主要内容

高等代数教学辅导

刘月, 唐丽丹

节 3.5 直和分解

建设中！

子节 3.5.1 主要知识点

定义 3.5.1.

设\(V_1,V_2\)是\(V\)的子空间，若\(V_1 + V_2\)的任意向量\(\alpha\)的分解式
\begin{equation*} \alpha=\alpha_1+\alpha_2,\alpha_1\in V_1,\alpha_2\in V_2 \end{equation*}
是唯一的，则称\(V_1+V_2\)为直和，记为\(V_1\oplus V_2\)。

备注 3.5.2.

分解式\(\alpha=\alpha_1+\alpha_2\)唯一的，即若有
\begin{equation*} \alpha=\alpha_1+\alpha_2=\beta_1+\beta_2,\alpha_1,\beta_1\in V_1,\alpha_2,\beta_2\in V_2, \end{equation*}
则有\(\alpha_1=\beta_1\)，\(\alpha_2=\beta_2\)。

定义 3.5.5.

设\(V_1,V_2,\ldots ,V_s\)是\(V\)的子空间，若对\(V_1+V_2+\cdots+V_s\)中任意向量\(\alpha\)的分解式
\begin{equation*} \alpha=\alpha_1+ \alpha_2+\cdots+\alpha_s,\ \alpha_i\in V_i,\ i=1,2,\ldots, s \end{equation*}
唯一，则称\(V_1+V_2+\cdots+V_s\)为直和，记做\(V_1\oplus V_2\oplus\cdots\oplus V_s\) 或
\begin{equation*} {\color{red}\oplus_{i=1}^s V_i}. \end{equation*}
  • 称\(V_2\)是\(V_1\)的补空间或余子空间。
  • 补空间（余子空间）一般不是唯一的。

例 3.5.9.

\(\mathbb{F}\)上所有\(n\)阶对称矩阵全体构成空间\(V\)， 所有\(n \)阶反对称矩阵全体构成空间\(U\)，则
\begin{equation*} \mathbb{F}^{n\times n}=V\oplus U. \end{equation*}

例 3.5.10.

设\(V=U\oplus W, U=U_1\oplus U_2\)，则\(V=U_1\oplus U_2\oplus W\)。

例 3.5.11.

设\(V\)为\(n\)维线性空间，则存在\(n\)个\(1\)维线性空间\(V_i, i = 1, 2,\cdots , n\)，使得
\begin{equation*} V=V_1\oplus V_2\oplus \cdots\oplus V_n. \end{equation*}

例 3.5.12.

设\(A\)为\(n\)阶方阵, 且
\begin{equation*} V_1=\{X\in\mathbb{F}^n|AX=0\},V_2=\{X\in\mathbb{F}^n|(A-E)X=0\}. \end{equation*}
证明：\(A^2=A\Leftrightarrow\mathbb{F}^n=V_1\oplus V_2.\)

例 3.5.13.

设\(W_1=\left\{\left.\left(\begin{array}{ccc} a&0&c\\a&0&0\\c&b&0 \end{array}\right)\right| a,b,c\in\mathbb{R}\right\},W_2=\left\{\left.\left(\begin{array}{ccc} x&0&0\\0&y&0\\0&z&z \end{array}\right)\right| x,y,z\in\mathbb{R}\right\}\)，
  1. 试求\(W_1+W_2\)；
  2. 记\(W=W_1+W_2\)，试求子空间\(W_3\)使\(\mathbb{R}^{3\times 3}=W\oplus W_3\)。

练习 3.5.2 练习

1.

