定义 1.8.1.
如果矩阵\(A_{m\times n}\)有一个\(r\)阶子式不等于零， 并且所有\(r+1\)阶子式（如果存在的话）全等于零， 则称矩阵\(A\)的秩为\(r\)，记为\(r(A)\)。
节 1.8 矩阵的秩
建设中！
子节 1.8.1 主要知识点
- 零矩阵的秩为\(0\)；
- \(n\)阶可逆阵的秩为\(n\)；
- 一般的，\(\begin{pmatrix} E_r & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix}\)秩为\(r\)；
- \(r(A_{m\times n})\le \min\{m,n\} \)。
命题 1.8.2.
\begin{equation*}
r(A)=r(A^T).
\end{equation*}
定义 1.8.3.
满足下列条件的矩阵\(A\)称为阶梯形矩阵：
- 若第\(r\)行元素全为零， 则第\(r+1\)行(若存在)所有元素必是零；
- 若第\(l+1\)行元素存在非零元，则该行首个非零元素所在的列数必严格大于第\(l\)行首个非零元素所在列数。
阶梯形矩阵的特点
- 可划出一条阶梯线，线的下方全为零；
- 每个台阶只有一行，阶梯竖线后面的第一个元素不为0。
定理 1.8.4.
阶梯形矩阵的秩等于非零行数。
定理 1.8.5.
任意矩阵\(A\)可经过行的初等变换化为阶梯形矩阵。
定理 1.8.6.
对矩阵做有限次初等变换不改变矩阵的秩。
- 任意矩阵\(A\)可经过行的初等变换化为阶梯形矩阵；
- 初等变换不改变矩阵的秩；
- 阶梯阵的秩等于其中非零行的行数。
求矩阵秩的算法：
矩阵\(A\xrightarrow{\text{初等变换}}A\)的相抵标准型\(\begin{pmatrix}
E_r & 0\\
0 & 0
\end{pmatrix}\) \(\xrightarrow{} r(A) =r\) 。
例 1.8.7.
求\(A\)的秩，其中
\begin{equation*}
A= \begin{pmatrix}
3 & -1 & -4 & 2 & -2\\
1 & 0 & -1 & 1 & 0\\
1 & 2 & 1 & 3 & 4\\
-1 & 4 &3 & -3 & 0
\end{pmatrix}
\end{equation*}
例 1.8.8.
设\(A=\begin{pmatrix}
1 & -2 & 2 & -1 \\
2 & -4 & 8 & 0\\
-2 & 4 & -2 & 3 \\
3 & -6 & 0 & -6
\end{pmatrix}\)、\(b=\begin{pmatrix}
1 \\ 2\\ 3\\ 4
\end{pmatrix}\)，求矩阵\(A\)及矩阵\(B=(A|b)\)的秩。
例 1.8.9.
设\(A=\begin{pmatrix}
1 & -2 & 3k\\
-1 & 2k & -3\\
k & -2 & 3
\end{pmatrix}\)，问\(k\)为何值时， (1). \(r(A) =1\)；(2). \(r(A) =2\)；(3). \(r(A) =3\)。
定理 1.8.10.
设\(P\)、\(Q\)是可逆矩阵，则
\begin{equation*}
r(PA)= r(AQ)=r(PAQ)=r(A).
\end{equation*}
定理 1.8.11.
\(A\backsimeq \begin{pmatrix}
E_r & 0\\
0 & 0
\end{pmatrix}\)当且仅当 \(r(A)=r\)。
定理 1.8.12.
设\(A\)、\(B\)是同阶矩阵，则
\begin{equation*}
A\backsimeq B {\color{red}\Leftrightarrow} r(A)= r(B).
\end{equation*}
定理 1.8.13.
\(n\)阶方阵\(A\)可逆的充要条件是\(r(A)=n\)。
例 1.8.14.
设矩阵\(A\)的秩为\(r\)， 求证存在\(r\)个秩全为1的同阶矩阵\(A_1,A_2,\ldots,A_r\)， 使得
\begin{equation*}
A = A_1+A_2+\cdots+A_r.
\end{equation*}
命题 1.8.15. 矩阵的满秩分解.
