定义 1.7.1.
矩阵的下列三种变换称为 行（列）初等变换指：- 互换变换：互换矩阵中的两行（列）的位置；
- 倍法变换：用一个非零数\(c\)乘矩阵的一行（列）；
- 消法变换：将矩阵的某一行（列）乘以\(c\)加到另一行（列）。
节 1.7 初等变换和初等矩阵
建设中！
子节 1.7.1 主要知识点
定义 1.7.2.
对单位矩阵 \(E\) 做一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。- 互换矩阵： 互换单位矩阵的第\(i,j\)两行（列）
- 倍法矩阵：非零常数\(c\)乘以单位矩阵的第\(i\)行（列）
- 消法行变换： 将第\(j\)行乘以常数\(c\)加到第\(i\)行
- 消法列变换：将第\(i\)列乘以常数\(c\)加到第\(j\)列。
定理 1.7.6.
设 \(A\) 是\(m\times n\)阶矩阵， 对\(A\) 做一次行初等变换相当于左乘一个\(m\)阶相应的初等矩阵，对\(A\)做一次列初等变换相当于右乘一个\(n\)阶相应的初等矩阵。
- 纲领：左乘行变换、右乘列变换。
例 1.7.7.
求\(E(1,3)^{2022}A E(1,3(1)) \)，其中
\begin{equation*}
A = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 \\
5 & 6 & 7 & 8 \\
-1 & 0 & 1 & 2
\end{pmatrix}
\end{equation*}
-
初等矩阵的逆矩阵：
- \(E^{-1}(i,j)=E(i,j) \)；
- \(E^{-1}(i(c))= E(i(\frac{1}{c})) \)；
- \(E^{-1}(i,j(c))= E(i,j(-c)) \)。
- 初等矩阵的行列式：
- \(\det E(i,j) = -1\)；
- \(\det E(i(c))=c\)；
- \(\det E(i,j(c))=1\)。
定义 1.7.8.
\(A\) 经过有限次初等变换后变成 \(B\)， 则称 \(A\)与 \(B\) 是相抵的， 记为 \(A\backsimeq B\)。定理 1.7.9.
任意矩阵 \(A\) 必相抵于
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
E_r & 0 \\
0 & 0
\end{pmatrix}
\end{equation*}
该矩阵称为 \(A\) 在相抵关系下的标准形或相抵标准形。
例 1.7.10.
将\(A=\begin{pmatrix}
2 & 0 & 2 & 0\\
1 & 2 & 0 & 0\\
0 & 1 & 1 & 6
\end{pmatrix}\)化为相抵标准形， 并写出相应初等矩阵。
定理 1.7.11.
设\(A\)是\(n\)阶方阵，则下述命题等价：
- \(A\)可逆；
- 存在\(n\)阶方阵\(B\)， 使得\(AB = E\)；
- 存在\(n\)阶方阵\(B\)， 使得\(BA = E\)；
- \(\det A \ne 0 \)；
- \(A\backsimeq E_n\)；
- \(A\)可表示为若干个初等矩阵之积。
定理 1.7.12.
设 \(A\)、 \(B\)均为\(m\times n\)阶矩阵，则下列叙述等价：
- \(A\backsimeq B\)；
- 存在初等矩阵\begin{equation*} P_i,\ Q_j \quad(i=1,2,\ldots,s;\ j= 1,2,\ldots,t) \end{equation*}使得\begin{equation*} P_1P_2\cdots P_sAQ_1Q_2\cdots Q_t =B. \end{equation*}
- 存在\(m\)阶可逆矩阵\(P\)和\(n\)阶可逆矩阵\(Q\) 使得\begin{equation*} PAQ=B. \end{equation*}
- 矩阵的相抵关系满足：
- 反身性：\(A\backsimeq A\)；
- 对称性：\(A\backsimeq B\Rightarrow B\backsimeq A\)；
- 传递性：\(A\backsimeq B\)、\(B\backsimeq C\Rightarrow A\backsimeq C\)。
- 注：满足反身性、对称性和传递性的关系称为等价关系。
- 思考：对矩阵\(A\)相抵标准形中的\(r\) 唯一吗?
