主要内容

高等代数教学辅导

刘月, 唐丽丹

节 6.2 可对角化

建设中！

子节 6.2.1 主要知识点

定义 6.2.1.

设\(A\)是数域\(\mathbb{F}\)上\(n\)阶方阵，如果存在\(\mathbb{F}\)上可逆阵\(P\)， 使得\(P^{-1}AP\)为对角阵，则称\(A\)是 可对角化 的。

备注 6.2.2.

并非所有的矩阵都可对角化。

备注 6.2.4.

  1. 若\(A\)是\(\mathbb{F}\)上可对角化矩阵， 即存在\(\mathbb{F}\)上可逆阵\(P\)，使得
    \begin{equation*} P^{-1}AP=\begin{pmatrix} \lambda_1&&&\\ &\lambda_2&&\\ &&\ddots&\\ &&&\lambda_n \end{pmatrix}, \end{equation*}
    则对角元\(\lambda_1,\lambda_2,\cdots ,\lambda_n\)是\(A\)的特征值，\(P\)的第\(i\)个列向量为矩阵\(A\)的属于特征值\(\lambda_i\)的特征向量。
  2. 矩阵\(A\)可对角化问题与数域有关。

定义 6.2.6.

设\(\lambda_0\)是\(n\)阶方阵\(A\)的特征值，我们称\(\lambda_0\)作为\(f_A(\lambda)\)的根的重数\(n_0\)为\(\lambda_0\)的 代数重数 ；称\(\lambda_0\)的特征子空间\(V_{\lambda_0}\)的维数\(s_0\)为\(\lambda_0\)的 几何重数 。
判断\(A\)是否可对角化和求可逆阵\(P\)的方法
  1. 计算\(A\)的特征多项式\(f_A(\lambda)\)；
  2. 求\(f_A(\lambda)\)的所有根。若不是所有根都在\(\mathbb{F}\)上，则\(A\)在\(\mathbb{F}\)上不可对角化；
  3. 设所有特征值都在\(\mathbb{F}\)上，若某特征值的代数重数不等于几何重数， 则\(A\)在\(\mathbb{F}\) 上不可对角化；
  4. 若所有特征值都在\(\mathbb{F}\)上， 且对每个特征值\(\lambda_i\)，有\(s_i=n_i\)，则\(A\)可对角化。
    将 \((\lambda_iE-A)X=0\)的基础解系\(X_{i1},X_{i2},\cdots ,X_{is_i}(i=1,2,\cdots ,t)\)凑成\(\mathbb{F}^n\)的一个基\(X_{11},X_{12},\cdots,X_{1s_1},X_{21},X_{22},\cdots,X_{2s_2},\cdots ,X_{t1},X_{t2},\cdots,X_{ts_t}\)。 记\(P=(X_{11},X_{12},\cdots,X_{1s_1},X_{21},X_{22},\cdots,X_{2s_2},\cdots ,X_{t1},X_{t2},\cdots,X_{ts_t})\)， 则\(P^{-1}AP\)为对角矩阵， 对角元分别是\(A\)的相应特征值。

定义 6.2.9.

设\(\varphi\)是数域\(\mathbb{F}\)上\(n\)维空间\(V\)的线性变换，若存在\(V\) 的一个基，使得\(\varphi\)在此基下的矩阵是对角矩阵，则称\(\varphi\)是可对角化的。
此时，对角元素恰为\(\varphi\)的特征值，而相应的基向量恰为该特征值的特征向量。

定义 6.2.10.

设\(\varphi\)是数域\(\mathbb{F}\)上\(n\)维空间\(V\)的线性变换，\(\lambda_0\)是\(\varphi\)的一个特征值。\(\lambda_0\)作为特征多项式\(f_{\varphi}(\lambda)\)的根的重数\(n_0\)称为\(\lambda_0\)的代数重数，\(\lambda_0\)的特征子空间的维数称为\(\lambda_0\)的几何重数。

练习 6.2.2 练习

1.

