Hamilton-Cayley 定理: 设 $A$ 是域 $\mathbb{F}$上的$n$阶方阵，则$A$的特征多项式$f_A(\lambda)$是$A$的零化多项式。

证明1：设 $B(\lambda)$是$\lambda$-矩阵$\lambda E -A$的伴随矩阵，则
$$B(\lambda)(\lambda E-A)= \det(\lambda E-A) E. \tag{1}$$

$B(\lambda)$的每一个元素都是矩阵$\lambda E-A$的某一个$n-1$阶代数余子式，所以这些元素都是次数不超过$n-1$的关于$\lambda$的一元多项式，从而$B(\lambda)$ 可拆分为
$$B(\lambda)= \lambda^{n-1}B_{n-1}+\lambda^{n-2}B_{n-2}\cdots +B_0, \tag{2}$$
这里$B_i (i=0,1,\ldots,n-1)$都是$\mathbb{F}$上的$n$阶方阵。(2)代入$B(\lambda)(\lambda E-A)$得：
$$\begin{array}{rcl}
& & B(\lambda)(\lambda E-A) = (\lambda^{n-1}B_{n-1}+\lambda^{n-2}B_{n-2}\cdots +B_0)(\lambda E-A)\\
& = & \lambda^n B_{n-1} +\lambda^{n-1}(B_{n-2}-B_{n-1}A)+\cdots+\lambda(B_0-B_{1}A) - B_0A.
\end{array}. \tag{3}$$

设$A$的特征多项式$f_A(\lambda)=\lambda^n+a_{n-1}\lambda^{n-1}+\cdots+a_0$，则

$$f_A(\lambda)E=\lambda^n E+a_{n-1}\lambda^{n-1}E+\cdots+a_0E.\tag{4}$$

根据$(1)$、$(3)$、$(4)$ 得：
$$\left\{\begin{array}{l}
B_{n-1}=E,&\\
B_{n-2}-B_{n-1}A=a_{n-1}E,&\\
\vdots&\\
B_0-B_1A=a_1E,&\\
-B_0A=a_0E&
\end{array}\right.$$

用$A^n,A^{n-1},\cdots,A,E$按顺序右乘得

$$\left\{\begin{array}{l}
B_{n-1}A^n=A^n,&\\
B_{n-2}A^{n-1}-B_{n-1}A^n=a_{n-1}A^{n-1},&\\
\vdots&\\
B_0A-B_1A^2=a_1A,&\\
-B_0A=a_0E&
\end{array}\right.$$
把的所有等式加到一起，左边为$0$，右端即为$f_A(A)$，结论成立。