矩阵逆的计算---行初等变换
原理： 当 \(A\)可逆时，\(A\)可以写为初等矩阵的乘积，设\(A=P_1P_2\cdots P_s\)， 则
\begin{equation*}
A^{-1}= P_s^{-1}P_{s-1}^{-1}\cdots P_1^{-1}.
\end{equation*}
对分块矩阵\((A|E)\)左乘这些初等矩阵\(P_s^{-1}P_{s-1}^{-1}\cdots P_1^{-1}\)得
\begin{align*}
& &P_s^{-1}P_{s-1}^{-1}\cdots P_1^{-1}(A|E) \\
& = & (P_s^{-1}P_{s-1}^{-1}\cdots P_1^{-1}A|P_s^{-1}P_{s-1}^{-1}\cdots P_1^{-1}E) \\
& = & (E\ |A^{-1})
\end{align*}
即对\(n\times 2n\)矩阵\((A|E)\)实施初等行变换，当左块矩阵变成\(E\)时，右块矩阵就为\(A^{-1}\)。
例 1.7.13.
求\(A^{-1}\)，其中
\begin{equation*}
A= \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3\\
2 & 1 & 2\\
1 & 3 & 4
\end{pmatrix}
\end{equation*}
矩阵逆的计算 --- 列初等变换
设 \(A = Q_1Q_2\cdots Q_t\)， 则
\begin{align*}
{\color{red}\left(\frac{A}{E}\right)}Q_t^{-1}Q_{t-1}^{-1}\cdots Q_{1}^{-1} &=& \left(\frac{AQ_t^{-1}Q_{t-1}^{-1}\cdots Q_{1}^{-1}}{EQ_t^{-1}Q_{t-1}^{-1}\cdots Q_{1}^{-1}}\right) \\
& = & \left(\frac{E}{A^{-1}}\right).
\end{align*}
即对\(2n\times n\)矩阵\(\left(\frac{A}{E}\right)\)实施初等列变换，当上块矩阵变成\(E\)时，下块矩阵就为\(A^{-1}\)。
- \((A|E)\xrightarrow{\text{行初等变换}}(E\ | A^{-1})\)；
- \(\displaystyle\left(\frac{A}{E}\right) \xrightarrow{\text{列初等变换}} \left(\frac{E}{A^{-1}}\right)\)。
- 初等变换求逆的方法也可以用来求\(A^{-1}B\)、\(BA^{-1}\)，因为\begin{equation*} A^{-1}(A|B) = (E|A^{-1}B);\quad \left(\frac{A}{B}\right)A^{-1} = \left(\frac{E}{BA^{-1}}\right). \end{equation*}
- 求解矩阵方程\(AX=B\)时，\(X= A^{-1}B\)，\begin{equation*} (A | B)\xrightarrow{\text{行初等变换}}(E\ | A^{-1}B). \end{equation*}
- 求解矩阵方程\(XA=B\)时，\(X= BA^{-1}\)，\begin{equation*} \left(\frac{A}{B}\right) \xrightarrow{\text{列初等变换}} \left(\frac{E}{BA^{-1}}\right). \end{equation*}
- 注：此时\(X\)和\(B\)可以不是方阵。
例 1.7.14.
设 \(A= \begin{pmatrix}
0 & 3 & 3\\
1 & 1 & 0\\
-1 & 2 & 3
\end{pmatrix}\)，且\(AB = A + 2B\)， 求\(B\)。
例 1.7.15.
设矩阵有分块形式\(\begin{pmatrix}
A & B\\
C & D
\end{pmatrix}\)，其中\(A\)、\(D\)分别是\(r\times h\)、\(s\times l\)阶矩阵。计算
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
E_r & 0\\
K & E_s
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
A & B\\
C & D
\end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix}
A & B\\
C & D
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
E_h & 0\\
L & E_l
\end{pmatrix},
\end{equation*}
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
E_r & 0\\
0 & N_{s\times s}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
A & B\\
C & D
\end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix}
0 & E_s\\
E_{r} & 0
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
A & B\\
C & D
\end{pmatrix},
\end{equation*}
- 对分块矩阵作1次"分块初等变换"相当于对其左乘一个相应的"分块初等矩阵"；
- 对分块矩阵作1次"分块列初等变换"相当于对其右乘一个相应的"分块初等矩阵"。
命题 1.7.16.