判断矩阵\(A\)是否可对角化。若可对角化，求可逆矩阵\(P\)，使得\(P^{-1}AP\)是对角矩阵，并求\(A^n\)。
(1) \(A=\begin{pmatrix} 2&2&-2\\2&5&-4\\-2&-4&5 \end{pmatrix}\)； (2) \(A=\begin{pmatrix} 0&1&1\\0&0&1\\0&0&0 \end{pmatrix}\text{.}\)
解答.
  1. \(f_A(\lambda)=\begin{vmatrix} \lambda-2&-2&2\\-2&\lambda-5&4\\2&4&\lambda-5 \end{vmatrix}=(\lambda-1)^2(\lambda-10)\)， 解得\(A\)的特征值为\(\lambda_1= \lambda_2=1,\lambda_3=10\)。
    对于特征值\(\lambda_1=\lambda_2=1\)，解齐次线性方程组\((E_3-A)X=0\)，即
    \begin{equation*} \begin{pmatrix} -1&-2&2\\-2&-4&4\\2&4&-4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} \end{equation*}
    得基础解系\(\alpha_1=(-2,1,0)^T,\alpha_2=(2,0,1)^T\)。
    对于特征值\(\lambda_3=10\)，解齐次线性方程组\((10E_3-A)X=0\)，即
    \begin{equation*} \begin{pmatrix} 8&-2&2\\-2&5&4\\2&4&5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} \end{equation*}
    得基础解系\(\alpha_3=(-1,-2,2)^T\)。
    \(A\)有\(3\)个线性无关的特征向量\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)，所以\(A\)可对角化。令
    \begin{equation*} P=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)=\begin{pmatrix} -2&2&-1\\ 1&0&-2\\ 0&1&2 \end{pmatrix}, \end{equation*}
    则\(P^{-1}AP=\begin{pmatrix} 1&0&0\\0&1&0\\0&0&10 \end{pmatrix}\)。因此，
    \begin{equation*} A^n=P\begin{pmatrix} 1&0&0\\0&1&0\\0&0&10 \end{pmatrix}^nP^{-1}=\frac{1}{9} \begin{pmatrix} 8+10^n&-2+2\cdot 10^n&2-2\cdot 10^n\\ -2+2\cdot 10^n&5+4\cdot 10^n&4-4\cdot 10^n\\ 2-2\cdot 10^n&4-4\cdot 10^n&5+4\cdot 10^n \end{pmatrix}\mbox{。} \end{equation*}
  2. \(f_A(\lambda)=\begin{vmatrix} \lambda&-1&-1\\0&\lambda&-1\\0&0&\lambda \end{vmatrix}=\lambda^3\)， 解得\(A\)的特征值为\(\lambda_1= \lambda_2=\lambda_3=0\)。 对于特征值\(\lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=0\)，解齐次线性方程组\((0E_3-A)X=0\)，即
    \begin{equation*} \begin{pmatrix} 0&1&1\\0&0&1\\0&0&0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} \end{equation*}
    得基础解系\(X_1=(1,0,0)^T\)。所以，特征值\(0\)的几何重数为\(1\)，而其代数重数为\(3\)，故\(A\)不可对角化。

2.

