}\right. \end{equation*}
    因为\(\left|\begin{array}{ccccc} 1&1&1&\cdots&1\\ 1&e&e^2&\cdots&e^n\\ 1&e^2&(e^2)^2&\cdots&(e^n)^2\\ \cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\ 1&e^n&(e^2)^n&\cdots&(e^n)^n\\ \end{array}\right|=\prod\limits_{0\leq j<i\leq n}(e^i-e^j)\neq 0\)，所以\(k_0=k_1=\cdots =k_n=0\)。故\(1,e^x,e^{2x},e^{3x},\cdots,e^{nx}\)线性无关。

3.

\(V=\{(a,b)\ |\ a,b\in\mathbb{R}\}\)按如下定义的加法与数乘
\begin{equation*} (a,b)\oplus (c,d)=(a+c,b+d+ac), k\circ (a,b)=(ka,kb+\frac{1}{2}k(k-1)a^2), \end{equation*}
构成\(\mathbb{R}\)上的线性空间，判断该空间中向量组\((1,1),(2,2)\)是否线性相关，并说明理由。
解答.
假设\(V\)中向量组\((1,1),(2,2)\)线性相关，则存在\(k\in\mathbb{R}\)，使得
\begin{equation*} (2,2)=k\circ (1,1), \end{equation*}
即\((2,2)=(k,k+\frac{1}{2}k(k-1))\)，则
\begin{equation*} \left\{ \begin{array}{c} k=2,\\k+\frac{1}{2}k(k-1)=2, \end{array}\right. \end{equation*}
矛盾。因此\(V\)中向量组\((1,1),(2,2)\)线性无关。

4.

在线性空间\(V\)中，设\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_s\)线性无关，在\(\mathbb{F}\)中任取给定的数\(a_1,a_2,\cdots ,a_{s-1}\)，证明：
\begin{equation*} \beta_1=\alpha_1+a_1\alpha_s,\beta_2=\alpha_2+a_2\alpha_s,\cdots ,\beta_{s-1}=\alpha_{s-1}+a_{s-1}\alpha_{s},\beta_s=\alpha_s \end{equation*}
线性无关。
解答.
证法一：假设\(k_1\beta_1+k_2\beta_2+\cdots+k_{s-1}\beta_{s-1}+k_s\beta_s=0\)，则
\begin{equation*} k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_{s-1}\alpha_{s-1}+(\sum\limits_{i=1}^{s-1}a_ik_i+k_s)\alpha_s=0. \end{equation*}
由于\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_s\)线性无关，所以
\begin{equation*} k_1=k_2=\cdots=k_{s-1}=\sum\limits_{i=1}^{s-1}a_ik_i+k_s=0, \end{equation*}
则\(k_1=k_2=\cdots=k_{s-1}=k_s=0\)。因此向量组\(\beta_1,\beta_2,\cdots ,\beta_s\)线性无关。
证法二：因为
\begin{equation*} (\beta_1,\beta_2,\cdots ,\beta_s)=(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_s)\begin{pmatrix} 1&&&&\\ &1&&&\\ &&\ddots&&\\ &&&1&\\ a_1&a_2&\cdots&a_{n-1}&1 \end{pmatrix}, \end{equation*}
向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_s\)线性无关且
\begin{equation*} \begin{vmatrix} 1&&&&\\ &1&&&\\ &&\ddots&&\\ &&&1&\\ a_1&a_2&\cdots&a_{n-1}&1 \end{vmatrix}=1\neq 0, \end{equation*}
所以向量组\(\beta_1,\beta_2,\cdots ,\beta_s\)线性无关。

5.