设\(A\)是\(m\)阶可逆阵， \(D\)是\(n\)阶方阵， 则
\begin{equation*}
\begin{vmatrix}
A & B\\
C & D
\end{vmatrix}= |A|\cdot|D-CA^{-1}B|.
\end{equation*}
特别的， 若\(A\)可逆且\(AC=CA\)， 则
\begin{equation*}
\begin{vmatrix}
A & B\\
C & D
\end{vmatrix}= |AD-CB|.
\end{equation*}
若\(A\)是\(m\)阶方阵， \(D\)是\(n\)阶可逆阵， 则
\begin{equation*}
\begin{vmatrix}
A & B\\
C & D
\end{vmatrix}= |D|\cdot|A-BD^{-1}C|.
\end{equation*}
特别的，若\(D\)可逆且\(DB=BD\)， 则
\begin{equation*}
\begin{vmatrix}
A & B\\
C & D
\end{vmatrix}= |DA-BC|.
\end{equation*}
定理 1.7.17.
设\(A\)是\(m\times n\)阶矩阵，\(B\)是\(n\times m\)阶矩阵。则
\begin{equation*}
\det (E_m-AB) = \det (E_n-BA).
\end{equation*}
例 1.7.18.
计算行列式
\begin{equation*}
\begin{vmatrix}
1-a_1b_1 & -a_1b_2 & \cdots & -a_1b_n\\
-a_2b_1 & 1-a_2b_2 & \ddots & \vdots\\
\vdots & \ddots & \ddots & -a_{n-1}b_{n}\\
-a_nb_1 & \cdots & -a_nb_{n-1} & 1-a_nb_n
\end{vmatrix}
\end{equation*}
例 1.7.19.
设\(A\)、\(D\)均可逆，求\(\begin{pmatrix}
A & 0\\
C & D
\end{pmatrix}^{-1}\)。
练习 1.7.2 练习
1.
证明：\(E(i,j)=E(j(-1))E(i,j(1))E(j,i(-1))E(i,j(1))\)。
解答.
直接按矩阵乘法验证即可。
2.
设
\begin{equation*}
A=\begin{pmatrix}
a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}
\end{pmatrix},P=\begin{pmatrix}
1&0&0\\0&1&0\\1&0&1
\end{pmatrix},Q=\begin{pmatrix}
0&1&0\\1&0&0\\0&0&1
\end{pmatrix},
\end{equation*}
求\(PAQ\)，\(Q^{-1}AQ\)。
解答.
\begin{equation*}
PAQ=\begin{pmatrix}
a_{12}&a_{11}&a_{33}\\a_{22}&a_{21}&a_{23}\\a_{12}+a_{32}&a_{11}+a_{31}&a_{13}+a_{33}
\end{pmatrix},
\end{equation*}
\begin{equation*}
Q^{-1}AQ=\begin{pmatrix}
a_{22}&a_{21}&a_{23}\\a_{12}&a_{11}&a_{13}\\a_{32}&a_{31}&a_{33}
\end{pmatrix}.
\end{equation*}
3.
设\(A\)为\(3\)阶方阵，\(P^{-1}AP=\begin{pmatrix}
1&1&0\\0&1&0\\0&0&2
\end{pmatrix}\)。若
\begin{equation*}
P=(X_1,X_2,X_3),\ Q=(X_1+X_2,X_2,X_3),
\end{equation*}
计算\(Q^{-1}AQ\)。
解答.
因为
\begin{equation*}
Q=(X_1+X_2,X_2,X_3)=(X_1,X_2,X_3)\cdot E(2,1(1)) =P\cdot E(2,1(1)),
\end{equation*}
所以
\begin{equation*}
\begin{array}{ccl}
Q^{-1}AQ&=&E(2,1(1))^{-1}\cdot P^{-1}\cdot A\cdot P\cdot E(2,1(1)) \\
&=&E(2,1(-1))\cdot \left(P^{-1}AP\right)\cdot E(2,1(1)) \\
&=&\begin{pmatrix}
2&1&0\\-1&0&0\\0&0&2
\end{pmatrix}\end{array}
\end{equation*}
4.
试求可逆矩阵\(P,Q\)使\(PAQ\)为\(A\)的相抵标准形，其中
\begin{equation*}
A=\begin{pmatrix}
1&-2&3&-1\\3&-6&9&-3\\2&1&-4&3
\end{pmatrix}.