已知\(A\)与\(B\)相似，其中
\begin{equation*} A=\begin{pmatrix} 1&-1&1\\2&4&-2\\-3&-3&5 \end{pmatrix},\ B=\begin{pmatrix} 2&0&0\\0&2&0\\0&0&a \end{pmatrix}. \end{equation*}
  1. 求\(a\)的值；
  2. 求满足\(P^{-1}AP=B\)的可逆矩阵\(P\)。
解答.
  1. 因为\(A\)与\(B\)相似，所以\({{\rm{tr}}}(A)={{\rm{tr}}}(B)\)，故\(a=6\)。
  2. 因\(A\)与\(B\)相似，所以\(A\)、\(B\)有相同的特征值。注意到\(B\)的特征值为\(2,2,6\)，故\(A\)的特征值也为\(\lambda_1= 2,\lambda_2= 2,\lambda_3= 6\)。
    对于特征值\(\lambda_1=\lambda_2=2\)，解齐次线性方程组\((2E_3-A)X=0\)，即
    \begin{equation*} \begin{pmatrix} 1&1&-1\\-2&-2&2\\3&3&-3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} \end{equation*}
    得基础解系\(\alpha_1=(-1,1,0)^T,\alpha_2=(1,0,1)^T\)。
    对于特征值\(\lambda_3=6\)，解齐次线性方程组\((6E_3-A)X=0\)，即
    \begin{equation*} \begin{pmatrix} 5&1&-1\\-2&2&2\\3&3&1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} \end{equation*}
    得基础解系\(\alpha_3=(1,-2,3)^T\)。令
    \begin{equation*} P=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)=\begin{pmatrix} -1&1&1\\ 1&0&-2\\ 0&1&3 \end{pmatrix}, \end{equation*}
    则\(P\)可逆且\(P^{-1}AP=B\)。

3.

设\(A\)是\(n\)阶矩阵，\(X_1,X_2,\cdots ,X_n\in\mathbb{F}^n\)，且\(X_n\neq 0\)。若
\begin{equation*} AX_1=X_2,\ AX_2=X_3,\ \cdots ,\ AX_{n-1}=X_n,\ AX_n=0. \end{equation*}
  1. 证明：\(X_1,X_2,\cdots ,X_n\)线性无关；
  2. 求\(A\)的特征值和特征向量；
  3. 问\(A\)是否可对角化。
解答.
  1. 设\(a_1X_1+a_2X_2+\cdots +a_nX_n=0\)，两边同时左乘\(A^{n-1}\)得
    \begin{equation*} a_1A^{n-1}X_1+a_2A^{n-1}X_2+\cdots +a_nA^{n-1}X_n=0\mbox{。} \end{equation*}
    因\(AX_1=X_2,\ AX_2=X_3,\ \cdots ,\ AX_{n-1}=X_n,\ AX_n=0\)，所以
    \begin{equation*} \begin{array}{c} A^{n-1}X_1=A^{n-2}(AX_1)=A^{n-2}X_2=\cdots =AX_{n-1}=X_n,\\ A^{n-1}X_2=A^{n-1}(AX_1)=A(A^{n-1}X_1)=AX_{n}=0,\\\cdots ,\\A^{n-1}X_n=0\mbox{,} \end{array} \end{equation*}
    则\(a_1X_n=0\)。由\(X_n\neq 0\)知\(a_1=0\)。于是，\(a_2X_2+\cdots +a_nX_n=0\)。两边同时左乘\(A^{n-2}\)，得\(a_2=0\)。依此类推，\(a_1=a_2=\cdots =a_n=0\)。因此，\(X_1,X_2,\cdots ,X_n\)线性无关。
  2. 令\(P=(X_1,X_2,\cdots ,X_n)\)，由\((1)\)知\(P\)可逆。根据已知条件，有
    \begin{equation*} P^{-1}AP=\begin{pmatrix} 0&0&\cdots&0&0\\ 1&0&\cdots&0&0\\ 0&1&\cdots&0&0\\ \cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\ 0&0&\cdots&1&0 \end{pmatrix}\triangleq B\mbox{。} \end{equation*}
    则\(f_A(\lambda)=f_B(\lambda)=\begin{vmatrix} \lambda&0&\cdots&0&0\\ -1&\lambda&\cdots&0&0\\ 0&-1&\cdots&0&0\\ \cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\ 0&0&\cdots&-1&\lambda \end{vmatrix}=\lambda^n\)。故\(A\)的特征值为
    \begin{equation*} \lambda_1=\lambda_2=\cdots =\lambda_n=0\mbox{。} \end{equation*}
    对于特征值\(\lambda_1=\lambda_2=\cdots =\lambda_n=0\)，解齐次线性方程组\((0E-B)X=0\)，得基础解系\(\alpha=(0,0,\cdots ,0,1)^T\)。因此\(B\)的属于特征值\(0\)的特征向量为\(c \alpha\)，其中\(c\)为\(\mathbb{F}\)中任意非零常数。
    因为\(P^{-1}AP=B\)，所以\(A\)的属于特征值\(0\)的特征向量为\(c(P \alpha)\)，即\(cX_n\)，其中\(c\)为\(\mathbb{F}\)中任意非零常数。
  3. 由(b)知，特征值\(0\)的代数重数为\(n\)、几何重数为\(1\)。故当\(n=1\)时，\(A\)可对角化；当\(n>1\)时，\(A\)不可对角化。