设\(m\times n\)阶矩阵\(A\)的秩为\(r\)，证明存在矩阵\(B_{m\times r}\)、\(C_{r\times n}\)，使得\(A = BC\text{.}\)
例 1.8.16.
设\(n\)阶方阵\(A\)的秩为\(r\)，求证存在可逆矩阵\(B\)和对称矩阵\(C\)，使得\(A=BC\)。
练习 1.8.2 练习
1.
计算下列矩阵的秩：
- \(\displaystyle \begin{pmatrix} 3&6&1&5&-1\\1&4&-1&3&-1\\-1&-10&5&-7&3\\4&-2&8&0&1 \end{pmatrix};\)
- \(\begin{pmatrix} a&1&1\\1&a&1\\1&1&a \end{pmatrix}\)。
解答.
- \(\begin{array}{l}A\rightarrow\begin{pmatrix} 1&4&-1&3&-1\\ -1&-10&5&-7&3\\ 3&6&1&5&-1\\ 4&-2&8&0&1 \end{pmatrix}\xrightarrow{\begin{smallmatrix} E(2,1(1))\\E(3,1(-3))\\E(4,1(-4)) \end{smallmatrix}}\begin{pmatrix} 1&4&-1&3&-1\\0&-6&4&-4&2\\0&-6&4&-4&2\\0&-18&12&-12&5 \end{pmatrix}\\ \xrightarrow{\begin{smallmatrix} E(3,2(-1))\\E(4,2(-3)) \end{smallmatrix}}\begin{pmatrix} 1&4&-1&3&-1\\0&-6&4&-4&2\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&-1 \end{pmatrix}\xrightarrow{E(3,4)}\begin{pmatrix} 1&4&-1&3&-1\\0&-6&4&-4&2\\0&0&0&0&-1\\0&0&0&0&0 \end{pmatrix}, \end{array}\) 所以\(r(A)=3\)。
-
对\(A\)做初等变换：\begin{equation*} \begin{array}{cl}A&\xrightarrow{E(1,3)}\begin{pmatrix} 1&1&a\\1&a&1\\a&1&1 \end{pmatrix}\xrightarrow{\begin{smallmatrix} E(2,1(-1))\\E(3,1(-a)) \end{smallmatrix}}\begin{pmatrix} 1&1&a\\0&a-1&1-a\\0&1-a&1-a^2 \end{pmatrix}\\&\xrightarrow{E(3,2(1))}\begin{pmatrix} 1&1&a\\0&a-1&1-a\\0&0&2-a-a^2 \end{pmatrix}\end{array} \end{equation*}因此，
- 当\(a=1\)时，\(r(A)=1\)；
- 当\(a=-2\)时，\(r(A)=2\)；
- 当\(a\neq 1\)且\(a\neq -2\)时，\(r(A)=3\)。
2.
设\(n\)阶方阵\(A=\begin{pmatrix}
1&a&\cdots&a\\
a&1&\cdots&a\\
\vdots&\vdots&&\vdots\\
a&a&\cdots&1
\end{pmatrix}\)的秩为\(n-1\)，其中\(n>2\)，求\(a\)的值。
解答.
因\(r(A_{n\times n})=n-1\)，所以\(\det A=0\)。注意到
\begin{equation*}
\det A=[(n-1)a+1]\cdot\begin{vmatrix}
1&1&\cdots&1\\
a&1&\cdots&a\\
\vdots&\vdots&&\vdots\\
a&a&\cdots&1
\end{vmatrix}=[(n-1)a+1]\cdot (1-a)^{n-1},
\end{equation*}
故\(a=1\)或\(a=\frac{1}{1-n}\)。而当\(a=1\)时，
\begin{equation*}
A=\begin{pmatrix}
1&1&\cdots&1\\
1&1&\cdots&1\\
\vdots&\vdots&&\vdots\\
1&1&\cdots&1
\end{pmatrix}\xrightarrow{E(i,1(-1))}\begin{pmatrix}
1&1&\cdots&1\\
0&0&\cdots&0\\
\vdots&\vdots&&\vdots\\
0&0&\cdots&0
\end{pmatrix},
\end{equation*}
有\(r(A)=1\)，与条件\(r(A)=n-1>1\)相矛盾。因此\(a=\frac{1}{1-n}\)。
3.