证明：数域\(\mathbb{F}\)上所有\(n\)阶上三角矩阵组成的集合\(V\)，对于矩阵的加法与数乘，形成\(\mathbb{F}\)上的一个线性空间。并求\(V\)的一个基和维数。
解答.
由于两个上三角矩阵的和是上三角矩阵，上三角矩阵数乘后也仍是上三角矩阵，所以\(V\)对于加法与数乘封闭。又\(0\)是上三角矩阵，为\(V\)的零元；当\(A\in V\)时，\(-A\)也是上三角矩阵，为\(A\)的负元，即\(V\)中每一个元都有负元。矩阵加法与数乘运算满足其它各条，故\(V\)是数域\(\mathbb{F}\)上的线性空间。
我们断言：\(E_{ij}(1\leq i\leq j\leq n)\)是\(V\)的一个基。
事实上，若\(\sum\limits_{1\leq i\leq j\leq n}k_{ij}E_{ij}=0\)，则\(\left(\begin{array}{cccc} k_{11}&k_{12}&\cdots&k_{1n}\\ 0&k_{22}&\cdots&k_{2n}\\ \cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\ 0&0&\cdots&k_{nn} \end{array}\right)=0\)。所以\(k_{ij}=0,\forall 1\leq i\leq j\leq n\)。故\(E_{ij}(1\leq i\leq j\leq n)\)线性无关。对任意\(A=\left(\begin{array}{cccc} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ 0&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\ 0&0&\cdots&a_{nn} \end{array}\right)\in V\)，存在\(a_{ij}\in \mathbb{F}(1\leq i\leq j\leq n)\)，使得
\begin{equation*} A=\sum\limits_{1\leq i\leq j\leq n}a_{ij}E_{ij}, \end{equation*}
即\(A\)可由\(E_{ij}(1\leq i\leq j\leq n)\)线性表出。 因此，\(E_{ij}(1\leq i\leq j\leq n)\)是\(V\)的一个基，\(\dim V=\frac{n(n+1)}{2}\)。

6.

设\(V=\left\{\left.\left(\begin{array}{cc} x_1&x_2+ix_3\\x_2-ix_3&-x_1 \end{array}\right)\right|x_1,x_2,x_3\in\mathbb{R} \right\}\) 。
  1. 证明：\(V\)对于矩阵的加法和数乘是实数域\(\mathbb{R}\)上的一个线性空间；
  2. 求\(V\)的一个基和维数。
解答.
  1. 证明： 对任意\(A=\begin{pmatrix} x_1&x_2+ix_3\\x_2-ix_3&-x_1 \end{pmatrix},B=\begin{pmatrix} y_1&y_2+iy_3\\y_2-iy_3&-y_1 \end{pmatrix}\in V, k\in \mathbb{R}\)，
    \begin{equation*} \begin{array}{c} A+B=\begin{pmatrix} x_1+y_1&(x_2+y_2)+i(x_3+y_3)\\(x_2+y_2)-i(x_3+y_3)&-(x_1+y_1) \end{pmatrix}\in V,\\ kA=\begin{pmatrix} kx_1&kx_2+i(kx_3)\\kx_2-i(kx_3)&-(kx_1) \end{pmatrix}\in V, \end{array} \end{equation*}
    所以\(V\)对于矩阵的加法与数乘封闭。又\(\begin{pmatrix} 0&0\\0&0 \end{pmatrix}\)为\(V\)的零元；当\(A\in V\)时，\(-A\in V\)为\(A\)的负元，即\(V\)中每一个元都有负元。矩阵加法与数乘运算满足其它各条，故\(V\)是实数域\(\mathbb{R}\)上的线性空间。
  2. 设\(A_1=\left(\begin{array}{cc} 1&0\\0&-1 \end{array}\right),A_2=\left(\begin{array}{cc} 0&1\\1&0 \end{array}\right),A_3=\left(\begin{array}{cc} 0&i\\-i&0 \end{array}\right)\)，则\(A_1,A_2,A_3\in V\)。
    若\(k_1A_1+k_2A_2+k_3A_3=0\)，即\(\left(\begin{array}{cc} k_1&k_2+ik_3\\k_2-ik_3&-k_1 \end{array}\right)=0\)，则\(k_1=k_2=k_3=0\)。故\(A_1,A_2,A_3\)线性无关。
    对任意\(A=\left(\begin{array}{cc} x_1&x_2+ix_3\\x_2-ix_3&-x_1 \end{array}\right)\in V\)，存在\(x_1,x_2,x_3\in\mathbb{F}\)使得
    \begin{equation*} A=k_1A_1+k_2A_2+k_3A_3, \end{equation*}
    即\(A\)可由\(A_1,A_2,A_3\)线性表出。因此，\(A_1,A_2,A_3\)是\(V\)的一个基且
    \begin{equation*} \dim V=3. \end{equation*}

7.