4.

设\(\alpha =(a_1,a_2,\cdots ,a_n)^T, \beta =(b_1,b_2,\cdots ,b_n)^T\in\mathbb{R}^n\)，且\(\alpha\neq 0, \beta\neq 0, n>1\)。令\(A=\beta \alpha^T\)。试问：\(A\)是否可对角化？如果\(A\)可对角化，求出一个可逆矩阵\(P\)，使得\(P^{-1}AP\)为对角阵，并且写出这个对角矩阵。
解答.
\(f_A(\lambda)=\det (\lambda E_n-\beta \alpha^T)=\lambda^{n-1}\cdot\det (\lambda E_1- \alpha^T \beta)=\lambda^{n-1} (\lambda- \sum\limits_{i=1}^n a_ib_i),\) 所以\(A\)的特征值为\(\lambda_1=\lambda_2=\cdots =\lambda_{n-1}=0,\lambda_n=\sum\limits_{i=1}^n a_ib_i\)。
  1. 当\(\sum\limits_{i=1}^n a_ib_i=0\)时，\(A\)的特征值为\(\lambda_1=\lambda_2=\cdots =\lambda_n=0\)。
    对于特征值\(\lambda_1=\lambda_2=\cdots =\lambda_n=0\)，解齐次线性方程组\((0E_n-A)X=0\)，即\(AX=0\)。因\(\alpha\neq 0, \beta\neq 0\)，所以\(A=\beta \alpha^T\neq 0\)。又
    \begin{equation*} r(A)=r(\beta \alpha^T)\leq \min\{r(\beta),r(\alpha^T)\}=1, \end{equation*}
    故\(r(A)=1\)。因此\(AX=0\)的基础解系只含\(n-1\)个向量，即特征值\(0\)的几何重数为\(n-1\)。而特征值\(0\)的代数重数为\(n\)，故此时\(A\)不可对角化。
  2. 当\(\sum\limits_{i=1}^n a_ib_i\neq 0\)时，\(A\)的特征值为
    \begin{equation*} \lambda_1=\lambda_2=\cdots =\lambda_{n-1}=0,\lambda_n=\sum\limits_{i=1}^n a_ib_i\mbox{。} \end{equation*}
    对于特征值\(\lambda_1=\lambda_2=\cdots =\lambda_{n-1}=0\)，解齐次线性方程组\((0E_n-A)X=0\)，即\(AX=0\)。因\(\alpha\neq 0\)，不妨设\(a_1\neq 0\)，所以\(AX=0\)的基础解系为
    \begin{equation*} X_1=(-a_2,a_1,0,\cdots ,0)^T,X_2=(-a_3,0,a_1,\cdots ,0)^T,\cdots ,X_{n-1}=(-a_n,0,0,\cdots ,a_1)^T. \end{equation*}
    故特征值\(0\)的几何重数为\(n-1\)，与其代数重数相等。
    对于特征值\(\lambda_n=\sum\limits_{i=1}^n a_ib_i\)，其代数重数与几何重数均为\(1\)。因
    \begin{equation*} A \beta=(\beta \alpha^T)\beta=\beta(\alpha^T \beta)=(\sum\limits_{i=1}^n a_ib_i)\beta, \end{equation*}
    所以属于特征值\(\lambda_n=\sum\limits_{i=1}^n a_ib_i\)的线性无关的特征向量为\(X_n=\beta\)。此时，\(A\)可对角化。
    令
    \begin{equation*} P=\begin{pmatrix} -a_2&-a_3&\cdots&-a_n&b_1\\ a_1&0&\cdots&0&b_2\\ 0&a_1&\cdots&0&b_3\\ \cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\ 0&0&\cdots&a_1&b_n \end{pmatrix}, \end{equation*}
    则\(P\)可逆，且
    \begin{equation*} P^{-1}AP=\begin{pmatrix} 0&&&&\\ &0&&&\\ &&\ddots&&\\ &&&0&\\ &&&&\sum\limits_{i=1}^n a_ib_i \end{pmatrix}\mbox{。} \end{equation*}