设\(A=\begin{pmatrix}
1&1&1&1&1\\3&2&1&-3&x\\0&1&2&6&3\\5&4&3&-1&y
\end{pmatrix}\)，且\(r(A)=2\)，求\(x\)和\(y\)的值。
解答.
对\(A\)做初等变换： \(A\xrightarrow{\begin{smallmatrix}
E(2,1(-3))\\E(4,1(-5))
\end{smallmatrix}}\begin{pmatrix}
1&1&1&1&1\\0&-1&-2&-6&x-3\\0&1&2&6&3\\0&-1&-2&-6&y-5
\end{pmatrix}\xrightarrow{\begin{smallmatrix}
E(2,3(1))\\E(4,3(1))\\E(2,3)
\end{smallmatrix}}\begin{pmatrix}
1&1&1&1&1\\0&1&2&6&3\\0&0&0&0&x\\0&0&0&0&y-2
\end{pmatrix}\)，因为\(r(A)=2\)，所以\(x=0\)且\(y-2=0\)，即\(x=0,y=2\)。
4.
判断下面两个矩阵是否相抵。
\begin{equation*}
A=\begin{pmatrix}
1&0&0\\0&2&0\\0&0&0
\end{pmatrix},\ B=\begin{pmatrix}
1&-1&1\\-1&2&0\\1&1&3
\end{pmatrix}.
\end{equation*}
解答.
\begin{equation*}
B\xrightarrow{\begin{smallmatrix}
E(2,1(1))\\E(3,1(-1))
\end{smallmatrix}}\begin{pmatrix}
1&-1&1\\0&1&1\\0&2&2
\end{pmatrix}\xrightarrow{E(3,2(-2))}\begin{pmatrix}
1&-1&1\\0&1&1\\0&0&0
\end{pmatrix},
\end{equation*}
所以\(r(B)=2\)。又\(r(A)=2\)，故\(A\)与\(B\)相抵。
5.
设\(C=\begin{pmatrix}
A&0\\0&B
\end{pmatrix}\)，证明：\(r(C)=r(A)+r(B)\)。
解答.
设\(r(A)=r,\ r(B)=s\)，则存在可逆矩阵\(P_1,\ P_2,\ Q_1,\ Q_2\)，使得
\begin{equation*}
A=P_1 \begin{pmatrix}
E_r&0\\0&0
\end{pmatrix}Q_1,\ B=P_2 \begin{pmatrix}
E_2&0\\0&0
\end{pmatrix}Q_2.
\end{equation*}
令\(P=\begin{pmatrix}
P_1&0\\0&P_2
\end{pmatrix},\ Q=\begin{pmatrix}
Q_1&0\\0&Q_2
\end{pmatrix}\)，则\(P\)、\(Q\)是可逆矩阵，且
\begin{equation*}
C=P\begin{pmatrix}
E_r&0&0&0\\
0&0&0&0\\
0&0&E_s&0\\
0&0&0&0
\end{pmatrix}Q.
\end{equation*}
因此，\(r(C)=r(\begin{pmatrix}
E_r&0&0&0\\
0&0&0&0\\
0&0&E_s&0\\
0&0&0&0
\end{pmatrix})=r+s=r(A)+r(B)\)。
6.
设\(A\)是秩为\(n\)的\(m\times n\)矩阵，证明：存在\(m\)阶可逆矩阵\(P\)，使得
\begin{equation*}
PA=\begin{pmatrix}
E_n\\0
\end{pmatrix}.
\end{equation*}
解答.
因为\(A\)是秩为\(n\)的\(m\times n\)矩阵，所以存在\(m\)阶可逆矩阵\(R\)及\(n\)阶可逆矩阵\(Q\)，使得
\begin{equation*}
A=R\begin{pmatrix}
E_n\\0
\end{pmatrix}Q,
\end{equation*}
即
\begin{equation*}
A=R \begin{pmatrix}
Q\\0
\end{pmatrix}=R \begin{pmatrix}
Q&0\\0&E_{m-n}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
E_n\\0
\end{pmatrix}.