在\(\mathbb{F}^{2\times 2}\)中，记\(U=\left\{\begin{pmatrix} x&y\\y&0 \end{pmatrix}\ |\ x,y\in\mathbb{F}\right\},W=\left\{\begin{pmatrix} x&y\\0&x \end{pmatrix}\ |\ x,y\in\mathbb{F}\right\}\)。证明：
  1. \(U,W\)都是\(\mathbb{F}^{2\times 2}\)的子空间；
  2. \(\mathbb{F}^{2\times 2}=U\oplus W\)。
解答.
  1. 因为\(\begin{pmatrix} 0&0\\0&0 \end{pmatrix}\in U\)，所以\(U\)是\(\mathbb{F}^{2\times 2}\)的非空子集。
    对任意\(A_1=\begin{pmatrix} x_1&y_1\\y_1&0 \end{pmatrix},A_2=\begin{pmatrix} x_2&y_2\\y_2&0 \end{pmatrix}\in U,c\in\mathbb{F}\)，有
    \begin{equation*} A_1+A_2=\begin{pmatrix} x_1+x_2&y_1+y_2\\y_1+y_2&0 \end{pmatrix}\in U,\ cA_1=\begin{pmatrix} cx_1&cy_1\\cy_1&0 \end{pmatrix}\in U, \end{equation*}
    故\(U\)是\(\mathbb{F}^{2\times 2}\)的子空间。同理可证\(W\)是\(\mathbb{F}^{2\times 2}\)的子空间。
  2. 对任意\(A\in U\cap W\)，由\(A\in U\)知：存在\(x,y\in\mathbb{F}\)，使得\(A=\begin{pmatrix} x&y\\y&0 \end{pmatrix}\)。由\(A\in W\)知\(x=y=0\)，即\(A=\begin{pmatrix} 0&0\\0&0 \end{pmatrix}\)，故\(U\cap W=\{0\}\)。因此\(U+W\)是直和。
    对任意\(B=\begin{pmatrix} b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22} \end{pmatrix}\in\mathbb{F}^{2\times 2}\)，存在
    \begin{equation*} B_1=\begin{pmatrix} b_{11}-b_{22}&b_{21}\\b_{21}&0 \end{pmatrix}\in U,B_2=\begin{pmatrix} b_{22}&b_{12}-b_{21}\\0&b_{22} \end{pmatrix}\in W, \end{equation*}
    使得\(B=B_1+B_2\)，因此\(\mathbb{F}^{2\times 2}=U+W\)。综上，\(\mathbb{F}^{2\times 2}=U\oplus W\)。

2.

在\(\mathbb{F}^{n\times n}\)中，记\(U=\left\{A\in\mathbb{F}^{n\times n}\ |\ tr(A)=0\right\},W=\left\{aE_n\ |\ a\in\mathbb{F}\right\}\)。证明：
  1. \(U,W\)都是\(\mathbb{F}^{n\times n}\)的子空间；
  2. \(\mathbb{F}^{n\times n}=U\oplus W\)。
解答.
  1. 因为\(tr(0)=0\)，所以\(0\in U\)，则\(U\)是\(\mathbb{F}^{n\times n}\)的非空子集。对任意\(A,B\in U, k\in \mathbb{F}\)，有\(tr(A)=0,tr(B)=0\)，则
    \begin{equation*} tr(A+B)=tr(A)+tr(B)=0,\ tr(kA)=k\cdot tr(A)=0, \end{equation*}
    即\(A+B,kA\in U\)。因此\(U\)是\(\mathbb{F}^{n\times n}\)的子空间。同理可证\(W\)是\(\mathbb{F}^{n\times n}\)的子空间。
  2. （法一）设\(A\in U\cap W\)，则\(tr(A)=0\)且存在\(a\in\mathbb{F}\)使得\(A=aE_n\)。于是，
    \begin{equation*} 0=tr(A)=tr(aE_n)=na. \end{equation*}
    由此得出\(a=0\)，则\(A=0\)，故\(U\cap W=\{0\}\)。因此\(U+W\)是直和。
    对任意\(B\in\mathbb{F}^{n\times n}\)，令\(a=\frac{tr(B)}{n}\)，则
    \begin{equation*} tr(B-aE_n)=tr(B)-na=0, \end{equation*}
    所以存在
    \begin{equation*} C=B-aE_n\in U,D=aE_n\in W, \end{equation*}
    使得\(B=C+D\)，则\(\mathbb{F}^{n\times n}=U+W\)。综上， \(\mathbb{F}^{n\times n}=U\oplus W\)。
    （法二）设\(A\in U\cap W\)，则\(tr(A)=0\)且存在\(a\in\mathbb{F}\)使得\(A=aE_n\)。于是，
    \begin{equation*} 0=tr(A)=tr(aE_n)=na. \end{equation*}
    由此得出\(a=0\)，则\(A=0\)，故\(U\cap W=\{0\}\)。因此\(U+W\)是直和。
    我们断言，\(E_{ij}(1\leq i\neq j\leq n),E_{kk}-E_{nn}(1\leq k\leq n-1)\)为\(U\)的一个基。事实上，设
    \begin{equation*} \sum\limits_{1\leq i\neq j\leq n}a_{ij}E_{ij}+\sum\limits_{k=1}^{n-1}a_{kk}(E_{kk}-E_{nn})=0, \end{equation*}
    则
    \begin{equation*} \begin{pmatrix} a_{11}&\cdots&a_{1,n-1}&a_{1n}\\ a_{21}&\cdots&a_{2,n-1}&a_{2n}\\ \vdots&&\vdots&\vdots\\ a_{n-1,1}&\cdots&a_{n-1,n-1}&a_{n-1,n}\\ a_{n1}&\cdots&a_{n,n-1}&-\sum\limits_{k=1}^{n-1}a_{kk} \end{pmatrix}=0, \end{equation*}
    所以\(a_{ij}=0(1\leq i\neq j\leq n),a_{kk}=0(1\leq k\leq n-1)\)。故\(U\)中向量组\(E_{ij}(1\leq i\neq j\leq n),E_{kk}-E_{nn}(1\leq k\leq n-1)\)线性无关。对任意\(A=(a_{ij})\in U\)，即\(tr(A)=0\)，则\(a_{nn}=-\sum\limits_{k=1}^{n-1}a_{kk}\)，故
    \begin{equation*} A=\sum\limits_{1\leq i\neq j\leq n}a_{ij}E_{ij}+\sum\limits_{k=1}^{n-1}a_{kk}(E_{kk}-E_{nn}), \end{equation*}
    即\(A\)可由\(E_{ij}(1\leq i\neq j\leq n),E_{kk}-E_{nn}(1\leq k\leq n-1)\)线性表出。因此\(E_{ij}(1\leq i\neq j\leq n),E_{kk}-E_{nn}(1\leq k\leq n-1)\)是\(U\)的一个基，\(\dim U=n^2-1\)。又\(E_n\)是\(W\)的一个基，\(\dim W=1\)，故\(\dim\mathbb{F}^{n\times n}=\dim U+\dim W\)。从而\(\mathbb{F}^{n\times n}=U\oplus W\)。