\end{equation*}
解答.
\(\begin{array}{cl}A&\xrightarrow{E(2,1(-3))}\begin{pmatrix}
1&-2&3&-1\\0&0&0&0\\2&1&-4&3
\end{pmatrix}\xrightarrow{E(3,1(-2))}\begin{pmatrix}
1&-2&3&-1\\0&0&0&0\\0&5&-10&5
\end{pmatrix}\\
&\xrightarrow{E(2,3))}\begin{pmatrix}
1&-2&3&-1\\0&5&-10&5\\0&0&0&0
\end{pmatrix}\xrightarrow{E(2(\frac{1}{5})))}\begin{pmatrix}
1&-2&3&-1\\0&1&-2&1\\0&0&0&0
\end{pmatrix}\\
&\xrightarrow{E(1,2(2))
}\begin{pmatrix}
1&0&-1&1\\0&1&-2&1\\0&0&0&0
\end{pmatrix}\xrightarrow[E(1,3(1)),E(1,4(-1)),E(2,3(2)),E(2,4(-1))]{}
\begin{pmatrix}
1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&0
\end{pmatrix}
\end{array}\)。 令\(P=E(1,2(2))E(2(\frac{1}{5})))E(2,3))E(3,1(-2))E(2,1(-3))\)，\(Q=E(1,3(1))E(1,4(-1))E(2,3(2))E(2,4(-1))\text{,}\)则\(PAQ= \begin{pmatrix}
E_2&0\\0&0
\end{pmatrix}\)。
5.
求下列矩阵的逆矩阵。
\begin{equation*}
(1) \begin{pmatrix}
0&0&\cdots&0&a_n\\a_1&0&0&\cdots&0\\0&a_2&0&\cdots&0\\\vdots&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots\\0&\cdots&0&a_{n-1}&0
\end{pmatrix},a_i\ne 0, i=1,2,\cdots ,n;\quad\quad (2) \begin{pmatrix}
1&-1&0\\-1&2&1\\2&2&3
\end{pmatrix}.
\end{equation*}
解答.
\((1)\ A^{-1}=\begin{pmatrix}
0&a_1^{-1}&0&\cdots&0\\
0&0&a_2^{-1}&\cdots&0\\
\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\
0&0&0&\cdots&a_{n-1}^{-1}\\
a_n^{-1}&0&0&\cdots&0
\end{pmatrix};\quad\quad (2)\ A^{-1}=\begin{pmatrix}
-4&-3&1\\-5&-3&1\\6&4&-1
\end{pmatrix}.\)
6.
求解矩阵方程\(X \begin{pmatrix}
2&0&0\\0&2&5\\0&3&8
\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}
1&-1&1\\2&-3&1\\3&-4&1
\end{pmatrix}\)。
解答.
令\(A= \begin{pmatrix}
2&0&0\\0&2&5\\0&3&8
\end{pmatrix},\ B=\begin{pmatrix}
1&-1&1\\2&-3&1\\3&-4&1
\end{pmatrix}\text{.}\)由于\(\det A=2\neq 0\)，所以矩阵方程有唯一解\(X=BA^{-1}\text{.}\)
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
A\\ B
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
2&0&0\\0&2&5\\0&3&8\\
1&-1&1\\2&-3&1\\3&-4&1
\end{pmatrix}\xrightarrow[\begin{matrix}E(1(\frac{1}{2}))\\E(2,3(-\frac{5}{2}))\end{matrix}]{}\begin{pmatrix}
1&0&0\\0&2&0\\0&3&\frac{1}{2}\\
\frac{1}{2}&-1&\frac{7}{2}\\1&-3&\frac{17}{2}\\\frac{3}{2}&-4&11
\end{pmatrix}\xrightarrow[\begin{matrix}E(3(2))\\E(3,2(-3))\\E(2(\frac{1}{2}))\end{matrix}]{}\begin{pmatrix}
1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\
\frac{1}{2}&-11&7\\1&-27&17\\\frac{3}{2}&-35&22
\end{pmatrix}
\end{equation*}
因此矩阵方程的解为\(X=\begin{pmatrix}
\frac{1}{2}&-11&7\\1&-27&17\\\frac{3}{2}&-35&22
\end{pmatrix}\)。
7.