\end{equation*}
令\(P=\begin{pmatrix}
Q^{-1}&0\\0&E_{m-n}
\end{pmatrix}R^{-1}\)，则\(P\)为\(m\)阶可逆矩阵且\(PA=\begin{pmatrix}
E_n\\0
\end{pmatrix}\)。
7.
设\(A\)是\(m\times n\)矩阵且\(r(A)=n\)。证明：存在秩为\(n\)的\(n\times m\)矩阵\(B\)使得\(BA=E_n\)。
解答.
证法一： 因为\(r(A_{m\times n})=n\)，所以存在\(m\)阶可逆矩阵\(P\)、\(n\)阶可逆矩阵\(Q\)，使得
\begin{equation*}
A=P \begin{pmatrix}
E_n\\0
\end{pmatrix}Q.
\end{equation*}
令
\begin{equation*}
B=Q^{-1}\begin{pmatrix}
E_n&0
\end{pmatrix}P^{-1},
\end{equation*}
则\(B\)是\(n\times m\)矩阵，且满足\(BA=E_n,\ r(B)=r(\begin{pmatrix}
E_n&0
\end{pmatrix})=n\)。
证法二： 因为\(r(A_{m\times n})=n\)，所以由上题结论，存在\(m\)阶可逆矩阵\(P\)，使得
\begin{equation*}
PA=\begin{pmatrix}
E_n\\0
\end{pmatrix}.
\end{equation*}
令\(B= \begin{pmatrix}
E_n&0
\end{pmatrix}P\)，则\(BA=E_n\)且\(r(B)=r(\begin{pmatrix}
E_n&0
\end{pmatrix})=n\)。
8.
设\(A\)是一个\(n\)阶方阵，证明：
- \(r(A)\leq 1\)的充要条件是存在\(n\)维列向量\(\alpha,\beta\)，使得\(A=\alpha\beta^T\)；
- 如果\(r(A)=1\)，那么\(A^2=cA\)，其中\(c\)为常数。
解答.
-
必要性：
- 若\(r(A)=0\)，则\(A=0\)。因此\(A=\alpha\beta^T\)，其中\(\alpha,\beta\)均为\(n\)维零向量；
- 若\(r(A)=1\)，则存在\(n\)阶可逆矩阵\(P\)、\(Q\)使得\begin{equation*} A=P \begin{pmatrix} E_1&0\\0&0 \end{pmatrix}Q. \end{equation*}注意到\(\begin{pmatrix} E_1&0\\0&0 \end{pmatrix}=\varepsilon_1\varepsilon_1^T\)，故令\(\alpha =P\varepsilon_1,\beta=Q^T\varepsilon_1\)，则\(\alpha,\beta\)为\(n\)维列向量且满足\(A=\alpha\beta^T\)。
充分性：设\(\alpha=(a_1,a_2,\cdots ,a_n)^T,\beta=(b_1,b_2,\cdots ,b_n)^T\)。- 若\(\alpha=0\)或\(\beta=0\)，则\(A=0\)。故\(r(A)=0\leq 1\)。
- 若\(\alpha\neq 0\)且\(\beta\neq 0\)，不妨设\(a_1\neq 0,b_1\neq 0\)，则\begin{equation*} A=\begin{pmatrix} a_1b_1&a_1b_2&\cdots&a_1b_n\\ a_2b_1&a_2b_2&\cdots&a_2b_n\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_nb_1&a_nb_2&\cdots&a_nb_n \end{pmatrix}\xrightarrow{E(i,1(-\frac{a_i}{a_1}))}\begin{pmatrix} a_1b_1&a_1b_2&\cdots&a_1b_n\\ 0&0&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ 0&0&\cdots&0 \end{pmatrix}, \end{equation*}此时\(r(A)=1\)。
- 由a知，存在\(n\)维列向量\(\alpha,\beta\)，使得\(A=\alpha\beta^T\)。于是，\begin{equation*} A^2=(\alpha\beta^T)^2=\alpha(\beta^T\alpha)\beta^T, \end{equation*}其中\(\beta^T\alpha\in\mathbb{F}^{1\times 1}\)。因此\(A^2=cA\)，其中\(c=\beta^T\alpha\)为常数。
9.