3.

设\(n\)元齐次线性方程组\(x_1=x_2=\cdots=x_n\)的解空间为\(U\)，\(n\)元齐次线性方程组\(x_1+x_2+\cdots+x_n=0\)的解空间为\(W\)，证明：\(\mathbb{F}^n=U\oplus W\)。
解答.
（法一）对任意\(\alpha=(a_1,a_2,\cdots ,a_n)^T\in U\cap W\)，有
\begin{equation*} a_1=a_2=\cdots =a_n,\ a_1+a_2+\cdots +a_n=0, \end{equation*}
则\(a_1=a_2=\cdots =a_n=0\)，即\(\alpha=0\)，故\(U+W\)是直和。
对任意\(\alpha=(a_1,a_2,\cdots ,a_n)^n\in\mathbb{F}^n\)，记\(a=\frac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n}\)，则\(\beta=(a,a,\cdots ,a)^T\in U,\gamma=(a_1-a,a_2-a,\cdots ,a_n-a)^T\in W\)，且\(\alpha=\beta+\gamma\)，故\(\mathbb{F}^n=U+W\)。综上，\(\mathbb{F}^n=U\oplus W\)。
（法二）对任意\(\alpha=(a_1,a_2,\cdots ,a_n)^T\in U\cap W\)，有
\begin{equation*} a_1=a_2=\cdots =a_n,\ a_1+a_2+\cdots +a_n=0, \end{equation*}
则\(a_1=a_2=\cdots =a_n=0\)，即\(\alpha=0\)，故\(U+W\)是直和。易见\((1,1,\cdots ,1)^T\)是\(U\)的一个基，\((-1,1,0,\cdots ,0)^T,(-1,0,1,\cdots ,0)^T,\cdots ,(-1,0,\cdots ,0,1)^T\)是\(W\)的一个基，则\(\dim U=1,\dim W=n-1\)，故\(\dim\mathbb{F}^n=\dim U+\dim W\)。综上，\(\mathbb{F}^n=U\oplus W\)。

4.