设\(A\)是\(m\times n\)矩阵，\(B\)是\(n\times m\)矩阵，且\(E_m-AB\)可逆。证明：\(E_n-BA\)可逆，并求\((E_n-BA)^{-1}\)。
解答.
证法一： 由\(E_m-AB\)可逆知\(\det (E_m-AB)\neq 0\)。又
\begin{equation*}
\det (E_m-AB)=\det (E_n-BA),
\end{equation*}
故\(\det (E_n-BA)\neq 0\)，即\(E_n-BA\)可逆。因为
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
E_m&-A\\0&E_n
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
E_m&A\\B&E_n
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
E_m&0\\-B&E_n
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
E_m-AB&0\\0&E_n
\end{pmatrix},
\end{equation*}
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
E_m&0\\-B&E_n
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
E_m&A\\B&E_n
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
E_m&-A\\0&E_n
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
E_m&0\\0&E_n-BA
\end{pmatrix},
\end{equation*}
两边同时取逆，可得
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
E_m&0\\B&E_n
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
E_m&A\\B&E_n
\end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}
E_m&A\\0&E_n
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
(E_m-AB)^{-1}&0\\0&E_n
\end{pmatrix},
\end{equation*}
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
E_m&A\\0&E_n
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
E_m&A\\B&E_n
\end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}
E_m&0\\B&E_n
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
E_m&0\\0&(E_n-BA)^{-1}
\end{pmatrix},
\end{equation*}
则
\begin{equation*}
\begin{array}{ccl}
\begin{pmatrix}
E_m&A\\B&E_n
\end{pmatrix}^{-1}&=&\begin{pmatrix}
E_m&0\\-B&E_n
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
(E_m-AB)^{-1}&0\\0&E_n
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
E_m&-A\\0&E_n
\end{pmatrix}\\&=&\begin{pmatrix}
(E_m-AB)^{-1}&-(E_m-AB)^{-1}A\\-B(E_m-AB)^{-1}&E_n+B(E_m-AB)^{-1}A
\end{pmatrix},\end{array}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\begin{array}{ccl}
\begin{pmatrix}
E_m&A\\B&E_n
\end{pmatrix}^{-1}&=&\begin{pmatrix}
E_m&-A\\0&E_n
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
E_m&0\\0&(E_n-BA)^{-1}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
E_m&0\\-B&E_n
\end{pmatrix}\\
&=&\begin{pmatrix}
E_m+A(E_n-BA)^{-1}B&-A(E_n-BA)^{-1}\\-(E_n-BA)^{-1}B&(E_n-BA)^{-1}
\end{pmatrix}.
\end{array}
\end{equation*}
比较第\((2,2)\)块，得
\begin{equation*}
(E_n-BA)^{-1}=E_n+B(E_m-AB)^{-1}A.
\end{equation*}
证法二：因\(E_m-AB\)可逆，所以\((E_m-AB)(E_m-AB)^{-1}=E_m\)，即
\begin{equation*}
(E_m-AB)^{-1}-AB(E_m-AB)^{-1}=E_m,
\end{equation*}
两边同时左乘\(B\)，右乘\(A\)，得
\begin{equation*}
B(E_m-AB)^{-1}A-BAB(E_m-AB)^{-1}A=BA,
\end{equation*}
即\((E_n-BA)\left[B(E_m-AB)^{-1}A\right]=BA\)。故
\begin{equation*}
(E_n-BA)[B(E_m-AB)^{-1}A+E_n]=E_n.
\end{equation*}
因此\(E_n-BA\)可逆，且
\begin{equation*}
(E_n-BA)^{-1}=E_n+B(E_m-AB)^{-1}A.
\end{equation*}
8.