设\(V=\{A\in\mathbb{F}^{3\times 3}\ |\ tr(A)=0\}\)，则\(V\)对于矩阵的加法和数乘是数域\(\mathbb{F}\)上的一个线性空间。试求\(V\)的维数和一个基。
解答.
对任意\(1\leq i\neq j\leq 3\)，易见\(E_{11}-E_{33},E_{22}-E_{33},E_{ij}\in V\)。我们断言，
\begin{equation*} E_{11}-E_{33},E_{22}-E_{33},E_{ij}(1\leq i\neq j\leq 3) \end{equation*}
是\(V\)的一个基。事实上，若存在\(k_{11},k_{22},k_{ij}\in\mathbb{F}(1\leq i\neq j\leq 3)\)，使得
\begin{equation*} k_{11}(E_{11}-E_{33})+k_{22}(E_{22}-E_{33})+\sum\limits_{1\leq i\neq j\leq 3}k_{ij}E_{ij}=0, \end{equation*}
即
\begin{equation*} \begin{pmatrix} k_{11}&k_{12}&k_{13}\\k_{21}&k_{22}&k_{23}\\k_{31}&k_{32}&-k_{11}-k_{22} \end{pmatrix}=0, \end{equation*}
则\(k_{11}=k_{12}=k_{13}=k_{21}=k_{22}=k_{23}=k_{31}=k_{32}=0\)。故\(V\)中向量组\(E_{11}-E_{33},E_{22}-E_{33},E_{ij}(1\leq i\neq j\leq 3)\)线性无关。
对任意\(A=(a_{ij})_{3\times 3}\in V\)，因
\begin{equation*} tr(A)=a_{11}+a_{22}+a_{33}=0, \end{equation*}
即\(a_{33}=-a_{11}-a_{22}\)，所以
\begin{equation*} A=a_{11}(E_{11}-E_{33})+a_{22}(E_{22}-E_{33})+\sum\limits_{1\leq i\neq j\leq 3}a_{ij}E_{ij}, \end{equation*}
即\(A\)可由向量组\(E_{11}-E_{33},E_{22}-E_{33},E_{ij}(1\leq i\neq j\leq 3)\)线性表出。
综上，\(E_{11}-E_{33},E_{22}-E_{33},E_{ij}(1\leq i\neq j\leq 3)\)是\(V\)的一个基，\(\dim V=8\)。

8.

求\(\mathbb{Q}(\sqrt{2})\)作为\(\mathbb{Q}\)上线性空间的维数和一个基。
解答.
我们断言，\(1,\sqrt{2}\)是 \(\mathbb{Q}(\sqrt{2})\)作为\(\mathbb{Q}\)上线性空间的一个基。 事实上，若存在\(k,l\in\mathbb{Q}\)，使得
\begin{equation*} k\cdot 1+l\cdot \sqrt{2}=0, \end{equation*}
则\(k=l=0\)，故\(1,\sqrt{2}\)线性无关。 对任意\(\alpha\in\mathbb{Q}(\sqrt{2})\)，存在\(a,b\in\mathbb{Q}\)，使得\(\alpha=a+b\sqrt{2}\)，即\(\alpha\)可由\(1,\sqrt{2}\)线性表出。
综上，\(1,\sqrt{2}\)是 \(\mathbb{Q}(\sqrt{2})\)作为\(\mathbb{Q}\)上线性空间的一个基，
\begin{equation*} \dim_{\mathbb{Q}}\mathbb{Q}(\sqrt{2})=2. \end{equation*}

9.