设数域\(\mathbb{F}\)上的\(n\)阶方阵\(A,B,C,D\)两两可交换，且满足\(AC+BD=E_n\)。记\(ABX=0\)的解空间为\(V\)，\(AX=0\)的解空间为\(V_1\)，\(BX=0\)的解空间为\(V_2\)。证明：\(V=V_1\oplus V_2\)。
解答.
对任意\(X_1\in V_1\)，有\(AX_1=0\)，则\(BAX_1=0\)。由于\(AB=BA\)，所以\(ABX_1=0\)，即\(X_1\in V\)，故\(V_1\subseteq V\)。同理\(V_2\subseteq V\)，因此\(V_1+V_2\subseteq V\)。
对任意\(\alpha\in V\)，有\(AB\alpha=0\)。由\(AC+BD=E_n\)知
\begin{equation*} AC\alpha+BD\alpha=\alpha, \end{equation*}
令\(\alpha_1=BD\alpha,\alpha_2=AC\alpha\)，则\(\alpha=\alpha_1+\alpha_2\)。注意到\(A,B,C,D\)两两可交换，故
\begin{equation*} A\alpha_1=A(BD\alpha)=DAB\alpha=0,\ B\alpha_2=B(AC\alpha)=CAB\alpha=0, \end{equation*}
即\(\alpha_1\in V_1,\alpha_2\in V_2\)。因此\(V\subseteq V_1+V_2\)，从而\(V=V_1+V_2\)。
对任意\(\alpha\in V_1\cap V_2\)，有\(A\alpha=0,B\alpha=0\)。由于\(AC+BD=E_n\)，所以\(\alpha=AC\alpha+BD\alpha\)。又\(A,B,C,D\)两两可交换，故\(\alpha=CA\alpha+DB\alpha=0\)，即\(V_1\cap V_2=\{0\}\)。
综上，\(V=V_1\oplus V_2\)。

5.

设\(A_i\in\mathbb{F}^{m_i\times n}\)，齐次线性方程组\(A_iX=0\)的解空间是\(V_i\)（\(i=1,2\)） 。证明：\(F^n=V_1\oplus V_2\)的充分必要条件为\(r \begin{pmatrix} A_1\\A_2 \end{pmatrix}=r(A_1)+r(A_2)=n\)。
解答.
必要性：因为\(V_i\)是\(A_iX=0\)的解空间，所以\(\dim V_i=n-r(A_i)\)。由\(\mathbb{F}^n=V_1\oplus V_2\)知：\(\dim\mathbb{F}^n=\dim V_1+\dim V_2\)，所以\(r(A_1)+r(A_2)=n\)。
注意到\(V_1+V_2\)是直和，故\(V_1\cap V_2=\{0\}\)。而\(V_1\cap V_2\)是齐次线性方程组\(\begin{pmatrix} A_1\\A_2 \end{pmatrix}X=0\)的解空间，\(\dim (V_1\cap V_2)=n-r\begin{pmatrix} A_1\\A_2 \end{pmatrix}\)，故\(r\begin{pmatrix} A_1\\A_2 \end{pmatrix}=n\)。
综上，\(r\begin{pmatrix} A_1\\A_2 \end{pmatrix}=r(A_1)+r(A_2)=n\)。
充分性：因为\(r\begin{pmatrix} A_1\\A_2 \end{pmatrix}=n\)，所以齐次线性方程组\(\begin{pmatrix} A_1\\A_2 \end{pmatrix}X=0\)只有零解，则\(V_1\cap V_2=\{0\}\)。又\(r(A_1)+r(A_2)=n\)，故\((n-r(A_1))+(n-r(A_2))=n\)，即\(\dim V_1+\dim V_2=\dim \mathbb{F}^n\)。因此\(\mathbb{F}^n=V_1\oplus V_2\)。

6.

设\(V\)是数域\(\mathbb{F}\)上\(n\)维线性空间，\(U\)是\(V\)的非零子空间。证明：如果\(U\)在\(V\)中存在唯一的补空间，即存在唯一的子空间\(W\)使得\(V=U\oplus W\)，则\(U=V\)。
解答.
（反证法）假设\(U\neq V\)，则\(0<\dim U=r<n\)。设\(\xi_1,\cdots ,\xi_r\)是\(U\)的一个基，将其扩充为\(V\)的一个基\(\xi_1,\cdots ,\xi_r,\xi_{r+1},\cdots ,\xi_n\)。令
\begin{equation*} W_1=\langle\xi_{r+1},\cdots ,\xi_n\rangle,\ W_2=\langle\xi_1+\xi_{r+1},\xi_{r+2},\cdots ,\xi_n\rangle, \end{equation*}
易见\(W_1\)是\(U\)在\(V\)中的补空间。我们断言，\(W_2\)是\(U\)在\(V\)中异于\(W_1\)的补空间。事实上，由于\((\xi_1,\cdots ,\xi_r,\xi_1+\xi_{r+1},\cdots ,\xi_n)=(\xi_1,\cdots ,\xi_r,\xi_{r+1},\cdots ,\xi_n)A\)，其中\(A=\begin{pmatrix} 1&&&1&&\\ &\ddots&&&&\\ &&1&&&\\ &&&1&&\\ &&&&\ddots&\\ &&&&&1 \end{pmatrix}\)可逆，又\(\xi_1,\cdots ,\xi_n\)是\(V\)的一个基，所以 \(\xi_1,\cdots ,\xi_r,\xi_{r+1},\cdots ,\xi_n\)是\(V\)的一个基，故\(V=U+W_2\)且
\begin{equation*} \dim V=\dim U+\dim W_2, \end{equation*}
从而\(V=U\oplus W_2\)，即\(W_2\)也是\(U\)的补空间。
若\(W_1=W_2\)，由\(\xi_1+\xi_{r+1}\in W_2\)知：\(\xi_1+\xi_{r+1}\in W_1\)，又\(\xi_{r+1}\in W_1\)，故
\begin{equation*} (\xi_1+\xi_{r+1})-\xi_{r+1}\in W_1, \end{equation*}
即\(\xi_1\in W_1\)。从而\(\xi_1\in U\cap W_1\)，这与\(U\cap W_1=\{0\}\)相矛盾。因此\(W_1\neq W_2\)。从而\(U\)在\(V\)中存在两个不同的补空间\(W_1\)与\(W_2\)，与题设矛盾。因此\(U=V\)。