5.

设\(A=(a_{ij})\)是数域\(\mathbb{F}\)上的\(n\)阶上三角矩阵，证明：
  1. 若\(a_{11},a_{22},\cdots ,a_{nn}\)互不相等，则\(A\)可对角化；
  2. 若\(a_{11}=a_{22}=\cdots =a_{nn}\)，且至少存在一个\(a_{kl}\neq 0 (k<l)\)，则\(A\)不可对角化。
解答.
\(f_A(\lambda)=\begin{vmatrix} \lambda-a_{11}&-a_{12}&-a_{13}&\cdots&-a_{1n}\\ 0&\lambda-a_{22}&-a_{23}&\cdots&-a_{2n}\\ 0&0&\lambda-a_{33}&\cdots&-a_{3n}\\ \cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\ 0&0&0&\cdots&\lambda-a_{nn} \end{vmatrix}=\prod\limits_{i=1}^n(\lambda-a_{ii})\)， 所以\(A\)的特征值为\(\lambda_1=a_{11},\lambda_2=a_{22},\cdots ,\lambda_n=a_{nn}\)。
  1. 因\(a_{11},a_{22},\cdots ,a_{nn}\)互不相等，所以\(A\)有\(n\)个不同的特征值。故\(A\)可对角化。
  2. 假设\(A\)可对角化，因\(a_{11}=a_{22}=\cdots =a_{nn}=a\)，所以\(A\)相似于\(aE_n\)，即存在可逆阵\(P\)使得
    \begin{equation*} A=P^{-1}(aE_n)P=aE_n, \end{equation*}
    与已知条件矛盾。因此\(A\)不可对角化。

6.

若\(n\)阶方阵\(A\)满足\(A^2=A\)，证明： (1)\(A\)可对角化；(2)\(r(A)= tr (A)\)。
解答.
  1. 设\(\lambda\)是\(A\)的特征值，则存在\(0\neq \alpha\in\mathbb{F}^n\)，使得\(A \alpha=\lambda \alpha\)。由\(A^2=A\)，得
    \begin{equation*} \lambda^2 \alpha=A^2 \alpha=A \alpha=\lambda \alpha, \end{equation*}
    则\((\lambda^2- \lambda) \alpha=0\)。故\(\lambda^2- \lambda=0\)，即\(\lambda=0\)或\(1\)。
    对于特征值\(\lambda=0\)，其几何重数为\(n-r(0E_n-A)\)，即\(n-r(A)\)。对于特征值\(\lambda=1\)，其几何重数为\(n-r(E_n-A)\)。 故\(A\)有\(\left(n-r(A)\right)+\left(n-r(E_n-A)\right)\)个线性无关的特征向量。
    因\(A^2=A\)，即\(A(E_n-A)=0\)，所以\(r(A)+r(E_n-A)\leq n\)。又
    \begin{equation*} r(A)+r(E_n-A)\geq r(A+(E_n-A))=r(E_n)=n, \end{equation*}
    故\(r(A)+r(E_n-A)=n\)。因此\(A\)有\(n\)个线性无关的特征向量，\(A\)可对角化。
  2. 由\((1)\)知，存在可逆矩阵\(P\)，使得
    \begin{equation*} P^{-1}AP=\begin{pmatrix} 1&&&&&\\ &\ddots&&&&\\ &&1&&&\\ &&&0&&\\ &&&&\ddots&\\ &&&&&0 \end{pmatrix}\triangleq B. \end{equation*}
    则\(r(A)=r(B)=r={{\rm{tr}}}(B)={{\rm{tr}}}(A)\)。