计算行列式\(\begin{vmatrix}
a_1^2&a_1a_2+1&\cdots&a_1a_n+1\\
a_2a_1+1&a_2^2&\cdots&a_2a_n+1\\
\vdots&\vdots&&\vdots\\
a_na_1+1&a_na_2+1&\cdots&a_n^2
\end{vmatrix}\)。
解答.
\begin{equation*}
\mbox{原式}=\left|\begin{pmatrix}
a_1^2+1&a_1a_2+1&\cdots&a_1a_n+1\\
a_2a_1+1&a_2^2+1&\cdots&a_2a_n+1\\
\vdots&\vdots&&\vdots\\
a_na_1+1&a_na_2+1&\cdots&a_n^2+1
\end{pmatrix}-E_n\right|,
\end{equation*}
注意到
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
a_1^2+1&a_1a_2+1&\cdots&a_1a_n+1\\
a_2a_1+1&a_2^2+1&\cdots&a_2a_n+1\\
\vdots&\vdots&&\vdots\\
a_na_1+1&a_na_2+1&\cdots&a_n^2+1
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
a_1&1\\a_2&1\\\vdots&\vdots\\a_n&1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
a_1&a_2&\cdots&a_n\\
1&1&\cdots&1
\end{pmatrix},
\end{equation*}
故原式\(=(-1)^n\left|E_n-\begin{pmatrix}
a_1&1\\a_2&1\\\vdots&\vdots\\a_n&1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
a_1&a_2&\cdots&a_n\\
1&1&\cdots&1
\end{pmatrix}\right|\)。由
\begin{equation*}
\det (E_n-AB)=\det (E_2-BA)
\end{equation*}
得
\begin{equation*}
\begin{array}{ccl}
\mbox{原式}&=&(-1)^n\left|E_2-\begin{pmatrix}
a_1&a_2&\cdots&a_n\\
1&1&\cdots&1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
a_1&1\\a_2&1\\\vdots&\vdots\\a_n&1
\end{pmatrix}\right|\\&=&(-1)^n\left[(1-\sum\limits_{i=1}^na_i^2)(1-n)-(\sum\limits_{i=1}^na_i)^2\right].
\end{array}
\end{equation*}
9.
设\(A\)是\(m\times n\)矩阵，\(B\)是\(n\times m\)矩阵（其中\(m\geq n\)），\(\lambda\)是非零常数。试证：
\begin{equation*}
\det (\lambda E_m-AB)=\lambda^{m-n}\cdot\det(\lambda E_n-BA).
\end{equation*}
解答.
\begin{equation*}
\det (\lambda E_m-AB)=\lambda^m \det (E_m-\frac{1}{\lambda}AB)=\lambda^m \det (E_n-\frac{1}{\lambda}BA)=\lambda^{m-n} \det (\lambda E_n-BA).
\end{equation*}
10.
设\(A,B\)为同阶实方阵，证明：
\begin{equation*}
\det\begin{pmatrix}
A&B\\B&A
\end{pmatrix}= \det\begin{pmatrix}
A+B
\end{pmatrix} \det\begin{pmatrix}
A-B
\end{pmatrix}
\mbox{。}
\end{equation*}
解答.
因为
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
E&E\\0&E
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
A&B\\B&A
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
E&-E\\0&E
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
A+B&0\\B&A-B
\end{pmatrix},
\end{equation*}
所以\(\det\begin{pmatrix}
E&E\\0&E
\end{pmatrix}\cdot\det\begin{pmatrix}
A&B\\B&A
\end{pmatrix}\cdot \det\begin{pmatrix}
E&-E\\0&E
\end{pmatrix}=\det\begin{pmatrix}
A+B&0\\B&A-B
\end{pmatrix},\)即
\begin{equation*}
\det\begin{pmatrix}
A&B\\B&A
\end{pmatrix}= \det\begin{pmatrix}
A+B
\end{pmatrix} \det\begin{pmatrix}
A-B
\end{pmatrix}.
\end{equation*}
11.
设\(A\)为\(n\)阶可逆矩阵，\(\alpha=(a_1,a_2,\cdots ,a_n)^T\)，证明：
\begin{equation*}
\det (A-\alpha\alpha^T)=(1-\alpha^TA^{-1}\alpha)\cdot\det A.
\end{equation*}
解答.