7.

设\(V\)是数域\(\mathbb{F}\)上\(n\)维线性空间，\(U\)是\(V\)的非平凡子空间。证明：\(U\)在\(V\)中有无穷多个补空间。
解答.
设\(\xi_1,\cdots ,\xi_r\)是\(U\)的一个基，其中\(0<r<n\)，将其扩充为\(V\)的一个基\(\xi_1,\cdots ,\xi_r,\xi_{r+1},\cdots ,\xi_n\)。对任意\(a\in \mathbb{F}\)，令
\begin{equation*} W_a=\langle a\xi_1+\xi_{r+1},\xi_{r+2},\cdots ,\xi_n\rangle, \end{equation*}
由于
\begin{equation*} (\xi_1,\cdots ,\xi_r,a\xi_1+\xi_{r+1},\xi_{r+2},\cdots ,\xi_n)=(\xi_1,\cdots ,\xi_r,\xi_{r+1},\cdots ,\xi_n)A, \end{equation*}
其中\(A=\begin{pmatrix} 1&&&a&&\\ &\ddots&&&&\\ &&1&&&\\ &&&1&&\\ &&&&\ddots&\\ &&&&&1 \end{pmatrix}\)可逆，又\(\xi_1,\cdots ,\xi_n\)是\(V\)的一个基，所以\(\xi_1,\cdots ,\xi_r,a\xi_1+\xi_{r+1},\xi_{r+2},\cdots ,\xi_n\)是\(V\)的一个基，故\(V=U+W_a\)且
\begin{equation*} \dim V=\dim U+\dim W_a, \end{equation*}
从而\(V=U\oplus W_a\)，即\(\forall a\in \mathbb{F},\ W_a\)都是\(U\)的补空间。
我们断言，当\(a\neq b\in\mathbb{F}\)时，\(W_a\neq W_b\)。否则，若存在\(a\neq b\in \mathbb{F}\)使得\(W_a=W_b\)，则\(a\xi_1+\xi_{r+1}\in W_b\)。于是存在\(a_{r+1},a_{r+2},\cdots ,a_n\in\mathbb{F}\)，使得
\begin{equation*} a\xi_1+\xi_{r+1}=a_{r+1}(b\xi_1+\xi_{r+1})+a_{r+2}\xi_{r+2}+\cdots +a_n\xi_n, \end{equation*}
即
\begin{equation*} (a_{r+1}b-a)\xi_1+(a_{r+1}-1)\xi_{r+1}+a_{r+2}\xi_{r+2}+\cdots +a_n\xi_n=0, \end{equation*}
因\(\xi_1,\cdots ,\xi_n\)线性无关，所以\(a=b,a_{r+1}=1,a_{r+2}=\cdots =a_n=0\)，这与\(a\neq b\)相矛盾，因此当\(a\neq b\in\mathbb{F}\)时，\(W_a\neq W_b\)。注意到数域\(\mathbb{F}\)包含有无穷多个数，从而\(U\)在\(V\)中有无穷多个补空间\(W_a\)。

8.