7.

设\(A\)是数域\(\mathbb{F}\)上秩为\(r\)的\(n\)阶方阵，
  1. 证明：\(A^2=A\)的充分必要条件是存在\(r\times n\)行满秩矩阵\(B\)及\(n\times r\)列满秩矩阵 \(C\)，使得\(A=CB\)且\(E_r=BC\)；
  2. 当\(A^2=A\)时，证明：\(\det (2E-A)=2^{n-r},\ \det (A+E)=2^r\)。
解答.
  1. 必要性：根据练习 6.2.2.6 结论，存在可逆矩阵\(P\)，使得
    \begin{equation*} P^{-1}AP=\begin{pmatrix} E_r&0\\0&0 \end{pmatrix}\mbox{。} \end{equation*}
    令\(B= \begin{pmatrix} E_r&0 \end{pmatrix}P^{-1},C=P\begin{pmatrix} E_r\\0 \end{pmatrix}\)，则\(B\)是\(r\times n\)行满秩矩阵，\(C\)是\(n\times r\)列满秩矩阵，且\(A=CB,E_r=BC\)。
    充分性： 因\(A=CB\)且\(E_r=BC\)，所以
    \begin{equation*} A^2=(CB)^2=C(BC)B=CE_rB=A\mbox{。} \end{equation*}
  2. 因为\(A^2=A\)，所以存在可逆矩阵\(P\)，使得\(P^{-1}AP=\begin{pmatrix} E_r&0\\0&0 \end{pmatrix}\)。 故
    \begin{equation*} \det(2E-A)=\det\left(P^{-1}(2E-A)P\right)=\begin{vmatrix} E_r&0\\0&2E_{n-r} \end{vmatrix}=2^{n-r} , \end{equation*}
    \begin{equation*} \det(A+E)=\det\left(P^{-1}(A+E)P\right)=\begin{vmatrix} 2E_r&0\\0&E_{n-r} \end{vmatrix}=2^{r} \mbox{。} \end{equation*}

8.

若实矩阵\(A\)满足\(A^2-A+2E=0\)，证明：\(A\)在实数域上不可对角化。
解答.
因为\(A^2-A+2E=0\)，所以\(A\)的任意特征值\(\lambda\)必满足\(\lambda^2- \lambda+2=0\)。而\(\lambda^2- \lambda+2=0\)无实根，所以\(A\)在实数域上不可对角化。

9.

设数域\(\mathbb{F}\)上\(n\)阶方阵\(A,\ B\)满足\(AB=BA\)，且\(A\)有\(n\)个不同的特征值，证明：\(B\)可对角化。
解答.
因为\(A\)有\(n\)个不同的特征值，所以\(A\)可对角化，即存在可逆矩阵\(P\)，使得
\begin{equation*} P^{-1}AP= \begin{pmatrix} \lambda_1&&&\\ &\lambda_2&&\\ &&\ddots&\\ &&&\lambda_n \end{pmatrix}, \end{equation*}
其中\(\lambda_1,\lambda_2,\cdots ,\lambda_n\)互异。由\(AB=BA\)，得
\begin{equation*} (P^{-1}AP)(P^{-1}BP)=(P^{-1}BP)(P^{-1}AP)\mbox{。} \end{equation*}
令\(C=P^{-1}BP\)，则\(\forall 1\leq i,j\leq n\)，有\(\lambda_i c_{ij}=\lambda_j c_{ij}\)。由于当\(i\neq j\)时\(\lambda_i\neq \lambda_j\)，所以\(c_{ij}=0\)。故\(C={{\rm diag}}(c_{11},c_{22},\cdots ,c_{nn})\)。因此，\(B\)可对角化。

10.