因为
\begin{equation*}
\begin{array}{ccl}
\det \begin{pmatrix}
A&\alpha\\\alpha^T&1
\end{pmatrix} & = & \det [\begin{pmatrix}
E_n& 0\\ - \alpha^TA^{-1}&1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
A&\alpha\\\alpha^T&1
\end{pmatrix}]\\
& = &\det \begin{pmatrix}
A&\alpha\\0&1- \alpha^TA^{-1} \alpha
\end{pmatrix}\\
& = &(1-\alpha^TA^{-1}\alpha)\cdot\det A,
\end{array}
\end{equation*}
另一方面，
\begin{equation*}
\det \begin{pmatrix}
A&\alpha\\\alpha^T&1
\end{pmatrix}=\det [\begin{pmatrix}
E_n& - \alpha\\ 0&1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
A&\alpha\\\alpha^T&1
\end{pmatrix}]=\det \begin{pmatrix}
A- \alpha \alpha^T&0\\\alpha^T&1
\end{pmatrix}=\det (A- \alpha \alpha^T)
\end{equation*}
因此\(\det (A-\alpha\alpha^T)=(1-\alpha^TA^{-1}\alpha)\cdot\det A\)。
12.
已知\(A,B\)是可逆矩阵，求\(\begin{pmatrix}
0&A\\B&0
\end{pmatrix}^{-1},\begin{pmatrix}
0&A\\B&C
\end{pmatrix}^{-1}\)。
解答.
因为
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
0&A\\B&0
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
0&E\\E&0
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
A&0\\0&B
\end{pmatrix},
\end{equation*}
两边同时取逆得
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
0&E\\E&0
\end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}
0&A\\B&0
\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}
A&0\\0&B
\end{pmatrix}^{-1}.
\end{equation*}
故
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
0&A\\B&0
\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}
0&E\\E&0
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
A^{-1}&0\\0&B^{-1}
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0&B^{-1}\\A^{-1}&0
\end{pmatrix}.
\end{equation*}
因为
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
E&0\\-CA^{-1}&E
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
0&A\\B&C
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0&A\\B&0
\end{pmatrix},
\end{equation*}
两边同时取逆得
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
0&A\\B&C
\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}
0&A\\B&0
\end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}
E&0\\-CA^{-1}&E
\end{pmatrix},
\end{equation*}
因此
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
0&A\\B&C
\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}
0&B^{-1}\\A^{-1}&0
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
E&0\\-CA^{-1}&E
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
-B^{-1}CA^{-1}&B^{-1}\\A^{-1}&0
\end{pmatrix}.
\end{equation*}
13.
设\(A,B\)均为\(2\)阶方阵，\(A^*,B^*\)分别为\(A,B\)的伴随矩阵。若\(\det A=2,\det B=3\)，求分块矩阵\(\begin{pmatrix}
0&A\\B&0
\end{pmatrix}\)的伴随矩阵。
解答.
因为\(\det \begin{pmatrix}
0&A\\B&0
\end{pmatrix}=(-1)^{2\times 2}\cdot\det A\cdot\det B=6\)，所以
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
0&A\\B&0
\end{pmatrix}^*=6\begin{pmatrix}
0&A\\B&0
\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}
0&6B^{-1}\\6A^{-1}&0
\end{pmatrix}.
\end{equation*}
而\(A^*=(\det A)\cdot A^{-1}=2A^{-1},B^*=(\det B)\cdot B^{-1}=3B^{-1}\)，故
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
0&A\\B&0
\end{pmatrix}^*=\begin{pmatrix}
0&2B^{*}\\3A^{*}&0
\end{pmatrix}.
\end{equation*}
14.
(选做题) 设\(A=\begin{pmatrix}
a&0\\0&a^{-1}
\end{pmatrix}\)，其中\(a\neq 0\)。证明：\(A\)可表示成若干消法矩阵的乘积。
解答.
\begin{equation*}
A\xrightarrow{E(2,1(1))}\begin{pmatrix}
a&0\\a&a^{-1}
\end{pmatrix}\xrightarrow{E(1,2(\frac{1-a}{a}))}\begin{pmatrix}
1&\frac{1-a}{a^2}\\a&a^{-1}
\end{pmatrix}\xrightarrow{E(2,1(-a))}\begin{pmatrix}
1&\frac{1-a}{a^2}\\0&1
\end{pmatrix}\xrightarrow[E(1,2(\frac{a-1}{a^2}))]{}E_2,
\end{equation*}
即
\begin{equation*}
E(2,1(-a)) E(1,2(\frac{1-a}{a})) E(2,1(1)) A E(1,2(\frac{a-1}{a^2}))=E_2,
\end{equation*}
故
\begin{equation*}
A=E(2,1(-1))E(1,2(\frac{a-1}{a}))E(2,1(a))E(1,2(\frac{1-a}{a^2}))
\end{equation*}
可表示成若干消法矩阵的乘积。
15.
