主要内容

高等代数教学辅导

1.8 矩阵的秩

建设中!

子节 1.8.1 主要知识点

定义 1.8.1.

如果矩阵\(A_{m\times n}\)有一个\(r\)阶子式不等于零, 并且所有\(r+1\)阶子式(如果存在的话)全等于零, 则称矩阵\(A\)的秩为\(r\),记为\(r(A)\)
  • 零矩阵的秩为\(0\)
  • \(n\)阶可逆阵的秩为\(n\)
  • 一般的,\(\begin{pmatrix} E_r & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix}\)秩为\(r\)
  • \(r(A_{m\times n})\le \min\{m,n\} \)

定义 1.8.3.

满足下列条件的矩阵\(A\)称为阶梯形矩阵:
  1. 若第\(r\)行元素全为零, 则第\(r+1\)行(若存在)所有元素必是零;
  2. 若第\(l+1\)行元素存在非零元,则该行首个非零元素所在的列数必严格大于第\(l\)行首个非零元素所在列数。
阶梯形矩阵的特点
  1. 可划出一条阶梯线,线的下方全为零;
  2. 每个台阶只有一行,阶梯竖线后面的第一个元素不为0。
  • 任意矩阵\(A\)可经过行的初等变换化为阶梯形矩阵;
  • 初等变换不改变矩阵的秩;
  • 阶梯阵的秩等于其中非零行的行数。
求矩阵秩的算法:
矩阵\(A\xrightarrow{\text{初等变换}}A\)的相抵标准型\(\begin{pmatrix} E_r & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix}\) \(\xrightarrow{} r(A) =r\)

1.8.7.

\(A\)的秩,其中
\begin{equation*} A= \begin{pmatrix} 3 & -1 & -4 & 2 & -2\\ 1 & 0 & -1 & 1 & 0\\ 1 & 2 & 1 & 3 & 4\\ -1 & 4 &3 & -3 & 0 \end{pmatrix} \end{equation*}

1.8.8.

\(A=\begin{pmatrix} 1 & -2 & 2 & -1 \\ 2 & -4 & 8 & 0\\ -2 & 4 & -2 & 3 \\ 3 & -6 & 0 & -6 \end{pmatrix}\)\(b=\begin{pmatrix} 1 \\ 2\\ 3\\ 4 \end{pmatrix}\),求矩阵\(A\)及矩阵\(B=(A|b)\)的秩。

1.8.9.

\(A=\begin{pmatrix} 1 & -2 & 3k\\ -1 & 2k & -3\\ k & -2 & 3 \end{pmatrix}\),问\(k\)为何值时, (1). \(r(A) =1\);(2). \(r(A) =2\);(3). \(r(A) =3\)

1.8.14.

设矩阵\(A\)的秩为\(r\), 求证存在\(r\)个秩全为1的同阶矩阵\(A_1,A_2,\ldots,A_r\), 使得
\begin{equation*} A = A_1+A_2+\cdots+A_r. \end{equation*}

1.8.16.

\(n\)阶方阵\(A\)的秩为\(r\),求证存在可逆矩阵\(B\)和对称矩阵\(C\),使得\(A=BC\)

练习 1.8.2 练习

1.

计算下列矩阵的秩:
  1. \(\displaystyle \begin{pmatrix} 3&6&1&5&-1\\1&4&-1&3&-1\\-1&-10&5&-7&3\\4&-2&8&0&1 \end{pmatrix};\)
  2. \(\begin{pmatrix} a&1&1\\1&a&1\\1&1&a \end{pmatrix}\)
解答.
  1. \(\begin{array}{l}A\rightarrow\begin{pmatrix} 1&4&-1&3&-1\\ -1&-10&5&-7&3\\ 3&6&1&5&-1\\ 4&-2&8&0&1 \end{pmatrix}\xrightarrow{\begin{smallmatrix} E(2,1(1))\\E(3,1(-3))\\E(4,1(-4)) \end{smallmatrix}}\begin{pmatrix} 1&4&-1&3&-1\\0&-6&4&-4&2\\0&-6&4&-4&2\\0&-18&12&-12&5 \end{pmatrix}\\ \xrightarrow{\begin{smallmatrix} E(3,2(-1))\\E(4,2(-3)) \end{smallmatrix}}\begin{pmatrix} 1&4&-1&3&-1\\0&-6&4&-4&2\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&-1 \end{pmatrix}\xrightarrow{E(3,4)}\begin{pmatrix} 1&4&-1&3&-1\\0&-6&4&-4&2\\0&0&0&0&-1\\0&0&0&0&0 \end{pmatrix}, \end{array}\) 所以\(r(A)=3\)
  2. \(A\)做初等变换:
    \begin{equation*} \begin{array}{cl}A&\xrightarrow{E(1,3)}\begin{pmatrix} 1&1&a\\1&a&1\\a&1&1 \end{pmatrix}\xrightarrow{\begin{smallmatrix} E(2,1(-1))\\E(3,1(-a)) \end{smallmatrix}}\begin{pmatrix} 1&1&a\\0&a-1&1-a\\0&1-a&1-a^2 \end{pmatrix}\\&\xrightarrow{E(3,2(1))}\begin{pmatrix} 1&1&a\\0&a-1&1-a\\0&0&2-a-a^2 \end{pmatrix}\end{array} \end{equation*}
    因此,
    1. \(a=1\)时,\(r(A)=1\)
    2. \(a=-2\)时,\(r(A)=2\)
    3. \(a\neq 1\)\(a\neq -2\)时,\(r(A)=3\)