证明：任意\(n\)阶方阵\(A\)可表为\(A=PB\)，其中\(P\)为可逆矩阵，\(B^2=B\)。
解答.
设\(r(A)=r\)，则存在\(n\)阶可逆矩阵\(R\)、\(Q\)，使得
\begin{equation*}
A=R \begin{pmatrix}
E_r&0\\0&0
\end{pmatrix}Q.
\end{equation*}
令\(P=RQ,\ B=Q^{-1}\begin{pmatrix}
E_r&0\\0&0
\end{pmatrix}Q\)，则\(A=PB\)，其中\(P\)是可逆矩阵且
\begin{equation*}
B^2=[Q^{-1}\begin{pmatrix}
E_r&0\\0&0
\end{pmatrix}Q][Q^{-1}\begin{pmatrix}
E_r&0\\0&0
\end{pmatrix}Q]=Q^{-1}\begin{pmatrix}
E_r&0\\0&0
\end{pmatrix}Q=B.
\end{equation*}
10.
设\(A\)是\(m\times n\)矩阵，证明：存在\(n\times m\)矩阵\(B\)，使得\(A=ABA\)且\(B=BAB\)。
解答.
设\(r(A)=r\)，则存在\(m\)阶可逆矩阵\(P\)、\(n\)阶可逆矩阵\(Q\)，使得
\begin{equation*}
A=P \begin{pmatrix}
E_r&0\\0&0
\end{pmatrix}_{m\times n}Q.
\end{equation*}
令\(B=Q^{-1}\begin{pmatrix}
E_r&0\\0&0
\end{pmatrix}_{n\times m}P^{-1}\)，则\(B\)是\(n\times m\)矩阵，满足
\begin{equation*}
\begin{array}{cl}
ABA & = P \begin{pmatrix}
E_r&0\\0&0
\end{pmatrix}_{m\times n}QQ^{-1}\begin{pmatrix}
E_r&0\\0&0
\end{pmatrix}_{n\times m}P^{-1}P \begin{pmatrix}
E_r&0\\0&0
\end{pmatrix}_{m\times n}Q\\
& =P \begin{pmatrix}
E_r&0\\0&0
\end{pmatrix}_{m\times n}Q\\
&=A,
\end{array}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\begin{array}{cl}
BAB & =Q^{-1}\begin{pmatrix}
E_r&0\\0&0
\end{pmatrix}_{n\times m}P^{-1}P \begin{pmatrix}
E_r&0\\0&0
\end{pmatrix}_{m\times n}QQ^{-1}\begin{pmatrix}
E_r&0\\0&0
\end{pmatrix}_{n\times m}P^{-1}\\
& =Q^{-1}\begin{pmatrix}
E_r&0\\0&0
\end{pmatrix}_{n\times m}P^{-1}\\
& =B.\end{array}
\end{equation*}
11.
设\(A\)是\(n\)阶方阵，自然数\(k\)满足\(r(A)\leq k\leq n\)，证明：存在\(n\)阶方阵\(B\)，使得\(AB=0\)且\(r(A)+r(B)=k\)。
解答.
设\(r(A)=r\)，则存在\(n\)阶可逆矩阵\(P\)、\(Q\)，使得
\begin{equation*}
A=P \begin{pmatrix}
E_r&0\\0&0
\end{pmatrix}Q.
\end{equation*}
令\(B=Q^{-1}\begin{pmatrix}
0_{r\times r}&0&0\\
0&E_{k-r}&0\\
0&0&0_{(n-k)\times (n-k)}
\end{pmatrix}\)，则
\begin{equation*}
AB=P \begin{pmatrix}
E_r&0\\0&0
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
0_{r\times r}&0&0\\
0&E_{k-r}&0\\
0&0&0_{(n-k)\times (n-k)}
\end{pmatrix}=0,
\end{equation*}
且\(r(B)=k-r\)，即\(r(A)+r(B)=k\)。