(选做题) 设\(A=\begin{pmatrix}
a&b\\c&d
\end{pmatrix}\) ，且\(\det A=1\)。证明：\(A\)可表示成若干消法矩阵的乘积。
解答.
由上题结论，只需证明\(A\)可经过若干消法变换变为形如\(\begin{pmatrix}
a&0\\0&a^{-1}
\end{pmatrix}\)的矩阵。因为\(\det A=ad-bc=1\)，所以
- 若\(a\neq 0\)，则\begin{equation*} A\xrightarrow{E(2,1(-\frac{c}{a}))}\begin{pmatrix} a&b\\0&d-\frac{bc}{a} \end{pmatrix}\xrightarrow[E(1,2(-\frac{b}{a}))]{}\begin{pmatrix} a&0\\0&\frac{1}{a} \end{pmatrix}; \end{equation*}
- 若\(a=0\)，则\(bc=-1\)。故\begin{equation*} A=\begin{pmatrix} 0&b\\-\frac{1}{b}&d \end{pmatrix}\xrightarrow{E(1,2(-b))}\begin{pmatrix} 1&b-bd\\-\frac{1}{b}&d \end{pmatrix}\xrightarrow{E(2,1(\frac{1}{b}))}\begin{pmatrix} 1&b-bd\\0&1 \end{pmatrix}\xrightarrow[E(1,2(bd-b))]{}E_2. \end{equation*}
16.
(选做题) 证明：行列式为\(1\)的\(n\)阶方阵一定可表示成若干消法矩阵的乘积。
解答.
对阶数\(n\)归纳证明。
- 当\(n=2\)时，由上题知结论成立。
-
假设对于行列式为\(1\)的\(n-1\)阶方阵结论成立。对于行列式为\(1\)的\(n\)阶方阵\(A\)，\(A\)的第一列必存在非零元。
-
若\(a_{11}\neq 0\)，对\(A\)作如下消法变换：\begin{equation*} A\xrightarrow{E(2,1(-\frac{1-a_{21}}{a_{11}}))}\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ 1&a_{22}'&\cdots&a_{2n}'\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn} \end{pmatrix}\xrightarrow{E(1,2(1-a_{11}))}\begin{pmatrix} 1&a_{12}'&\cdots&a_{1n}'\\ 1&a_{22}'&\cdots&a_{2n}'\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn} \end{pmatrix}, \end{equation*}再作消法变换可化为\begin{equation*} A\rightarrow \begin{pmatrix} 1&0\\0&A_1 \end{pmatrix}\triangleq B, \end{equation*}这里\(\det A=\det B=1\)，则\(\det A_1=1\)。由归纳假设，\begin{equation*} A_1=E(i_1,j_1(c_1))E(i_2,j_2(c_2))\cdots E(i_s,j_s(c_s)). \end{equation*}令\(P_k= \begin{pmatrix} 1&0\\0&E(i_k,j_k(c_k)) \end{pmatrix}\)，则\(P_1,P_2,\cdots ,P_s\)是\(n\)阶消法矩阵，且\begin{equation*} B=\begin{pmatrix} 1&0\\0&A_1 \end{pmatrix}=P_1P_2\cdots P_s. \end{equation*}由于\(A\)可经一系列消法变换化为\(B\)，所以存在\(n\)阶消法矩阵\(Q_1,Q_2,\cdots ,Q_t,R_1,R_2,\cdots ,R_r\)，使得\begin{equation*} A=Q_1Q_2\cdots Q_tBR_1R_2\cdots R_r. \end{equation*}因此\begin{equation*} A=Q_1Q_2\cdots Q_tP_1P_2\cdots P_sR_1R_2\cdots R_r \end{equation*}可表示成若干消法矩阵的乘积。
- 若\(a_{11}=0\)，由\(A\)的第一列至少存在一个非零元知：存在\(2\leq i\leq n\)，使得\(a_{i1}\neq 0\)，则对\(A\)进行消法变换：\begin{equation*} A\xrightarrow{E(1,i(\frac{1}{a_{i1}}))}\begin{pmatrix} 1&a_{12}'&\cdots&a_{1n}'\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn} \end{pmatrix} \end{equation*}化为上面的情形，故结论成立。
-