2.

\(n\)阶方阵\(A=\begin{pmatrix} 1&a&\cdots&a\\ a&1&\cdots&a\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a&a&\cdots&1 \end{pmatrix}\)的秩为\(n-1\),其中\(n>2\),求\(a\)的值。
解答.
\(r(A_{n\times n})=n-1\),所以\(\det A=0\)。注意到
\begin{equation*} \det A=[(n-1)a+1]\cdot\begin{vmatrix} 1&1&\cdots&1\\ a&1&\cdots&a\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a&a&\cdots&1 \end{vmatrix}=[(n-1)a+1]\cdot (1-a)^{n-1}, \end{equation*}
\(a=1\)\(a=\frac{1}{1-n}\)。而当\(a=1\)时,
\begin{equation*} A=\begin{pmatrix} 1&1&\cdots&1\\ 1&1&\cdots&1\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ 1&1&\cdots&1 \end{pmatrix}\xrightarrow{E(i,1(-1))}\begin{pmatrix} 1&1&\cdots&1\\ 0&0&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ 0&0&\cdots&0 \end{pmatrix}, \end{equation*}
\(r(A)=1\),与条件\(r(A)=n-1>1\)相矛盾。因此\(a=\frac{1}{1-n}\)

3.

\(A=\begin{pmatrix} 1&1&1&1&1\\3&2&1&-3&x\\0&1&2&6&3\\5&4&3&-1&y \end{pmatrix}\),且\(r(A)=2\),求\(x\)\(y\)的值。
解答.
\(A\)做初等变换: \(A\xrightarrow{\begin{smallmatrix} E(2,1(-3))\\E(4,1(-5)) \end{smallmatrix}}\begin{pmatrix} 1&1&1&1&1\\0&-1&-2&-6&x-3\\0&1&2&6&3\\0&-1&-2&-6&y-5 \end{pmatrix}\xrightarrow{\begin{smallmatrix} E(2,3(1))\\E(4,3(1))\\E(2,3) \end{smallmatrix}}\begin{pmatrix} 1&1&1&1&1\\0&1&2&6&3\\0&0&0&0&x\\0&0&0&0&y-2 \end{pmatrix}\),因为\(r(A)=2\),所以\(x=0\)\(y-2=0\),即\(x=0,y=2\)

4.

判断下面两个矩阵是否相抵。
\begin{equation*} A=\begin{pmatrix} 1&0&0\\0&2&0\\0&0&0 \end{pmatrix},\ B=\begin{pmatrix} 1&-1&1\\-1&2&0\\1&1&3 \end{pmatrix}. \end{equation*}
解答.
\begin{equation*} B\xrightarrow{\begin{smallmatrix} E(2,1(1))\\E(3,1(-1)) \end{smallmatrix}}\begin{pmatrix} 1&-1&1\\0&1&1\\0&2&2 \end{pmatrix}\xrightarrow{E(3,2(-2))}\begin{pmatrix} 1&-1&1\\0&1&1\\0&0&0 \end{pmatrix}, \end{equation*}
所以\(r(B)=2\)。又\(r(A)=2\),故\(A\)\(B\)相抵。

5.