设\(V=\left\{(a+bi,c+di)\ |\ a,b,c,d\in\mathbb{R}\right\}\)，按通常的加法与数乘，
  1. 求\(V\)作为复数域\(\mathbb{C}\)上线性空间的维数和一个基；
  2. 求\(V\)作为实数域\(\mathbb{R}\)上线性空间的维数和一个基。
解答.
  1. 假设存在\(\alpha,\beta\in\mathbb{C}\)，使得
    \begin{equation*} \alpha\cdot (1,0)+\beta\cdot (0,1)=(0,0), \end{equation*}
    即\((\alpha,\beta)=(0,0)\)，则\(\alpha=\beta=0\)，故\((1,0),(0,1)\)线性无关。
    对任意\((a+bi,c+di)\in V\)，存在\(a+bi,c+di\in \mathbb{C}\)，使得
    \begin{equation*} (a+bi,c+di)=(a+bi)\cdot (1,0)+(c+di)\cdot (0,1). \end{equation*}
    因此\((1,0),(0,1)\)是复数域上线性空间\(V\)的一个基，\(\dim_{\mathbb{C}}V=2\)。
  2. 假设存在\(x,y,u,v\in\mathbb{R}\)，使得
    \begin{equation*} x\cdot (1,0)+y\cdot (i,0)+u\cdot (0,1)+v\cdot (0,i)=(0,0), \end{equation*}
    即\((x+yi,u+vi)=(0,0)\)，则\(x=y=u=v=0\)，故\((1,0),(i,0),(0,1),(0,i)\)线性无关。 对任意\((a+bi,c+di)\in V\)，存在\(a,b,c,d\in\mathbb{R}\)，使得
    \begin{equation*} (a+bi,c+di)=a\cdot (1,0)+b\cdot (i,0)+c\cdot (0,1)+d\cdot (0,i). \end{equation*}
    因此\((1,0),(i,0),(0,1),(0,i)\)是实数域上线性空间\(V\)的一个基，\(\dim_{\mathbb{R}}V=4\)。

10.

所有正实数组成的集合\(\mathbb{R}^+\)，加法与数乘分别定义为
\begin{equation*} \begin{array}{c} a\oplus b=ab,\ \forall a,b\in\mathbb{R}^+\\k\odot a=a^k,\ \forall a\in\mathbb{R}^+,k\in\mathbb{R} \end{array} \end{equation*}
构成实数域\(\mathbb{R}\)的线性空间。求\(\mathbb{R}^+\)的维数和一个基。
解答.
\(\mathbb{R}^+\)作为\(\mathbb{R}\)的线性空间，其零元为1。
我们断言，\(2\)是实数域上线性空间\(\mathbb{R}^+\)的一个基。事实上，设
\begin{equation*} k\circ 2=1, \end{equation*}
即\(2^k=1\)，则\(k=0\)，故\(2\)线性无关。对任意\(a\in\mathbb{R}^+\text{,}\)存在\(\log_2 a\in\mathbb{R}\)使得
\begin{equation*} \log_2 a\circ 2=2^{\log_2 a}=a, \end{equation*}
即\(a\)可由\(2\)线性表出。因此，\(2\)是\(\mathbb{R}^+\)的一个基且\(\dim\mathbb{R}^+=1\)。

11.

将\(\alpha_1=(2,1,2,1)^T,\alpha_2=(1,1,2,1)^T\)扩充为\(\mathbb{R}^4\)的一个基。
解答.
\(\varepsilon_1=(1,0,0,0)^T,\varepsilon_2=(0,1,0,0)^T,\varepsilon_3=(0,0,1,0)^T,\varepsilon_4=(0,0,0,1)^T\) 是\(\mathbb{R}^4\)的一个基。 由于
\begin{equation*} \left|\begin{array}{cccc} 2&1&0&0\\ 1&1&0&0\\ 2&2&1&0\\ 1&1&0&1 \end{array}\right|=2\neq 0, \end{equation*}
所以，\(\alpha_1=(2,1,2,1)^T,\alpha_2=(1,1,2,1)^T,\varepsilon_3=(0,0,1,0)^T,\varepsilon_4=(0,0,0,1)^T\)线性无关。 故可将\(\alpha_1,\alpha_2\)扩充为\(\mathbb{R}^4\)的一个基\(\alpha_1,\alpha_2,\varepsilon_3,\varepsilon_4\)。
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