设\(V\)是数域\(\mathbb{F}\)上\(n\)维线性空间，\(V_1\)、\(V_2\)是\(V\)的子空间，且\(\dim V_1=\dim V_2\)。证明：存在\(V\)的子空间\(W\)，使得\(V=V_1\oplus W=V_2\oplus W\)。
解答.
设\(\xi_1,\cdots ,\xi_r\)是\(V_1\bigcap V_2\)的基。由于\(\dim V_1=\dim V_2\)，所以将其扩充为\(V_1\)的基
\begin{equation*} \xi_1,\cdots ,\xi_r,\alpha_1,\cdots ,\alpha_s, \end{equation*}
也可将其扩充为\(V_2\)的基
\begin{equation*} \xi_1,\cdots ,\xi_r,\beta_1,\cdots ,\beta_s. \end{equation*}
此时，\(\xi_1,\cdots ,\xi_r,\alpha_1,\cdots ,\alpha_s,\beta_1,\cdots ,\beta_s\)是子空间\(V_1+V_2\)的基。因此，可将其扩充为\(V\)的基\(\xi_1,\cdots ,\xi_r,\alpha_1,\cdots ,\alpha_s,\beta_1,\cdots ,\beta_s,\gamma_1,\cdots ,\gamma_t\)。令
\begin{equation*} W=\langle \alpha_1+\beta_1,\cdots ,\alpha_s+\beta_s,\gamma_1,\cdots ,\gamma_t\rangle, \end{equation*}
我们断言，\(V=V_1\oplus W=V_2\oplus W\)。事实上，对任意\(\alpha\in V_1\bigcap W\)，有
\begin{equation*} \alpha=\sum\limits_{i=1}^rk_i\xi_i+\sum\limits_{j=1}^sl_j\alpha_j=\sum\limits_{j=1}^sp_j(\alpha_j+\beta_j)+\sum\limits_{m=1}^tq_m\gamma_m, \end{equation*}
则
\begin{equation*} \sum\limits_{i=1}^rk_i\xi_i+\sum\limits_{j=1}^s(l_j-p_j)\alpha_j-\sum\limits_{j=1}^sp_j\beta_j-\sum\limits_{m=1}^tq_m\gamma_m=0. \end{equation*}
由\(\xi_1,\cdots ,\xi_r,\alpha_1,\cdots ,\alpha_s,\beta_1,\cdots ,\beta_s,\gamma_1,\cdots ,\gamma_t\)线性无关可知：
\begin{equation*} k_1=\cdots=k_r=l_1=\cdots=k_s=p_1=\cdots=p_s=q_1=\cdots=q_t=0, \end{equation*}
则\(\alpha=0\)，故\(V_1\bigcap W=0\)。对任意\(\beta\in V\)，有
\begin{equation*} \beta=\sum\limits_{i=1}^ra_i\xi_i+\sum\limits_{j=1}^sb_j\alpha_j+\sum\limits_{j=1}^sc_j\beta_j+\sum\limits_{k=1}^td_k\gamma_k, \end{equation*}
即
\begin{equation*} \beta=\left[\sum\limits_{i=1}^ra_i\xi_i+\sum\limits_{j=1}^s(b_j-c_j)\alpha_j\right]+\left[\sum\limits_{j=1}^sc_j(\alpha_j+\beta_j)+\sum\limits_{k=1}^td_k\gamma_k\right]\in V_1+W, \end{equation*}
所以\(V=V_1+W\)，从而\(V=V_1\oplus W\)。同理可证，\(V=V_2\oplus W\)。
（法二）设\(\dim V_1=\dim V_2=m\)，对\(n-m\)作数学归纳法。
  1. 当\(n-m=1\)时，则\(n=m+1\)。因为\(V_1,V_2\)是\(V\)的真子空间，所以存在\(\alpha\in V\text{,}\)但\(\alpha\not\in V_1\cup V_2\)。令\(W=\langle\alpha\rangle\)，则\(V=V_1\oplus W=V_2\oplus W\)。
  2. 假设命题对\(n-m=k\)时成立，以下考虑\(n-m=k+1\)的情形。取\(\alpha\in V\)，但\(\alpha\not\in V_1\cup V_2\)。令\(V_1'=V_1\oplus\langle\alpha\rangle,V_2'=V_2\oplus\langle\alpha\rangle\)，则
    \begin{equation*} \dim V_1'=\dim V_2'=m+1. \end{equation*}
    此时\(n-(m+1)=(n-m)-1=k\)。由归纳假设，存在\(V\)的子空间\(W'\)，使得\(V=V_1'\oplus W'=V_2'\oplus W'\)。令\(W=\langle\alpha\rangle\oplus W'\)，则
    \begin{equation*} V=V_1\oplus W=V_2\oplus W. \end{equation*}
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