\(C=\begin{pmatrix} A&0\\0&B \end{pmatrix}\),证明:\(r(C)=r(A)+r(B)\)
解答.
\(r(A)=r,\ r(B)=s\),则存在可逆矩阵\(P_1,\ P_2,\ Q_1,\ Q_2\),使得
\begin{equation*} A=P_1 \begin{pmatrix} E_r&0\\0&0 \end{pmatrix}Q_1,\ B=P_2 \begin{pmatrix} E_2&0\\0&0 \end{pmatrix}Q_2. \end{equation*}
\(P=\begin{pmatrix} P_1&0\\0&P_2 \end{pmatrix},\ Q=\begin{pmatrix} Q_1&0\\0&Q_2 \end{pmatrix}\),则\(P\)\(Q\)是可逆矩阵,且
\begin{equation*} C=P\begin{pmatrix} E_r&0&0&0\\ 0&0&0&0\\ 0&0&E_s&0\\ 0&0&0&0 \end{pmatrix}Q. \end{equation*}
因此,\(r(C)=r(\begin{pmatrix} E_r&0&0&0\\ 0&0&0&0\\ 0&0&E_s&0\\ 0&0&0&0 \end{pmatrix})=r+s=r(A)+r(B)\)

6.

\(A\)是秩为\(n\)\(m\times n\)矩阵,证明:存在\(m\)阶可逆矩阵\(P\),使得
\begin{equation*} PA=\begin{pmatrix} E_n\\0 \end{pmatrix}. \end{equation*}
解答.
因为\(A\)是秩为\(n\)\(m\times n\)矩阵,所以存在\(m\)阶可逆矩阵\(R\)\(n\)阶可逆矩阵\(Q\),使得
\begin{equation*} A=R\begin{pmatrix} E_n\\0 \end{pmatrix}Q, \end{equation*}
\begin{equation*} A=R \begin{pmatrix} Q\\0 \end{pmatrix}=R \begin{pmatrix} Q&0\\0&E_{m-n} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} E_n\\0 \end{pmatrix}. \end{equation*}
\(P=\begin{pmatrix} Q^{-1}&0\\0&E_{m-n} \end{pmatrix}R^{-1}\),则\(P\)\(m\)阶可逆矩阵且\(PA=\begin{pmatrix} E_n\\0 \end{pmatrix}\)

7.

\(A\)\(m\times n\)矩阵且\(r(A)=n\)。证明:存在秩为\(n\)\(n\times m\)矩阵\(B\)使得\(BA=E_n\)
解答.
证法一: 因为\(r(A_{m\times n})=n\),所以存在\(m\)阶可逆矩阵\(P\)\(n\)阶可逆矩阵\(Q\),使得
\begin{equation*} A=P \begin{pmatrix} E_n\\0 \end{pmatrix}Q. \end{equation*}
\begin{equation*} B=Q^{-1}\begin{pmatrix} E_n&0 \end{pmatrix}P^{-1}, \end{equation*}
\(B\)\(n\times m\)矩阵,且满足\(BA=E_n,\ r(B)=r(\begin{pmatrix} E_n&0 \end{pmatrix})=n\)
证法二: 因为\(r(A_{m\times n})=n\),所以由上题结论,存在\(m\)阶可逆矩阵\(P\),使得
\begin{equation*} PA=\begin{pmatrix} E_n\\0 \end{pmatrix}. \end{equation*}
\(B= \begin{pmatrix} E_n&0 \end{pmatrix}P\),则\(BA=E_n\)\(r(B)=r(\begin{pmatrix} E_n&0 \end{pmatrix})=n\)

8.

\(A\)是一个\(n\)阶方阵,证明:
  1. \(r(A)\leq 1\)的充要条件是存在\(n\)维列向量\(\alpha,\beta\),使得\(A=\alpha\beta^T\)
  2. 如果\(r(A)=1\),那么\(A^2=cA\),其中\(c\)为常数。
解答.
  1. 必要性:
    • \(r(A)=0\),则\(A=0\)。因此\(A=\alpha\beta^T\),其中\(\alpha,\beta\)均为\(n\)维零向量;
    • \(r(A)=1\),则存在\(n\)阶可逆矩阵\(P\)\(Q\)使得
      \begin{equation*} A=P \begin{pmatrix} E_1&0\\0&0 \end{pmatrix}Q. \end{equation*}
      注意到\(\begin{pmatrix} E_1&0\\0&0 \end{pmatrix}=\varepsilon_1\varepsilon_1^T\),故令\(\alpha =P\varepsilon_1,\beta=Q^T\varepsilon_1\),则\(\alpha,\beta\)\(n\)维列向量且满足\(A=\alpha\beta^T\)
    充分性:设\(\alpha=(a_1,a_2,\cdots ,a_n)^T,\beta=(b_1,b_2,\cdots ,b_n)^T\)
    • \(\alpha=0\)\(\beta=0\),则\(A=0\)。故\(r(A)=0\leq 1\)
    • \(\alpha\neq 0\)\(\beta\neq 0\),不妨设\(a_1\neq 0,b_1\neq 0\),则
      \begin{equation*} A=\begin{pmatrix} a_1b_1&a_1b_2&\cdots&a_1b_n\\ a_2b_1&a_2b_2&\cdots&a_2b_n\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_nb_1&a_nb_2&\cdots&a_nb_n \end{pmatrix}\xrightarrow{E(i,1(-\frac{a_i}{a_1}))}\begin{pmatrix} a_1b_1&a_1b_2&\cdots&a_1b_n\\ 0&0&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ 0&0&\cdots&0 \end{pmatrix}, \end{equation*}
      此时\(r(A)=1\)
  2. 由a知,存在\(n\)维列向量\(\alpha,\beta\),使得\(A=\alpha\beta^T\)。于是,
    \begin{equation*} A^2=(\alpha\beta^T)^2=\alpha(\beta^T\alpha)\beta^T, \end{equation*}
    其中\(\beta^T\alpha\in\mathbb{F}^{1\times 1}\)。因此\(A^2=cA\),其中\(c=\beta^T\alpha\)为常数。