设\(\varphi\)是数域\(\mathbb{F}\)上\(n\)维线性空间\(V\)的线性变换，证明下列命题是等价的：
  1. \(\varphi\)可对角化；
  2. \(V=V_{\lambda_1}\oplus V_{\lambda_2}\oplus\cdots\oplus V_{\lambda_t}\)，这里\(\lambda_1,\lambda_2,\cdots ,\lambda_t\)是\(\varphi\)的全部互异特征值；
  3. \(\sum\limits_{i=1}^t\dim V_{\lambda_i}=n\)，这里\(\lambda_1,\lambda_2,\cdots ,\lambda_t\)是\(\varphi\)的全部互异特征值。
解答.
  • \((1)\Rightarrow (2)\)： 因为\(\varphi\)可对角化，所以它的各个特征值的几何重数等于代数重数。故\(s_1+s_2+\cdots +s_t=n\)。设\(\alpha_{i1},\alpha_{i2},\cdots ,\alpha_{is_i}\)是\(V_{\lambda_i}\)的一个基，则\(\{\alpha_{ij}\ |\ 1\leq i\leq t,\ 1\leq j\leq s_i\}\) 构成\(V\)的一个基。故\(V=V_{\lambda_1}\oplus V_{\lambda_2}\oplus\cdots\oplus V_{\lambda_t}\)。
  • \((2)\Rightarrow (3)\)\ 显然。
  • \((3)\Rightarrow (1)\)： 因为\(\varphi\)的属于不同特征值的线性无关特征向量构成的向量组仍线性无关，且\(\sum\limits_{i=1}^t\dim V_{\lambda_i}=n\)，所以\(\varphi\)有\(n\)个线性无关的特征向量。故\(\varphi\)可对角化。

11.

设\(\varphi\)是数域\(\mathbb{F}\)上\(n\)维线性空间\(V\)的线性变换，且满足\(\varphi^2+\varphi=2 id_V\)。
证明： (1)\(\varphi\)的特征值是\(1\)和\(-2\)；(2)\(V=V_{1}\oplus V_{-2}\)。
解答.
  1. 由于\(\varphi^2+\varphi=2 id_V\)，所以\(\varphi\)的特征值\(\lambda\)必满足\(\lambda^2+\lambda=2\)。故\(\lambda=1\)或\(\lambda=-2\)。
  2. 先证\(V=V_{1}+ V_{-2}\)。事实上，对任意\(\alpha\in V\)，令
    \begin{equation*} \alpha_1=\frac{2}{3}\alpha+\frac{1}{3}\varphi(\alpha),\alpha_{-2}=\frac{1}{3}\alpha-\frac{1}{3}\varphi(\alpha), \end{equation*}
    则\(\alpha=\alpha_1+\alpha_{-2}\)。由\(\varphi^2+\varphi=2 id_V\)，直接验证得
    \begin{equation*} \varphi(\alpha_1)=\alpha_1,\varphi(\alpha_{-2})=-2 \alpha_{-2}, \end{equation*}
    即\(\alpha_1\in V_1,\alpha_{-2}\in V_{-2}\)。故\(V=V_{1}+ V_{-2}\)。
    再证\(V_1\bigcap V_{-2}=0\)。事实上，对任意\(\alpha\in V_1\bigcap V_{-2}\)，有\(\varphi(\alpha)=\alpha\)且\(\varphi(\alpha)=-2 \alpha\)，则\(\alpha=0\)。
    综上，\(V=V_{1}\oplus V_{-2}\)。
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