9.

证明:任意\(n\)阶方阵\(A\)可表为\(A=PB\),其中\(P\)为可逆矩阵,\(B^2=B\)
解答.
\(r(A)=r\),则存在\(n\)阶可逆矩阵\(R\)\(Q\),使得
\begin{equation*} A=R \begin{pmatrix} E_r&0\\0&0 \end{pmatrix}Q. \end{equation*}
\(P=RQ,\ B=Q^{-1}\begin{pmatrix} E_r&0\\0&0 \end{pmatrix}Q\),则\(A=PB\),其中\(P\)是可逆矩阵且
\begin{equation*} B^2=[Q^{-1}\begin{pmatrix} E_r&0\\0&0 \end{pmatrix}Q][Q^{-1}\begin{pmatrix} E_r&0\\0&0 \end{pmatrix}Q]=Q^{-1}\begin{pmatrix} E_r&0\\0&0 \end{pmatrix}Q=B. \end{equation*}

10.

\(A\)\(m\times n\)矩阵,证明:存在\(n\times m\)矩阵\(B\),使得\(A=ABA\)\(B=BAB\)
解答.
\(r(A)=r\),则存在\(m\)阶可逆矩阵\(P\)\(n\)阶可逆矩阵\(Q\),使得
\begin{equation*} A=P \begin{pmatrix} E_r&0\\0&0 \end{pmatrix}_{m\times n}Q. \end{equation*}
\(B=Q^{-1}\begin{pmatrix} E_r&0\\0&0 \end{pmatrix}_{n\times m}P^{-1}\),则\(B\)\(n\times m\)矩阵,满足
\begin{equation*} \begin{array}{cl} ABA & = P \begin{pmatrix} E_r&0\\0&0 \end{pmatrix}_{m\times n}QQ^{-1}\begin{pmatrix} E_r&0\\0&0 \end{pmatrix}_{n\times m}P^{-1}P \begin{pmatrix} E_r&0\\0&0 \end{pmatrix}_{m\times n}Q\\ & =P \begin{pmatrix} E_r&0\\0&0 \end{pmatrix}_{m\times n}Q\\ &=A, \end{array} \end{equation*}
\begin{equation*} \begin{array}{cl} BAB & =Q^{-1}\begin{pmatrix} E_r&0\\0&0 \end{pmatrix}_{n\times m}P^{-1}P \begin{pmatrix} E_r&0\\0&0 \end{pmatrix}_{m\times n}QQ^{-1}\begin{pmatrix} E_r&0\\0&0 \end{pmatrix}_{n\times m}P^{-1}\\ & =Q^{-1}\begin{pmatrix} E_r&0\\0&0 \end{pmatrix}_{n\times m}P^{-1}\\ & =B.\end{array} \end{equation*}

11.

\(A\)\(n\)阶方阵,自然数\(k\)满足\(r(A)\leq k\leq n\),证明:存在\(n\)阶方阵\(B\),使得\(AB=0\)\(r(A)+r(B)=k\)
解答.
\(r(A)=r\),则存在\(n\)阶可逆矩阵\(P\)\(Q\),使得
\begin{equation*} A=P \begin{pmatrix} E_r&0\\0&0 \end{pmatrix}Q. \end{equation*}
\(B=Q^{-1}\begin{pmatrix} 0_{r\times r}&0&0\\ 0&E_{k-r}&0\\ 0&0&0_{(n-k)\times (n-k)} \end{pmatrix}\),则
\begin{equation*} AB=P \begin{pmatrix} E_r&0\\0&0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0_{r\times r}&0&0\\ 0&E_{k-r}&0\\ 0&0&0_{(n-k)\times (n-k)} \end{pmatrix}=0, \end{equation*}
\(r(B)=k-r\),即\(r(A)+r(B)=k\)